Morfismo plano

Concepto de teoría de esquemas

En matemáticas , en particular en la teoría de esquemas en geometría algebraica , un morfismo plano f de un esquema X a un esquema Y es un morfismo tal que la función inducida en cada tallo es una función plana de anillos, es decir,

${\displaystyle f_{P}\colon {\mathcal {O}}_{Y,f(P)}\to {\mathcal {O}}_{X,P}}$

es una función plana para todo P en X . ^[1] Una función de anillos se llama plana si es un homomorfismo que hace de B un A -módulo plano . Un morfismo de esquemas se llama fielmente plano si es a la vez sobreyectivo y plano. ^[2] ${\displaystyle A\to B}$

Dos intuiciones básicas respecto a los morfismos planos son:

• La planitud es una propiedad genérica ; y
• La falla de planitud ocurre en el conjunto de salto del morfismo.

El primero de ellos proviene del álgebra conmutativa : sujeto a algunas condiciones de finitud en f , se puede demostrar que existe un subesquema abierto no vacío de Y , tal que f restringido a Y ′ es un morfismo plano ( planitud genérica ). Aquí la 'restricción' se interpreta por medio del producto de fibras de esquemas , aplicado a f y la función de inclusión de en Y . ${\displaystyle Y'}$ ${\displaystyle Y'}$

En segundo lugar, la idea es que los morfismos en la geometría algebraica pueden exhibir discontinuidades de un tipo que se detectan por la planicidad. Por ejemplo, la operación de soplado hacia abajo en la geometría biracional de una superficie algebraica puede dar una sola fibra que es de dimensión 1 cuando todas las demás tienen dimensión 0. Resulta (retrospectivamente) que la planicidad en los morfismos está directamente relacionada con el control de este tipo de semicontinuidad o salto unilateral.

Los morfismos planos se utilizan para definir (más de una versión de) el topos plano y la cohomología plana de haces a partir de él. Esta es una teoría muy profunda y no se ha encontrado que sea fácil de manejar. El concepto de morfismo étale (y por lo tanto de cohomología étale ) depende del concepto de morfismo plano: un morfismo étale es plano, de tipo finito y no ramificado .

Ejemplos/no ejemplos

Consideremos el esquema afín

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t])}$

inducido a partir del morfismo obvio de las álgebras

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {C} [t]\to {\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}}\\t\mapsto t\\\end{cases}}}$

Dado que demostrar la planicidad de este morfismo equivale a calcular ^[3]

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {C} [t]}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}},\mathbb {C} \right),}$

Resolvemos los números complejos

${\displaystyle {\begin{array}{lcccc}0&\to &\mathbb {C} [t]&{\xrightarrow {\cdot t}}&\mathbb {C} [t]&\to &0\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &0&\to &\mathbb {C} &\to &0\\\end{array}}}$

y tensor por el módulo que representa nuestro esquema dando la secuencia de -módulos ${\displaystyle \mathbb {C} [t]}$

${\displaystyle 0\to {\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}}{\xrightarrow {\cdot t}}{\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}}\to 0}$

Como t no es un divisor de cero , tenemos un núcleo trivial, por lo tanto el grupo de homología se desvanece.

Planitud milagrosa

Otros ejemplos de morfismos planos se pueden encontrar utilizando la "planitud milagrosa" ^[4] , que establece que si se tiene un morfismo entre un esquema de Cohen-Macaulay y un esquema regular con fibras equidimensionales, entonces es plano. Ejemplos sencillos de esto son las fibraciones elípticas , los morfismos suaves y los morfismos en variedades estratificadas que satisfacen la planitud milagrosa en cada uno de los estratos. ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

Esquemas de Hilbert

Los ejemplos universales de morfismos planos de esquemas se dan mediante esquemas de Hilbert . Esto se debe a que los esquemas de Hilbert parametrizan clases universales de morfismos planos, y cada morfismo plano es el pullback de algún esquema de Hilbert. Es decir, si es plano, existe un diagrama conmutativo. ${\displaystyle f\colon X\to S}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &\operatorname {Hilb} _{S}\\\downarrow &&\downarrow \\S&\to &S\end{matrix}}}$

para el esquema de Hilbert de todos los morfismos planos a . Como es plano, todas las fibras tienen el mismo polinomio de Hilbert , por lo tanto, podríamos haber escrito de manera similar para el esquema de Hilbert anterior. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{s}\colon X_{s}\to s}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\text{Hilb}}_{S}^{\Phi }}$

No-ejemplos

Explosión

Una clase de no-ejemplos son los mapas de explosión.

${\displaystyle \operatorname {Bl} _{I}X\to X.}$

Un ejemplo fácil es la ampliación de un punto en . Si tomamos el origen, este viene dado por el morfismo ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]\to {\frac {\mathbb {C} [x,y,s,t]}{xt-ys}}}$envío ${\displaystyle x\mapsto x,y\mapsto y,}$

donde la fibra sobre un punto es una copia de , es decir, ${\displaystyle (a,b)\neq (0,0)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y,s,t]}{xt-ys}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x-a,y-b)}}\cong \mathbb {C} ,}$

Lo cual se desprende de

${\displaystyle M\otimes _{R}{\frac {R}{I}}\cong {\frac {M}{IM}}.}$

Pero para , obtenemos el isomorfismo ${\displaystyle a=b=0}$

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y,s,t]}{xt-ys}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x,y)}}\cong \mathbb {C} [s,t].}$

La razón por la que esto no es plano se debe al lema de planitud milagrosa, que se puede comprobar localmente.

Resolución infinita

Un ejemplo simple de un morfismo plano no es esto porque ${\displaystyle k[\varepsilon ]=k[x]/(x^{2})\to k.}$

${\displaystyle k\otimes _{k[\varepsilon ]}^{\mathbf {L} }k}$

es un complejo infinito, que podemos encontrar tomando una resolución plana de k ,

${\displaystyle \cdots ~{\xrightarrow {{\overset {}{\cdot }}\varepsilon }}~k[\varepsilon ]~{\xrightarrow {\cdot \varepsilon }}~k[\varepsilon ]{\xrightarrow {\cdot \varepsilon }}k[\varepsilon ]\to k}$

y tensorizando la resolución con k , encontramos que

${\displaystyle k\otimes _{k[\varepsilon ]}^{\mathbf {L} }k\simeq \bigoplus _{i=0}^{\infty }k[+i]}$

Demostrando que el morfismo no puede ser plano. Otro ejemplo de morfismo plano no es una ampliación, ya que un morfismo plano necesariamente tiene fibras equidimensionales.

Propiedades de los morfismos planos

Sea un morfismo de esquemas. Para un morfismo , sea y El morfismo f es plano si y solo si para cada g , el pullback es un funtor exacto de la categoría de módulos cuasi-coherentes a la categoría de módulos cuasi-coherentes. ^[5] ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle g\colon Y'\to Y}$ ${\displaystyle X'=X\times _{Y}Y'}$ ${\displaystyle f'=(f,1_{Y'})\colon X'\to Y'.}$ ${\displaystyle f'^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y'}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X'}}$

Supóngase que y son morfismos de esquemas y f es plano en x en X . Entonces g es plano en si y solo si gf es plano en x . ^[6] En particular, si f es fielmente plano, entonces g es plano o fielmente plano si y solo si gf es plano o fielmente plano, respectivamente. ^[7] ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$ ${\displaystyle f(x)}$

Propiedades fundamentales

• La composición de dos morfismos planos es plana. ^[8]
• El producto de fibra de dos morfismos planos o fielmente planos es un morfismo plano o fielmente plano, respectivamente. ^[9]
• La planitud y la planitud fiel se conservan mediante el cambio de base: si f es plana o fielmente plana y , entonces el producto de fibra es plano o fielmente plano, respectivamente. ^[10] ${\displaystyle g\colon Y'\to Y}$ ${\displaystyle f\times g\colon X\times _{Y}Y'\to Y'}$
• El conjunto de puntos donde un morfismo (localmente de presentación finita) es plano es abierto. ^[11]
• Si f es fielmente plana y de presentación finita, y si gf es de tipo finito o de presentación finita, entonces g es de tipo finito o de presentación finita, respectivamente. ^[12]

Supongamos que es un morfismo plano de esquemas. ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

• Si F es un haz cuasi coherente de presentación finita en Y (en particular, si F es coherente), y si J es el aniquilador de F en Y , entonces , el retroceso del mapa de inclusión, es una inyección, y la imagen de en es el aniquilador de en X . ^[13] ${\displaystyle f^{*}J\to {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle f^{*}J}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle f^{*}F}$
• Si f es fielmente plana y si G es un módulo cuasi-coherente , entonces el mapa de retroceso en las secciones globales es inyectivo. ^[14] ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle \Gamma (Y,G)\to \Gamma (X,f^{*}G)}$

Supongamos que es plano. Sean X e Y esquemas S , y sean y su cambio de base en h . ${\displaystyle h\colon S'\to S}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle Y'}$

• Si es cuasi-compacto y dominante, entonces su cambio de base es cuasi-compacto y dominante. ^[15] ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f'\colon X'\to Y'}$
• Si h es fielmente plano, entonces el mapa de retroceso es inyectivo. ^[16] ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(X,Y)\to \operatorname {Hom} _{S'}(X',Y')}$
• Supóngase que es cuasi-compacto y cuasi-separado. Sea Z la imagen cerrada de X y sea la inyección canónica. Entonces el subesquema cerrado determinado por el cambio de base es la imagen cerrada de . ^[17] ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle j\colon Z\to Y}$ ${\displaystyle j'\colon Z'\to Y'}$ ${\displaystyle X'}$

Propiedades topológicas

Si es plano, entonces posee todas las siguientes propiedades: ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

• Para cada punto x de X y cada generación y ′ de y = f ( x ) , existe una generación x ′ de x tal que y ′ = f ( x ′) . ^[18]
• Para cada punto x de X , . ^[19] ${\displaystyle f(\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{X,x})=\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}}$
• Para cada subconjunto cerrado irreducible Y ′ de Y , cada componente irreducible de f ⁻¹ ( Y ′) domina a Y ′. ^[20]
• Si Z y Z ′ son dos subconjuntos cerrados irreducibles de Y con Z contenido en Z ′, entonces para cada componente irreducible T de f ⁻¹ ( Z ), hay un componente irreducible T ′ de f ⁻¹ ( Z ′) que contiene a T . ^[21]
• Para cada componente irreducible T de X , el cierre de f ( T ) es un componente irreducible de Y . ^[22]
• Si Y es irreducible con el punto genérico y , y si f ⁻¹ ( y ) es irreducible, entonces X es irreducible. ^[23]
• Si f también es cerrada, la imagen de cada componente conexo de X es un componente conexo de Y. ^[24 ]
• Para cada subconjunto proconstruible Z de Y , . ^[25] ${\displaystyle f^{-1}({\bar {Z}})={\overline {f^{-1}(Z)}}}$

Si f es plana y localmente de presentación finita, entonces f es universalmente abierta. ^[26] Sin embargo, si f es fielmente plana y cuasi compacta, no es en general cierto que f sea abierta, incluso si X e Y son noetherianas. ^[27] Además, no se cumple ninguna recíproca a esta afirmación: si f es la función canónica del esquema reducido X _rojo a X , entonces f es un homeomorfismo universal, pero para X no reducido y noetheriano, f nunca es plana. ^[28]

Si es fielmente plano, entonces: ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

• La topología en Y es la topología cociente relativa a f . ^[29]
• Si f también es cuasi-compacto, y si Z es un subconjunto de Y , entonces Z es un subconjunto pro-construible localmente cerrado de Y si y sólo si f ⁻¹ ( Z ) es un subconjunto pro-construible localmente cerrado de X . ^[30]

Si f es plana y localmente de presentación finita, entonces para cada una de las siguientes propiedades P , el conjunto de puntos donde f tiene P es abierto: ^[31]

• Condición de Serre S _k (para cualquier k fijo ).
• Geométricamente regular.
• Geométricamente normal.

Si además f es propia, entonces lo mismo es cierto para cada una de las siguientes propiedades: ^[32]

• Geométricamente reducido.
• Geométricamente reducido y con k componentes geométricamente conexos (para cualquier k fijo ).
• Geométricamente integral.

Planitud y dimensión

Supongamos que y son localmente noetherianos y sea . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

• Sea x un punto de X e y = f ( x ) . Si f es plana, entonces dim _x X = dim _y Y + dim _x f ⁻¹ ( y ) . ^[33] Por el contrario, si esta igualdad se cumple para todo x , X es Cohen–Macaulay e Y es regular , y además f mapea puntos cerrados a puntos cerrados, entonces f es plana. ^[34]
• Si f es fielmente plano, entonces para cada subconjunto cerrado Z de Y , codim _Y ( Z ) = codim _X ( f ⁻¹ ( Z )) . ^[35]
• Supóngase que f es plana y F es un módulo cuasi coherente sobre Y . Si F tiene dimensión proyectiva como máximo n , entonces tiene dimensión proyectiva como máximo n . ^[36] ${\displaystyle f^{*}F}$

Propiedades de descendencia

• Supóngase que f es plana en x en X . Si X es reducida o normal en x , entonces Y es reducida o normal, respectivamente, en f ( x ). ^[37] Por el contrario, si f también es de presentación finita y f ⁻¹ ( y ) es reducida o normal, respectivamente, en x , entonces X es reducida o normal, respectivamente, en x . ^[38]
• En particular, si f es fielmente plana, entonces X reducida o normal implica que Y es reducida o normal, respectivamente. Si f es fielmente plana y de presentación finita, entonces todas las fibras de f reducidas o normales implican que X es reducida o normal, respectivamente.
• Si f es plana en x en X , y si X es integral o integralmente cerrada en x , entonces Y es integral o integralmente cerrada, respectivamente, en f ( x ). ^[39]
• Si f es fielmente plana, X es localmente integral y el espacio topológico de Y es localmente noetheriano, entonces Y es localmente integral. ^[40]
• Si f es fielmente plano y cuasi compacto, y si X es localmente noetheriano, entonces Y también es localmente noetheriano. ^[41]
• Supongamos que f es plana y que X e Y son localmente noetherianos. Si X es regular en x , entonces Y es regular en f ( x ). Por el contrario, si Y es regular en f ( x ) y f ⁻¹ ( f ( x )) es regular en x , entonces X es regular en x . ^[42]
• Supongamos que f es plana y que X e Y son localmente noetherianos. Si X es normal en x , entonces Y es normal en f ( x ). Por el contrario, si Y es normal en f ( x ) y f ⁻¹ ( f ( x )) es normal en x , entonces X es normal en x . ^[43]

Sea g  : Y ′ → Y fielmente plano. Sea F un haz cuasi coherente sobre Y , y sea F ′ el pullback de F a Y ′. Entonces F es plano sobre Y si y solo si F ′ es plano sobre Y ′. ^[44]

Supóngase que f es fielmente plana y cuasi compacta. Sea G un haz cuasi coherente en Y y sea F su retroceso a X. Entonces F es de tipo finito, presentación finita o localmente libre de rango n si y solo si G tiene la propiedad correspondiente. ^[45]

Supóngase que f  : X → Y es un S -morfismo de S -esquemas. Sea g  : S ′ → S fielmente plano y cuasi-compacto, y sean X ′, Y ′ y f ′ los cambios de base por g . Entonces, para cada una de las siguientes propiedades P , si f ′ tiene P , entonces f tiene P . ^[46]

• Abierto.
• Cerrado.
• Cuasi-compacto y un homeomorfismo sobre su imagen.
• Un homeomorfismo.

Además, para cada una de las siguientes propiedades P , f tiene P si y sólo si f ′ tiene P . ^[47]

• Universalmente abierto.
• Universalmente cerrado.
• Un homeomorfismo universal.
• Cuasi-compacto.
• Cuasi-compacto y dominante.
• Cuasi-compacto y universalmente bicontinuo.
• Apartado.
• Cuasi-separados.
• Localmente de tipo finito.
• Localmente de presentación finita.
• Tipo finito.
• Presentación finita.
• Adecuado.
• Un isomorfismo.
• Un monomorfismo.
• Una inmersión abierta.
• Una inmersión casi compacta.
• Una inmersión cerrada.
• Afín.
• Cuasi-afín.
• Finito.
• Cuasi-finito.
• Integral.

Es posible que f ′ sea un isomorfismo local sin que f sea ni siquiera una inmersión local. ^[48]

Si f es cuasi-compacto y L es un haz invertible en X , entonces L es f -amplio o f -muy amplio si y solo si su pullback L ′ es f ′-amplio o f ′-muy amplio, respectivamente. ^[49] Sin embargo, no es cierto que f sea proyectiva si y solo si f ′ es proyectiva. Ni siquiera es cierto que si f es propia y f ′ es proyectiva, entonces f sea cuasi-proyectiva, porque es posible tener un haz f ′-amplio en X ′ que no descienda a X . ^[50]

Véase también

• morfismo fpqc
• Divisor de Cartier relativo efectivo , un ejemplo de morfismo plano
• Degeneración (geometría algebraica)

Notas

1. EGA IV ₂ , 2.1.1.
2. EGA 0 _Yo , 6.7.8.
3. Sernesi, E. (2010). Deformaciones de esquemas algebraicos . Springer . págs. 269–279.
4. "Morfismos planos y planitud".
5. EGA IV ₂ , Proposición 2.1.3.
6. EGA IV ₂ , Corolario 2.2.11 (iv).
7. EGA IV ₂ , Corolaire 2.2.13 (iii).
8. EGA IV ₂ , Corolaire 2.1.6.
9. EGA IV ₂ , Corolaire 2.1.7 y EGA IV ₂ , Corolaire 2.2.13 (ii).
10. EGA IV ₂ , Proposición 2.1.4 y EGA IV ₂ , Corolario 2.2.13 (i).
11. EGA IV ₃ , Teorema 11.3.1.
12. EGA IV ₃ , Proposición 11.3.16.
13. EGA IV ₂ , Proposición 2.1.11.
14. EGA IV ₂ , Corolaire 2.2.8.
15. EGA IV ₂ , Proposición 2.3.7(i).
16. EGA IV ₂ , Corolario 2.2.16.
17. EGA IV ₂ , Proposición 2.3.2.
18. EGA IV ₂ , Proposición 2.3.4(i).
19. EGA IV ₂ , Proposición 2.3.4 (ii).
20. EGA IV ₂ , Proposición 2.3.4(iii).
21. EGA IV ₂ , Corolario 2.3.5 (i).
22. EGA IV ₂ , Corolario 2.3.5 (ii).
23. EGA IV ₂ , Corolario 2.3.5(iii).
24. EGA IV ₂ , Proposición 2.3.6 (ii).
25. EGA IV ₂ , Teorema 2.3.10.
26. EGA IV ₂ , Teorema 2.4.6.
27. EGA IV ₂ , Observaciones 2.4.8(i).
28. EGA IV ₂ , Comentarios 2.4.8 (ii).
29. EGA IV ₂ , Corolario 2.3.12.
30. EGA IV ₂ , Corolario 2.3.14.
31. EGA IV ₃ , Teorema 12.1.6.
32. EGA IV ₃ , Teorema 12.2.4.
33. EGA IV ₂ , Corolaire 6.1.2.
34. EGA IV ₂ , Proposición 6.1.5. Nótese que el supuesto de regularidad en Y es importante aquí. La extensión da un contraejemplo con X regular, Y normal, f finita sobreyectiva pero no plana. ${\displaystyle \mathbb {C} [x^{2},y^{2},xy]\subset \mathbb {C} [x,y]}$
35. EGA IV ₂ , Corolaire 6.1.4.
36. EGA IV ₂ , Corolario 6.2.2.
37. EGA IV ₂ , Proposición 2.1.13.
38. EGA IV ₃ , Proposición 11.3.13.
39. EGA IV ₂ , Proposición 2.1.13.
40. EGA IV ₂ , Proposición 2.1.14.
41. EGA IV ₂ , Proposición 2.2.14.
42. EGA IV ₂ , Corolario 6.5.2.
43. EGA IV ₂ , Corolaire 6.5.4.
44. EGA IV ₂ , Proposición 2.5.1.
45. EGA IV ₂ , Proposición 2.5.2.
46. EGA IV ₂ , Proposición 2.6.2.
47. EGA IV ₂ , Corolario 2.6.4 y Proposición 2.7.1.
48. EGA IV ₂ , Observaciones 2.7.3 (iii).
49. EGA IV ₂ , Corolario 2.7.2.
50. EGA IV ₂ , Observaciones 2.7.3 (ii).

Referencias

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