Sistema lineal de divisores

Concepto en geometría algebraica

Un sistema lineal de divisores algebraiza la noción geométrica clásica de una familia de curvas , como en los círculos apolíneos .

En geometría algebraica , un sistema lineal de divisores es una generalización algebraica de la noción geométrica de una familia de curvas ; la dimensión del sistema lineal corresponde al número de parámetros de la familia.

Estas surgieron primero en forma de un sistema lineal de curvas algebraicas en el plano proyectivo . Asumió una forma más general, a través de una generalización gradual, de modo que se podría hablar de equivalencia lineal de divisores D en un esquema general o incluso en un espacio anillado . ^[1] ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Los sistemas lineales de dimensión 1, 2 o 3 se denominan lápiz , red o red , respectivamente.

Un mapa determinado por un sistema lineal a veces se denomina mapa de Kodaira .

Definiciones

Dada una variedad general , dos divisores son linealmente equivalentes si ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D,E\in {\text{Div}}(X)}$

${\displaystyle E=D+(f)\ }$

para alguna función racional distinta de cero en , o en otras palabras, un elemento distinto de cero del cuerpo de funciones . Aquí denota el divisor de ceros y polos de la función . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k(X)}$ ${\displaystyle (f)}$ ${\displaystyle f}$

Obsérvese que si tiene puntos singulares , la noción de 'divisor' es inherentemente ambigua ( divisores de Cartier , divisores de Weil : véase divisor (geometría algebraica) ). La definición en ese caso suele decirse con mayor cuidado (utilizando haces invertibles o fibrados de líneas holomorfos ); véase más abajo. ${\displaystyle X}$

Un sistema lineal completo en se define como el conjunto de todos los divisores efectivos linealmente equivalentes a algún divisor dado . Se denota . Sea el fibrado de líneas asociado a . En el caso de que sea una variedad proyectiva no singular, el conjunto está en biyección natural con ^[2] al asociar el elemento de al conjunto de múltiplos no nulos de (esto está bien definido ya que dos funciones racionales no nulas tienen el mismo divisor si y solo si son múltiplos no nulos entre sí). Un sistema lineal completo es, por tanto, un espacio proyectivo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D\in {\text{Div}}(X)}$ ${\displaystyle |D|}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |D|}$ ${\displaystyle (\Gamma (X,{\mathcal {L}})\smallsetminus \{0\})/k^{\ast },}$ ${\displaystyle E=D+(f)}$ ${\displaystyle |D|}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |D|}$

Un sistema lineal es entonces un subespacio proyectivo de un sistema lineal completo, por lo que corresponde a un subespacio vectorial W de La dimensión del sistema lineal es su dimensión como espacio proyectivo. Por lo tanto . ${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$ ${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {L}}).}$ ${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$ ${\displaystyle \dim {\mathfrak {d}}=\dim W-1}$

Los sistemas lineales también pueden introducirse mediante el lenguaje de fibrados lineales o haces invertibles . En esos términos, los divisores ( divisores de Cartier , para ser precisos) corresponden a fibrados lineales, y la equivalencia lineal de dos divisores significa que los fibrados lineales correspondientes son isomorfos. ${\displaystyle D}$

Ejemplos

Equivalencia lineal

Considérese el fibrado lineal en cuyas secciones se definen superficies cuádricas . Para el divisor asociado , es linealmente equivalente a cualquier otro divisor definido por el lugar geométrico de desaparición de algún utilizando la función racional ^[2] (Proposición 7.2). Por ejemplo, el divisor asociado al lugar geométrico de desaparición de es linealmente equivalente al divisor asociado al lugar geométrico de desaparición de . Entonces, existe la equivalencia de divisores ${\displaystyle {\mathcal {O}}(2)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{3},{\mathcal {O}}(2))}$ ${\displaystyle D_{s}=Z(s)}$ ${\displaystyle t\in \Gamma (\mathbb {P} ^{3},{\mathcal {O}}(2))}$ ${\displaystyle \left(t/s\right)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle xy}$

${\displaystyle D=E+\left({\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}{xy}}\right)}$

Sistemas lineales sobre curvas

Uno de los sistemas lineales completos importantes en una curva algebraica de género está dado por el sistema lineal completo asociado con el divisor canónico , denotado . Esta definición se desprende de la proposición II.7.7 de Hartshorne ^[2] ya que todo divisor efectivo en el sistema lineal proviene de los ceros de alguna sección de . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle |K|=\mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}))}$ ${\displaystyle \omega _{C}}$

Curvas hiperelípticas

Una aplicación de los sistemas lineales se utiliza en la clasificación de curvas algebraicas. Una curva hiperelíptica es una curva con un morfismo de grado . ^[2] Para el caso de que todas las curvas sean hiperelípticas: el teorema de Riemann-Roch da entonces el grado de es y , por lo tanto hay una función de grado para . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle f:C\to \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle g=2}$ ${\displaystyle K_{C}}$ ${\displaystyle 2g-2=2}$ ${\displaystyle h^{0}(K_{C})=2}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}=\mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}))}$

gramo_d^a

A es un sistema lineal sobre una curva que tiene un grado y una dimensión . Por ejemplo, las curvas hiperelípticas tienen un que es inducido por el -map . De hecho, las curvas hiperelípticas tienen un único ^[2] de la proposición 5.3. Otro conjunto cercano de ejemplos son las curvas con un que se denominan curvas trigonales . De hecho, cualquier curva tiene un para . ^[3] ${\displaystyle g_{d}^{r}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle g_{2}^{1}}$ ${\displaystyle 2:1}$ ${\displaystyle C\to \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle g_{2}^{1}}$ ${\displaystyle g_{1}^{3}}$ ${\displaystyle g_{1}^{d}}$ ${\displaystyle d\geq (1/2)g+1}$

Sistemas lineales de hipersuperficies en un espacio proyectivo

Consideremos el fibrado lineal sobre . Si tomamos secciones globales , entonces podemos tomar su proyectivización . Esto es isomorfo a donde ${\displaystyle {\mathcal {O}}(d)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle V=\Gamma ({\mathcal {O}}(d))}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}}$

${\displaystyle N={\binom {n+d}{n}}-1}$

Luego, usando cualquier incrustación podemos construir un sistema lineal de dimensión . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{k}\to \mathbb {P} ^{N}}$ ${\displaystyle k}$

Sistema lineal de cónicas

Sistema lineal característico de una familia de curvas

El sistema lineal característico de una familia de curvas en una superficie algebraica Y para una curva C en la familia es un sistema lineal formado por las curvas en la familia que están infinitamente cerca de C. ^[4 ]

En términos modernos, es un subsistema del sistema lineal asociado al fibrado normal a . Nótese que un sistema característico no necesita ser completo; de hecho, la cuestión de la completitud es algo que la escuela italiana ha estudiado extensamente sin llegar a una conclusión satisfactoria; hoy en día, la teoría de Kodaira-Spencer puede utilizarse para responder a la cuestión de la completitud. ${\displaystyle C\hookrightarrow Y}$

Otros ejemplos

El teorema de Cayley-Bacharach es una propiedad de un lápiz de cúbicas, que establece que el lugar geométrico base satisface una propiedad de "8 implica 9": cualquier cúbica que contenga 8 de los puntos necesariamente contiene el noveno.

Sistemas lineales en geometría biracional

En general, los sistemas lineales se convirtieron en una herramienta básica de la geometría biracional , tal como la practicaba la escuela italiana de geometría algebraica . Las exigencias técnicas se volvieron bastante estrictas; los desarrollos posteriores aclararon una serie de cuestiones. El cálculo de las dimensiones relevantes (el problema de Riemann-Roch, como se lo puede llamar) se puede expresar mejor en términos de álgebra homológica . El efecto de trabajar en variedades con puntos singulares es mostrar una diferencia entre los divisores de Weil (en el grupo abeliano libre generado por subvariedades de codimensión uno) y los divisores de Cartier que provienen de secciones de haces invertibles .

A la escuela italiana le gustaba reducir la geometría de una superficie algebraica a la de sistemas lineales recortados por superficies en tres espacios; Zariski escribió su célebre libro Superficies algebraicas para intentar reunir los métodos, que implicaban sistemas lineales con puntos de base fijos . Hubo una controversia, uno de los temas finales en el conflicto entre los puntos de vista "antiguos" y "nuevos" en geometría algebraica, sobre el sistema lineal característico de Henri Poincaré de una familia algebraica de curvas en una superficie algebraica.

Lugar geométrico de la base

El lugar geométrico base de un sistema lineal de divisores en una variedad se refiere a la subvariedad de puntos "comunes" a todos los divisores en el sistema lineal. Geométricamente, esto corresponde a la intersección común de las variedades. Los sistemas lineales pueden tener o no un lugar geométrico base; por ejemplo, el lápiz de líneas afines no tiene intersección común, pero dadas dos cónicas (no degeneradas) en el plano proyectivo complejo, se intersecan en cuatro puntos (contando con multiplicidad) y, por lo tanto, el lápiz que definen tiene estos puntos como lugar geométrico base. ${\displaystyle x=a}$

Más precisamente, supongamos que es un sistema lineal completo de divisores en alguna variedad . Considere la intersección ${\displaystyle |D|}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {Bl} (|D|):=\bigcap _{D_{\text{eff}}\in |D|}\operatorname {Supp} D_{\text{eff}}\ }$

donde denota el soporte de un divisor, y la intersección se toma sobre todos los divisores efectivos en el sistema lineal. Este es el lugar geométrico base de (como un conjunto, al menos: puede haber consideraciones teóricas de esquemas más sutiles en cuanto a cuál debería ser el haz de estructura de ). ${\displaystyle \operatorname {Supp} }$ ${\displaystyle D_{\text{eff}}}$ ${\displaystyle |D|}$ ${\displaystyle \operatorname {Bl} }$

Una aplicación de la noción de lugar geométrico base es la nefidad de una clase divisora ​​de Cartier (es decir, sistema lineal completo). Supongamos que es una clase de este tipo en una variedad , y una curva irreducible en . Si no está contenido en el lugar geométrico base de , entonces existe algún divisor en la clase que no contiene a , y por lo tanto lo interseca correctamente. Los hechos básicos de la teoría de intersecciones nos dicen entonces que debemos tener . La conclusión es que para comprobar la nefidad de una clase divisora, basta con calcular el número de intersección con las curvas contenidas en el lugar geométrico base de la clase. Así que, en términos generales, cuanto "más pequeño" sea el lugar geométrico base, "más probable" es que la clase sea nef. ${\displaystyle |D|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle |D|}$ ${\displaystyle {\tilde {D}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle |D|\cdot C\geq 0}$

En la formulación moderna de la geometría algebraica, un sistema lineal completo de divisores (de Cartier) en una variedad se considera como un fibrado lineal en . Desde este punto de vista, el lugar geométrico base es el conjunto de ceros comunes de todas las secciones de . Una consecuencia simple es que el fibrado se genera globalmente si y solo si el lugar geométrico base está vacío. ${\displaystyle |D|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Bl} (|D|)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

La noción de lugar geométrico base todavía tiene sentido también para un sistema lineal no completo: su lugar geométrico base sigue siendo la intersección de los soportes de todos los divisores efectivos del sistema.

Ejemplo

Consideremos el lápiz de Lefschetz dado por dos secciones genéricas , por lo que dado por el esquema ${\displaystyle p:{\mathfrak {X}}\to \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle f,g\in \Gamma (\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {O}}(d))}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {X}}={\text{Proj}}\left({\frac {k[s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(sf+tg)}}\right)}$

Esto tiene asociado un sistema lineal de divisores ya que cada polinomio, para un fijo es un divisor en . Entonces, el lugar geométrico base de este sistema de divisores es el esquema dado por el lugar geométrico evanescente de , por lo que ${\displaystyle s_{0}f+t_{0}g}$ ${\displaystyle [s_{0}:t_{0}]\in \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle f,g}$

${\displaystyle {\text{Bl}}({\mathfrak {X}})={\text{Proj}}\left({\frac {k[s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f,g)}}\right)}$

Un mapa determinado por un sistema lineal

Cada sistema lineal sobre una variedad algebraica determina un morfismo del complemento del lugar geométrico base a un espacio proyectivo de dimensión del sistema, de la siguiente manera. (En cierto sentido, lo inverso también es cierto; véase la sección siguiente)

Sea L un fibrado lineal sobre una variedad algebraica X y un subespacio vectorial de dimensión finita. Para mayor claridad, primero consideramos el caso en el que V no tiene puntos base; en otras palabras, la función natural es sobreyectiva (aquí, k = el cuerpo base). O equivalentemente, es sobreyectiva. Por lo tanto, escribiendo para el fibrado vectorial trivial y pasando la sobreyección al relativo Proj , hay una inmersión cerrada : ${\displaystyle V\subset \Gamma (X,L)}$ ${\displaystyle V\otimes _{k}{\mathcal {O}}_{X}\to L}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} ((V\otimes _{k}{\mathcal {O}}_{X})\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L^{-1})\to \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle V_{X}=V\times X}$

${\displaystyle i:X\hookrightarrow \mathbb {P} (V_{X}^{*}\otimes L)\simeq \mathbb {P} (V_{X}^{*})=\mathbb {P} (V^{*})\times X}$

donde a la derecha está la invariancia del fibrado proyectivo bajo un giro por un fibrado lineal. Siguiendo i por una proyección, resulta la función: ^[5] ${\displaystyle \simeq }$

${\displaystyle f:X\to \mathbb {P} (V^{*}).}$

Cuando el lugar geométrico base de V no está vacío, la discusión anterior aún continúa con la suma directa reemplazada por un haz ideal que define el lugar geométrico base y X reemplazado por la explosión de este a lo largo del lugar geométrico base (teórico del esquema) B. Precisamente, como antes, hay una sobreyección donde es el haz ideal de B y eso da lugar a ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\widetilde {X}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} ((V\otimes _{k}{\mathcal {O}}_{X})\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L^{-1})\to \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

${\displaystyle i:{\widetilde {X}}\hookrightarrow \mathbb {P} (V^{*})\times X.}$

Como es un subconjunto abierto de , en el mapa se obtiene lo siguiente: ${\displaystyle X-B\simeq }$ ${\displaystyle {\widetilde {X}}}$

${\displaystyle f:X-B\to \mathbb {P} (V^{*}).}$

Finalmente, cuando se elige una base de V , la discusión anterior se vuelve más realista (y ese es el estilo utilizado en Hartshorne, Geometría Algebraica).

Sistema lineal determinado por una función en un espacio proyectivo

Cada morfismo de una variedad algebraica a un espacio proyectivo determina un sistema lineal libre de puntos base en la variedad; debido a esto, un sistema lineal libre de puntos base y una función a un espacio proyectivo a menudo se usan indistintamente.

Para una inmersión cerrada de variedades algebraicas hay un retroceso de un sistema lineal sobre , definido como [ ^2] (página 158). ${\displaystyle f:Y\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathfrak {d}})=\{f^{-1}(D)|D\in {\mathfrak {d}}\}}$

O(1) en una variedad proyectiva

Una variedad proyectiva incrustada en tiene un sistema lineal natural que determina una función en el espacio proyectivo desde . Esto envía un punto a su punto correspondiente . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)={\mathcal {O}}_{X}\otimes _{{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}(1)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle [x_{0}:\cdots :x_{r}]\in \mathbb {P} ^{r}}$

Véase también

• Teoría de Brill-Noether
• Lápiz Lefschetz
• conjunto de partes principales

Referencias

1. Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean. EGA IV , 21.3.
2. Hartshorne, R. 'Geometría algebraica', proposición II.7.2, página 151, proposición II.7.7, página 157, página 158, ejercicio IV.1.7, página 298, proposición IV.5.3, página 342
3. Kleiman, Steven L.; Laksov, Dan (1974). "Otra prueba de la existencia de divisores especiales". Acta Mathematica . 132 : 163–176. doi : 10.1007/BF02392112 . ISSN  0001-5962.
4. Arbarello, Enrico ; Cornalba, Mauricio; Griffiths, Phillip (2011). Geometría de curvas algebraicas . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. vol. II, con una contribución de Joseph Daniel Harris. Heidelberg: Springer. pag. 3. doi :10.1007/978-1-4757-5323-3. ISBN 978-1-4419-2825-2.Sr. 2807457  .
5. Fulton, William (1998). "§ 4.4. Sistemas lineales". Teoría de la intersección . Springer. doi :10.1007/978-1-4612-1700-8_5.

• P. Griffiths y J. Harris (1994). Principios de geometría algebraica . Biblioteca Wiley Classics. Wiley Interscience. pág. 137. ISBN 0-471-05059-8.
• Hartshorne, R. , Geometría algebraica , Springer-Verlag , 1977; sexta impresión corregida, 1993. ISBN 0-387-90244-9 . 
• Lazarsfeld, R. , Positividad en geometría algebraica I , Springer-Verlag, 2004. ISBN 3-540-22533-1 .