Functor representado por un esquema

En geometría algebraica , un funtor representado por un esquema X es un funtor contravariante de valor conjunto en la categoría de esquemas tal que el valor del funtor en cada esquema S es (salvo biyecciones naturales) el conjunto de todos los morfismos . Se dice entonces que el funtor F es naturalmente equivalente al funtor de puntos de X ; y se dice que el esquema X representa al funtor F y clasifica objetos geométricos sobre S dados por F. ^[1 ] ${\displaystyle S\to X}$

Un funtor que produce ciertos objetos geométricos sobre S podría representarse mediante un esquema X . Por ejemplo, el funtor que lleva S al conjunto de todos los fibrados de líneas sobre S (o más precisamente sistemas lineales n- dimensionales ) se representa mediante el espacio proyectivo . Otro ejemplo es el esquema de Hilbert X de un esquema Y , que representa el funtor que envía un esquema S al conjunto de subesquemas cerrados de los cuales son familias planas sobre S . ^[2] ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle Y\times S}$

En algunas aplicaciones, puede que no sea posible encontrar un esquema que represente un funtor dado. Esto llevó a la noción de pila , que no es exactamente un funtor pero que puede tratarse como si fuera un espacio geométrico. (Un esquema de Hilbert es un esquema en lugar de una pila, porque, en términos generales, la teoría de la deformación es más simple para los esquemas cerrados).

Algunos problemas de módulos se resuelven dando soluciones formales (en oposición a soluciones algebraicas polinómicas) y, en ese caso, el funtor resultante se representa mediante un esquema formal . Se dice entonces que un esquema formal de este tipo es algebraizable si existe un esquema que pueda representar el mismo funtor, salvo algunos isomorfismos.

Motivación

La noción es análoga a un espacio clasificador en topología algebraica , donde cada fibrado G principal sobre un espacio S es (salvo isomorfismos naturales ) el pullback del fibrado universal a lo largo de alguna función . Dar un fibrado G principal sobre S es lo mismo que dar una función (llamada función clasificadora) desde S al espacio clasificador . ${\displaystyle EG\to BG}$ ${\displaystyle S\to BG}$ ${\displaystyle BG}$

Un fenómeno similar en geometría algebraica se da con un sistema lineal : dar un morfismo de una variedad base S a un espacio proyectivo es equivalente a dar un sistema lineal sin puntos base (o equivalentemente un fibrado de líneas) sobre S. Es decir, el espacio proyectivo X representa el funtor que da todos los fibrados de líneas sobre S. ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n}}$

El lema de Yoneda dice que un esquema X determina y es determinado por su funtor de puntos. ^[3]

Función de puntos

Sea X un esquema . Su funtor de puntos es el funtor

Hom(−, X ) : (Esquemas afines) ^op  ⟶ Conjuntos

enviando un esquema afín Y al conjunto de mapas de esquemas . ^[4] ${\displaystyle Y\to X}$

Un esquema está determinado hasta el isomorfismo por su funtor de puntos. Esta es una versión más fuerte del lema de Yoneda , que dice que una X está determinada por la función Hom(−, X ): Esquemas ^op  → Conjuntos.

Por el contrario, un funtor F  : (Esquemas afines) ^op  → Conjuntos es el funtor de puntos de algún esquema si y sólo si F es un haz con respecto a la topología de Zariski en (Esquemas afines), y F admite una cobertura abierta por esquemas afines. ^[5]

Ejemplos

Puntos como personajes

Sea X un esquema sobre el anillo base B . Si x es un punto de X en teoría de conjuntos , entonces el cuerpo de residuos es el cuerpo de residuos del anillo local (es decir, el cociente por el ideal maximal). Por ejemplo, si X es un esquema afín Spec( A ) y x es un ideal primo , entonces el cuerpo de residuos de x es el cuerpo de funciones del subesquema cerrado . ${\displaystyle k(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A/{\mathfrak {p}})}$

Para simplificar, supongamos que . Entonces, la inclusión de un punto x de la teoría de conjuntos en X corresponde al homomorfismo de anillos: ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (A)}$

${\displaystyle A\to k(x)}$

(lo cual es si .) ${\displaystyle A\to A_{\mathfrak {p}}\to k({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle x={\mathfrak {p}}}$

Lo anterior debe compararse con el espectro de un álgebra de Banach conmutativa .

Puntos como secciones

Por la propiedad universal del producto de fibras , cada punto R de un esquema X determina un morfismo de esquemas R

${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)\to X_{R}{\overset {\mathrm {def} }{=}}X\times _{\operatorname {Spec} (B)}\operatorname {Spec} (R)}$;

es decir, una sección de la proyección . Si S es un subconjunto de X ( R ), entonces se escribe para el conjunto de las imágenes de las secciones determinadas por elementos en S . ^[6] ${\displaystyle X_{R}\to \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle |S|\subset X_{R}}$

Especificación del anillo de números duales

Sea , la especificación del anillo de números duales sobre un cuerpo k y X un esquema sobre k . Entonces cada uno equivale al vector tangente a X en el punto que es la imagen del punto cerrado de la función. ^[1] En otras palabras, es el conjunto de vectores tangentes a X . ${\displaystyle D=\operatorname {Spec} (k[t]/(t^{2}))}$ ${\displaystyle D\to X}$ ${\displaystyle X(D)}$

Objeto universal

Sea el funtor representado por un esquema . Bajo el isomorfismo , hay un único elemento de que corresponde al mapa identidad . Este elemento único se conoce como el objeto universal o la familia universal (cuando los objetos que se clasifican son familias). El objeto universal actúa como una plantilla a partir de la cual se pueden derivar todos los demás elementos en para cualquier esquema mediante pullback a lo largo de un morfismo de a . ^[1] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(X)\cong {\text{Hom}}(X,X)}$ ${\displaystyle F(X)}$ ${\displaystyle {\text{id}}_{X}:X\to X}$ ${\displaystyle F(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

Véase también

• Espacio de módulos
• Restricción de Weil
• Punto racional
• Descenso por los torsores

Notas

1. Shafarevich 1994, Cap. VI § 4.1.
2. Shafarevich 1994, cap. VI § 4.4.
3. De hecho, X está determinado por sus puntos R con varios anillos R : en términos precisos, dados los esquemas X , Y , cualquier transformación natural del funtor al funtor determina un morfismo de esquemas X → Y de manera natural. ${\displaystyle R\mapsto X(R)}$ ${\displaystyle R\mapsto Y(R)}$
4. El Proyecto Stacks, 01J5
5. El funtor de puntos, el lema de Yoneda, los espacios de módulos y las propiedades universales (Brian Osserman), Cor. 3.6
6. Esta parece una notación estándar; véase por ejemplo "Dualidad de Poincaré nobeliana en geometría algebraica (Conferencia 9)" (PDF) .

Referencias

• David Mumford (1999). El libro rojo de variedades y esquemas: incluye las conferencias de Michigan (1974) sobre curvas y sus jacobianos . Apuntes de clase sobre matemáticas. Vol. 1358 (2.ª ed.). Springer-Verlag. doi :10.1007/b62130. ISBN 3-540-63293-X.
• Lurie, Jacob. "Conferencia 14: Existencia de reducciones de Borel (I)" (PDF) .
• Shafarevich, Igor (1994). Geometría algebraica básica, segunda edición revisada y ampliada, vol. 2. Springer-Verlag.
• Shafarevich, Igor R. (2013). Geometría Algebraica Básica 2 . doi :10.1007/978-3-642-38010-5. ISBN 978-3-642-38009-9.

Enlaces externos

• http://www.math.washington.edu/~zhang/Shanghai2011/Slides/ardakov.pdf