Anillo topológico

En matemáticas , un anillo topológico es un anillo que también es un espacio topológico tal que tanto la adición como la multiplicación son continuas como funciones: ^[1] donde lleva la topología producto . Esto significa que es un grupo topológico aditivo y un semigrupo topológico multiplicativo . ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle R\times R\to R}$$ ${\displaystyle R\times R}$ ${\displaystyle R}$

Los anillos topológicos están fundamentalmente relacionados con los campos topológicos y surgen naturalmente durante su estudio, ya que por ejemplo la completitud de un campo topológico puede ser un anillo topológico que no es un campo . ^[2]

Comentarios generales

El grupo de unidades de un anillo topológico es un grupo topológico cuando está dotado de la topología procedente de la incrustación de en el producto como Sin embargo, si el grupo unitario está dotado de la topología del subespacio como un subespacio de puede no ser un grupo topológico, porque la inversión en no necesita ser continua con respecto a la topología del subespacio. Un ejemplo de esta situación es el anillo de adele de un cuerpo global ; su grupo unitario, llamado grupo idele , no es un grupo topológico en la topología del subespacio. Si la inversión en es continua en la topología del subespacio de entonces estas dos topologías en son iguales. ${\displaystyle R^{\times }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{\times }}$ ${\displaystyle R\times R}$ ${\displaystyle \left(x,x^{-1}\right).}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle R^{\times }}$ ${\displaystyle R^{\times }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{\times }}$

Si no se requiere que un anillo tenga una unidad, entonces hay que agregar el requisito de continuidad del inverso aditivo o, equivalentemente, definir el anillo topológico como un anillo que es un grupo topológico (para ) en el que la multiplicación también es continua. ${\displaystyle +}$

Ejemplos

Los anillos topológicos se dan en el análisis matemático , por ejemplo, como anillos de funciones continuas de valor real en algún espacio topológico (donde la topología está dada por convergencia puntual), o como anillos de operadores lineales continuos en algún espacio vectorial normado ; todas las álgebras de Banach son anillos topológicos. Los números racionales , reales , complejos y -ádicos también son anillos topológicos (incluso los campos topológicos, véase más abajo) con sus topologías estándar. En el plano, los números complejos divididos y los números duales forman anillos topológicos alternativos. Véase números hipercomplejos para otros ejemplos de baja dimensión. ${\displaystyle p}$

En álgebra conmutativa , la siguiente construcción es común: dado un ideal en un anillo conmutativo , la topología I -ádica en se define de la siguiente manera: un subconjunto de es abierto si y solo si para cada existe un número natural tal que Esto se convierte en un anillo topológico. La topología -ádica es de Hausdorff si y solo si la intersección de todas las potencias de es el ideal cero ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x+I^{n}\subseteq U.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (0).}$

La topología -ádica en los números enteros es un ejemplo de una topología -ádica (con ). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I=p\mathbb {Z} }$

Terminación

Todo anillo topológico es un grupo topológico (con respecto a la adición) y, por lo tanto, un espacio uniforme de manera natural. Por lo tanto, cabe preguntarse si un anillo topológico dado es completo . Si no lo es, entonces puede completarse : se puede encontrar un anillo topológico completo esencialmente único que contiene como un subanillo denso tal que la topología dada en es igual a la topología del subespacio que surge de Si el anillo inicial es métrico, el anillo puede construirse como un conjunto de clases de equivalencia de secuencias de Cauchy en esta relación de equivalencia forma el anillo de Hausdorff y usando secuencias constantes (que son de Cauchy) se realiza un morfismo (uniformemente) continuo (CM en la secuela) tal que, para todo CM donde es de Hausdorff y completo, existe un CM único tal que Si no es métrico (como, por ejemplo, el anillo de todas las funciones racionales de variable real, es decir, todas las funciones dotadas de la topología de convergencia puntual) la construcción estándar utiliza filtros de Cauchy mínimos y satisface la misma propiedad universal que la anterior (véase Bourbaki , Topología general, III.6.5). ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle c:R\to S}$ ${\displaystyle f:R\to T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle g:S\to T}$ ${\displaystyle f=g\circ c.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {Q} }$

Los anillos de series de potencias formales y los números enteros -ádicos se definen más naturalmente como terminaciones de ciertos anillos topológicos que llevan topologías -ádicas . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle I}$

Campos topológicos

Algunos de los ejemplos más importantes son los campos topológicos . Un campo topológico es un anillo topológico que también es un campo y tal que la inversión de elementos distintos de cero es una función continua. Los ejemplos más comunes son los números complejos y todos sus subcampos y los campos con valores , que incluyen los campos -ádicos . ${\displaystyle p}$

Véase también

• Grupo compacto  – Grupo topológico con topología compacta
• Campo completo  : estructura algebraica que es completa en relación con una métrica.Páginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Campo localmente compacto
• Grupo cuántico localmente compacto  : un enfoque C*-algebraico relativamente nuevo para los grupos cuánticosPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Grupo localmente compacto  : grupo topológico para el cual la topología subyacente es localmente compacta y de Hausdorff, de modo que se puede definir la medida de HaarPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Espacio vectorial topológico ordenado
• Semigrupo fuertemente continuo  – Generalización de la función exponencialPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Grupo abeliano topológico  : grupo topológico cuyo grupo es abeliano.Páginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Campo topológico  – Estructura algebraica con adición, multiplicación y divisiónPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Grupo topológico  – Grupo que es un espacio topológico con acción grupal continua
• Módulo topológico
• Semigrupo topológico  – semigrupo con funcionamiento continuoPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Espacio vectorial topológico  – Espacio vectorial con noción de proximidad

Citas

1. Warner 1993, págs. 1–2, Def. 1.1.
2. Warner 1989, pág. 77, Cap. II.

Referencias

• LV Kuzmin (2001) [1994], "Anillo topológico", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• DB Shakhmatov (2001) [1994], "Campo topológico", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Warner, Seth (1989). Campos topológicos. Elsevier . ISBN 9780080872681.
• Warner, Seth (1993). Anillos topológicos. Elsevier . ISBN 9780080872896.
• Vladimir I. Arnautov, Sergei T. Glavatsky y Aleksandr V. Michalev: Introducción a la teoría de anillos y módulos topológicos . Marcel Dekker Inc., febrero de 1996, ISBN 0-8247-9323-4 . 
• N. Bourbaki , Éléments de Mathématique. Topología general. Hermann, París 1971, cap. III§6