En la rama de las matemáticas conocida como topología , el preorden de especialización (o canónico ) es un preorden natural sobre el conjunto de los puntos de un espacio topológico . Para la mayoría de los espacios que se consideran en la práctica, es decir, para todos aquellos que satisfacen el axioma de separación T , este preorden es incluso un orden parcial (llamado orden de especialización ). Por otra parte, para los espacios T 1 el orden se vuelve trivial y tiene poco interés.
El orden de especialización se considera a menudo en aplicaciones de informática , donde los espacios T 0 aparecen en la semántica denotacional . El orden de especialización también es importante para identificar topologías adecuadas en conjuntos parcialmente ordenados, como se hace en la teoría del orden .
Consideremos cualquier espacio topológico X . El preorden de especialización ≤ en X relaciona dos puntos de X cuando uno se encuentra en la clausura del otro. Sin embargo, varios autores no están de acuerdo sobre en qué "dirección" debería ir el orden. En lo que sí hay acuerdo [ cita requerida ] es en que si
(donde cl{ y } denota el cierre del conjunto singleton { y }, es decir, la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a { y }), decimos que x es una especialización de y y que y es una generalización de x ; esto se escribe comúnmente y ⤳ x .
Desafortunadamente, la propiedad " x es una especialización de y " se escribe alternativamente como " x ≤ y " y como " y ≤ x " por varios autores (ver, respectivamente, [1] y [2] ).
Ambas definiciones tienen justificaciones intuitivas: en el caso de la primera, tenemos
Sin embargo, en el caso en que nuestro espacio X sea el espectro primo Spec R de un anillo conmutativo R (que es la situación motivacional en aplicaciones relacionadas con la geometría algebraica ), entonces bajo nuestra segunda definición del orden, tenemos
Por razones de coherencia, en el resto de este artículo tomaremos la primera definición, que dice que " x es una especialización de y ", escrita como x ≤ y . Vemos entonces que:
Estas reformulaciones ayudan a explicar por qué se habla de una "especialización": y es más general que x , ya que está contenido en más conjuntos abiertos. Esto es particularmente intuitivo si se consideran los conjuntos cerrados como propiedades que un punto x puede o no tener. Cuanto más conjuntos cerrados contienen un punto, más propiedades tiene el punto y más especial es. El uso es consistente con las nociones lógicas clásicas de género y especie ; y también con el uso tradicional de puntos genéricos en geometría algebraica , en la que los puntos cerrados son los más específicos, mientras que un punto genérico de un espacio es uno contenido en cada subconjunto abierto no vacío. La especialización como idea se aplica también en la teoría de la valoración .
La intuición de que los elementos superiores son más específicos se encuentra típicamente en la teoría del dominio , una rama de la teoría del orden que tiene amplias aplicaciones en la ciencia informática.
Sea X un espacio topológico y sea ≤ el preorden de especialización en X . Todo conjunto abierto es un conjunto superior con respecto a ≤ y todo conjunto cerrado es un conjunto inferior . Las proposiciones recíprocas no son generalmente ciertas. De hecho, un espacio topológico es un espacio Alexandrov-discreto si y solo si todo conjunto superior es también abierto (o equivalentemente todo conjunto inferior es también cerrado).
Sea A un subconjunto de X. El conjunto superior más pequeño que contiene a A se denota ↑ A y el conjunto inferior más pequeño que contiene a A se denota ↓ A. En caso de que A = { x } sea un singleton, se utiliza la notación ↑ x y ↓ x . Para x ∈ X se tiene:
El conjunto inferior ↓ x siempre es cerrado; sin embargo, el conjunto superior ↑ x no necesariamente debe ser abierto o cerrado. Los puntos cerrados de un espacio topológico X son precisamente los elementos mínimos de X con respecto a ≤.
Como lo sugiere el nombre, el preorden de especialización es un preorden, es decir, es reflexivo y transitivo .
La relación de equivalencia determinada por el preorden de especialización es justamente la de indistinguibilidad topológica . Es decir, x e y son topológicamente indistinguibles si y solo si x ≤ y e y ≤ x . Por lo tanto, la antisimetría de ≤ es precisamente el axioma de separación T 0 : si x e y son indistinguibles entonces x = y . En este caso está justificado hablar de orden de especialización .
Por otra parte, la simetría del preorden de especialización es equivalente al axioma de separación R 0 : x ≤ y si y solo si x e y son topológicamente indistinguibles. De ello se deduce que si la topología subyacente es T 1 , entonces el orden de especialización es discreto, es decir, uno tiene x ≤ y si y solo si x = y . Por lo tanto, el orden de especialización tiene poco interés para las topologías T 1 , especialmente para todos los espacios de Hausdorff .
Cualquier función continua entre dos espacios topológicos es monótona con respecto a los preórdenes de especialización de estos espacios: implica Sin embargo, lo inverso no es cierto en general. En el lenguaje de la teoría de categorías , tenemos entonces un funtor de la categoría de espacios topológicos a la categoría de conjuntos preordenados que asigna a un espacio topológico su preorden de especialización. Este funtor tiene un adjunto izquierdo , que coloca la topología de Alexandrov en un conjunto preordenado.
Existen espacios más específicos que los espacios T 0 para los que este orden resulta interesante: los espacios sobrios . Su relación con el orden de especialización es más sutil:
Para cualquier espacio sobrio X con orden de especialización ≤, tenemos
Se puede describir la segunda propiedad diciendo que los conjuntos abiertos son inaccesibles por supremas dirigidas . Una topología es consistente en orden con respecto a un cierto orden ≤ si induce ≤ como su orden de especialización y tiene la propiedad anterior de inaccesibilidad con respecto a supremas (existentes) de conjuntos dirigidos en ≤.
El orden de especialización proporciona una herramienta para obtener un preorden de cada topología. Es natural también preguntarse lo contrario: ¿se obtiene cada preorden como un preorden de especialización de alguna topología?
De hecho, la respuesta a esta pregunta es positiva y, en general, hay muchas topologías en un conjunto X que inducen un orden dado ≤ como su orden de especialización. La topología de Alexandroff del orden ≤ juega un papel especial: es la topología más fina que induce ≤. El otro extremo, la topología más burda que induce ≤, es la topología superior , la topología menor dentro de la cual todos los complementos de conjuntos ↓ x (para algún x en X ) son abiertos.
También hay topologías interesantes entre estos dos extremos. La topología sobria más fina que es consistente en el orden en el sentido anterior para un orden dado ≤ es la topología de Scott . Sin embargo, la topología superior sigue siendo la topología sobria consistente en el orden más burda. De hecho, sus conjuntos abiertos son incluso inaccesibles para cualquier suprema. Por lo tanto, cualquier espacio sobrio con orden de especialización ≤ es más fino que la topología superior y más burdo que la topología de Scott. Sin embargo, tal espacio puede no existir, es decir, existen órdenes parciales para los cuales no hay una topología sobria consistente en el orden. En particular, la topología de Scott no es necesariamente sobria.
