Mapa de Kodaira–Spencer

En matemáticas , la función Kodaira–Spencer , introducida por Kunihiko Kodaira y Donald C. Spencer , es una función asociada a una deformación de un esquema o variedad compleja X , tomando un espacio tangente de un punto del espacio de deformación al primer grupo de cohomología del haz de campos vectoriales en  X.

Definición

Motivación histórica

La función Kodaira-Spencer se construyó originalmente en el contexto de variedades complejas. Dada una variedad analítica compleja con gráficos y funciones biholomórficas que unen los gráficos, la idea de la teoría de la deformación es reemplazar estas funciones de transición por funciones de transición parametrizadas sobre alguna base (que podría ser una variedad real) con coordenadas , tales que . Esto significa que los parámetros deforman la estructura compleja de la variedad compleja original . Entonces, estas funciones también deben satisfacer una condición de cociclo, lo que da un 1-cociclo en con valores en su fibrado tangente. Dado que se puede suponer que la base es un polidisco, este proceso da una función entre el espacio tangente de la base a llamada función Kodaira-Spencer. ^[1] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f_{jk}}$ ${\displaystyle z_{k}\to z_{j}=(z_{j}^{1},\ldots ,z_{j}^{n})}$ ${\displaystyle f_{jk}(z_{k})}$ ${\displaystyle f_{jk}(z_{k},t_{1},\ldots ,t_{k})}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{k}}$ ${\displaystyle f_{jk}(z_{k},0,\ldots ,0)=f_{jk}(z_{k})}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H^{1}(M,T_{M})}$

Definición original

Más formalmente, el mapa Kodaira-Spencer es ^[2]

${\displaystyle KS:T_{0}B\to H^{1}(M,T_{M})}$

dónde

• ${\displaystyle {\mathcal {M}}\to B}$es una función propia suave entre espacios complejos ^[3] (es decir, una deformación de la fibra especial ). ${\displaystyle M={\mathcal {M}}_{0}}$
• ${\displaystyle KS}$es el homomorfismo de conexión obtenido al tomar una secuencia de cohomología larga y exacta de la sobreyección cuyo núcleo es el fibrado tangente . ${\displaystyle T{\mathcal {M}}|_{M}\to T_{0}B\otimes {\mathcal {O}}_{M}}$ ${\displaystyle T_{M}}$

Si está en , entonces su imagen se llama clase Kodaira–Spencer de . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle T_{0}B}$ ${\displaystyle KS(v)}$ ${\displaystyle v}$

Observaciones

Debido a que la teoría de la deformación se ha extendido a muchos otros contextos, como las deformaciones en la teoría de esquemas o los topos anillados , existen construcciones del mapa de Kodaira-Spencer para estos contextos.

En la teoría de esquemas sobre un cuerpo base de característica , existe una biyección natural entre las clases de isomorfismos de y . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}\to S=\operatorname {Spec} (k[t]/t^{2})}$ ${\displaystyle H^{1}(X,TX)}$

Construcciones

Usando infinitesimales

Condición de co-ciclo para deformaciones

Sobre la característica, la construcción del mapa de Kodaira–Spencer ^[4] se puede realizar utilizando una interpretación infinitesimal de la condición de cociclo. Si tenemos una variedad compleja cubierta por un número finito de gráficos con coordenadas y funciones de transición ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in I}}$ ${\displaystyle z_{\alpha }=(z_{\alpha }^{1},\ldots ,z_{\alpha }^{n})}$

${\displaystyle f_{\beta \alpha }:U_{\beta }|_{U_{\alpha \beta }}\to U_{\alpha }|_{U_{\alpha \beta }}}$dónde ${\displaystyle f_{\alpha \beta }(z_{\beta })=z_{\alpha }}$

Recordemos que una deformación viene dada por un diagrama conmutativo.

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Spec}}(\mathbb {C} )&\to &{\text{Spec}}(\mathbb {C} [\varepsilon ])\end{matrix}}}$

donde está el anillo de números duales y los mapas verticales son planos, la deformación tiene la interpretación cohomológica como cociclos en donde ${\displaystyle \mathbb {C} [\varepsilon ]}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}_{\alpha \beta }(z_{\beta },\varepsilon )}$ ${\displaystyle U_{\alpha }\times {\text{Spec}}(\mathbb {C} [\varepsilon ])}$

${\displaystyle z_{\alpha }={\tilde {f}}_{\alpha \beta }(z_{\beta },\varepsilon )=f_{\alpha \beta }(z_{\beta })+\varepsilon b_{\alpha \beta }(z_{\beta })}$

Si cumplen la condición de cociclo, entonces se adhieren a la deformación . Esto se puede leer como ${\displaystyle {\tilde {f}}_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {f}}_{\alpha \gamma }(z_{\gamma },\varepsilon )={}&{\tilde {f}}_{\alpha \beta }({\tilde {f}}_{\beta \gamma }(z_{\gamma },\varepsilon ),\varepsilon )\\={}&f_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma })+\varepsilon b_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))\\&+\varepsilon b_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma })+\varepsilon b_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))\end{aligned}}}$

Utilizando las propiedades de los números duales, es decir , tenemos ${\displaystyle g(a+b\varepsilon )=g(a)+\varepsilon g'(a)b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma })+\varepsilon b_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))&=f_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))+\varepsilon {\frac {\partial f_{\alpha \beta }}{\partial z_{\beta }}}(z_{\beta })b_{\beta \gamma }(z_{\gamma })\\\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon b_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma })+\varepsilon b_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))=\varepsilon b_{\alpha \beta }(z_{\beta })\end{aligned}}}$

Por lo tanto, la condición del ciclo se basa en las dos reglas siguientes: ${\displaystyle U_{\alpha }\times {\text{Spec}}(\mathbb {C} [\varepsilon ])}$

1. ${\displaystyle b_{\alpha \gamma }={\frac {\partial f_{\alpha \beta }}{\partial z_{\beta }}}b_{\beta \gamma }+b_{\alpha \beta }}$
2. ${\displaystyle f_{\alpha \gamma }=f_{\alpha \beta }\circ f_{\beta \gamma }}$

Conversión a cociclos de campos vectoriales

El cociclo de la deformación se puede convertir fácilmente en un cociclo de campos vectoriales de la siguiente manera: dado el cociclo podemos formar el campo vectorial ${\displaystyle \theta =\{\theta _{\alpha \beta }\}\in C^{1}({\mathcal {U}},T_{X})}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}_{\alpha \beta }=f_{\alpha \beta }+\varepsilon b_{\alpha \beta }}$

${\displaystyle \theta _{\alpha \beta }=\sum _{i=1}^{n}b_{\alpha \beta }^{i}{\frac {\partial }{\partial z_{\alpha }^{i}}}}$

que es una 1-cocadena. Entonces la regla para los mapas de transición de da esta 1-cocadena como un 1-cociclo, por lo tanto una clase . ${\displaystyle b_{\alpha \gamma }}$ ${\displaystyle [\theta ]\in H^{1}(X,T_{X})}$

Uso de campos vectoriales

Una de las construcciones originales de este mapa utilizó campos vectoriales en los entornos de geometría diferencial y análisis complejo. ^[1] Dada la notación anterior, la transición de una deformación a la condición de cociclo es transparente sobre una base pequeña de dimensión uno, por lo que solo hay un parámetro . Entonces, la condición de cociclo se puede leer como ${\displaystyle t}$

${\displaystyle f_{ik}^{\alpha }(z_{k},t)=f_{ij}^{\alpha }(f_{kj}^{1}(z_{k},t),\ldots ,f_{kj}^{n}(z_{k},t),t)}$

Entonces, la derivada de con respecto a se puede calcular a partir de la ecuación anterior como ${\displaystyle f_{ik}^{\alpha }(z_{k},t)}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f_{ik}^{\alpha }(z_{k},t)}{\partial t}}&={\frac {\partial f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)}{\partial t}}+\sum _{\beta =0}^{n}{\frac {\partial f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)}{\partial f_{jk}^{\beta }(z_{k},t)}}\cdot {\frac {\partial f_{jk}^{\beta }(z_{k},t)}{\partial t}}\\\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que debido a que y , entonces la derivada se lee como ${\displaystyle z_{j}^{\beta }=f_{jk}^{\beta }(z_{k},t)}$ ${\displaystyle z_{i}^{\alpha }=f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f_{ik}^{\alpha }(z_{k},t)}{\partial t}}&={\frac {\partial f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)}{\partial t}}+\sum _{\beta =0}^{n}{\frac {\partial z_{i}^{\alpha }}{\partial z_{j}^{\beta }}}\cdot {\frac {\partial f_{jk}^{\beta }(z_{k},t)}{\partial t}}\\\end{aligned}}}$

Con un cambio de coordenadas de la parte del campo vectorial holomórfico anterior que tiene estas derivadas parciales como coeficientes, podemos escribir

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{j}^{\beta }}}=\sum _{\alpha =1}^{n}{\frac {\partial z_{i}^{\alpha }}{\partial z_{j}^{\beta }}}\cdot {\frac {\partial }{\partial z_{i}^{\alpha }}}}$

Por lo tanto, podemos escribir la ecuación anterior como la siguiente ecuación de campos vectoriales

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\alpha =0}^{n}{\frac {\partial f_{ik}^{\alpha }(z_{k},t)}{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial z_{i}^{\alpha }}}=&\sum _{\alpha =0}^{n}{\frac {\partial f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)}{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial z_{i}^{\alpha }}}\\&+\sum _{\beta =0}^{n}{\frac {\partial f_{jk}^{\beta }(z_{k},t)}{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial z_{j}^{\beta }}}\\\end{aligned}}}$

Reescribiendo esto como los campos vectoriales

${\displaystyle \theta _{ik}(t)=\theta _{ij}(t)+\theta _{jk}(t)}$

dónde

${\displaystyle \theta _{ij}(t)={\frac {\partial f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)}{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial z_{i}^{\alpha }}}}$

da la condición de cociclo. Por lo tanto, tiene una clase asociada en a partir de la deformación original de . ${\displaystyle \theta _{ij}}$ ${\displaystyle [\theta _{ij}]\in H^{1}(M,T_{M})}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}_{ij}}$ ${\displaystyle f_{ij}}$

En la teoría de esquemas

Deformaciones de variedad suave ^[5]

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Spec}}(k)&\to &{\text{Spec}}(k[\varepsilon ])\end{matrix}}}$

tienen una clase Kodaira-Spencer construida cohomológicamente. Asociada a esta deformación está la secuencia exacta corta

${\displaystyle 0\to \pi ^{*}\Omega _{{\text{Spec}}(k[\varepsilon ])}^{1}\to \Omega _{\mathfrak {X}}^{1}\to \Omega _{{\mathfrak {X}}/S}^{1}\to 0}$

(donde ) que cuando se tensa con el módulo da la secuencia exacta corta ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {X}}\to S={\text{Spec}}(k[\varepsilon ])}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{\mathfrak {X}}^{1}\otimes {\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X}^{1}\to 0}$

Usando categorías derivadas , esto define un elemento en

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {R} {\text{Hom}}(\Omega _{X}^{1},{\mathcal {O}}_{X}[+1])&\cong \mathbf {R} {\text{Hom}}({\mathcal {O}}_{X},T_{X}[+1])\\&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}_{X},T_{X})\\&\cong H^{1}(X,T_{X})\end{aligned}}}$

generalización del mapa de Kodaira-Spencer. Nótese que esto podría generalizarse a cualquier mapa suave utilizando la secuencia cotangente, dando un elemento en . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\text{Sch}}/S}$ ${\displaystyle H^{1}(X,T_{X/Y}\otimes f^{*}(\Omega _{Y/Z}^{1}))}$

De topos anillados

Una de las construcciones más abstractas de los mapas de Kodaira-Spencer proviene de los complejos cotangentes asociados a una composición de mapas de topos anillados .

${\displaystyle X\xrightarrow {f} Y\to Z}$

Luego, asociado a esta composición se encuentra un triángulo distinguido.

${\displaystyle f^{*}\mathbf {L} _{Y/Z}\to \mathbf {L} _{X/Z}\to \mathbf {L} _{X/Y}\xrightarrow {[+1]} }$

y este mapa de límites forma el mapa de Kodaira–Spencer ^[6] (o clase de cohomología, denotada ). Si los dos mapas en la composición son mapas suaves de esquemas, entonces esta clase coincide con la clase en . ${\displaystyle K(X/Y/Z)}$ ${\displaystyle H^{1}(X,T_{X/Y}\otimes f^{*}(\Omega _{Y/Z}^{1}))}$

Ejemplos

Con gérmenes analíticos

El mapa de Kodaira-Spencer al considerar gérmenes analíticos es fácilmente computable usando la cohomología tangente en la teoría de la deformación y sus deformaciones versales. ^[7] Por ejemplo, dado el germen de un polinomio , su espacio de deformaciones puede ser dado por el módulo ${\displaystyle f(z_{1},\ldots ,z_{n})\in \mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}=H}$

${\displaystyle T^{1}={\frac {H}{df\cdot H^{n}}}}$

Por ejemplo, si entonces sus deformaciones versales están dadas por ${\displaystyle f=y^{2}-x^{3}}$

${\displaystyle T^{1}={\frac {\mathbb {C} \{x,y\}}{(y,x^{2})}}}$

Por lo tanto, una deformación arbitraria viene dada por . Entonces, para un vector , que tiene como base ${\displaystyle F(x,y,a_{1},a_{2})=y^{2}-x^{3}+a_{1}+a_{2}x}$ ${\displaystyle v\in T_{0}(\mathbb {C} ^{2})}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a_{1}}},{\frac {\partial }{\partial a_{2}}}}$

Allí está el mapa que se envía ${\displaystyle KS:v\mapsto v(F)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{1}{\frac {\partial }{\partial a_{1}}}+\phi _{2}{\frac {\partial }{\partial a_{2}}}\mapsto &\phi _{1}{\frac {\partial F}{\partial a_{1}}}+\phi _{2}{\frac {\partial F}{\partial a_{2}}}\\&=\phi _{1}+\phi _{2}\cdot x\end{aligned}}}$

Sobre hipersuperficies afines con el complejo cotangente

Para una hipersuperficie afín sobre un campo definido por un polinomio , existe el triángulo fundamental asociado ${\displaystyle i:X_{0}\hookrightarrow \mathbb {A} ^{n}\to {\text{Spec}}(k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle i^{*}\mathbf {L} _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k)}\to \mathbf {L} _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)}\to \mathbf {L} _{X_{0}/\mathbb {A} ^{n}}\xrightarrow {[+1]} }$

Luego, al aplicarlo se obtiene la secuencia larga y exacta. ${\displaystyle \mathbf {RHom} (-,{\mathcal {O}}_{X_{0}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\textbf {RHom}}(i^{*}\mathbf {L} _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])\leftarrow {\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])\leftarrow {\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/\mathbb {A} ^{n}},{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])\\\leftarrow &{\textbf {RHom}}(i^{*}\mathbf {L} _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\leftarrow {\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\leftarrow {\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/\mathbb {A} ^{n}},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\end{aligned}}}$

Recordemos que existe el isomorfismo

${\displaystyle {\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])\cong {\text{Ext}}^{1}(\mathbf {L} _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}})}$

De la teoría general de categorías derivadas, y el grupo ext clasifica las deformaciones de primer orden. Luego, mediante una serie de reducciones, se puede calcular este grupo. Primero, como es un módulo libre , . Además, como , existen isomorfismos ${\displaystyle \mathbf {L} _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k)}\cong \Omega _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k)}^{1}}$ ${\displaystyle {\textbf {RHom}}(i^{*}\mathbf {L} _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])=0}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{X_{0}/\mathbb {A} ^{n}}\cong {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}[+1]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/\mathbb {A} ^{n}},{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])\cong &{\textbf {RHom}}({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}[+1],{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])\\\cong &{\textbf {RHom}}({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\\\cong &{\text{Ext}}^{0}({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\\\cong &{\text{Hom}}({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\\\cong &{\mathcal {O}}_{X_{0}}\end{aligned}}}$

El último isomorfismo proviene del isomorfismo , y un morfismo en ${\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\cong {\mathcal {I}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{\mathbb {A} ^{n}}}{\mathcal {O}}_{X_{0}}}$

${\displaystyle {\text{Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X_{0}}}({\mathcal {I}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{\mathbb {A} ^{n}}}{\mathcal {O}}_{X_{0}},{\mathcal {O}}_{X_{0}})}$ enviar ${\displaystyle [gf]\mapsto g'g+(f)}$

dando el isomorfismo deseado. De la sucesión cotangente

${\displaystyle {\frac {(f)}{(f)^{2}}}\xrightarrow {[g]\mapsto dg\otimes 1} \Omega _{\mathbb {A} ^{n}}^{1}\otimes {\mathcal {O}}_{X_{0}}\to \Omega _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)}^{1}\to 0}$

(que es una versión truncada del triángulo fundamental) el mapa de conexión de la secuencia exacta larga es el dual de , dando el isomorfismo ${\displaystyle [g]\mapsto dg\otimes 1}$

${\displaystyle {\text{Ext}}^{1}(\mathbf {L} _{X_{0}/k},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\cong {\frac {k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}{\left(f,{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)}}}$

Tenga en cuenta que este cálculo se puede realizar utilizando la secuencia cotangente y calculando . ^[8] Luego, el mapa de Kodaira-Spencer envía una deformación ${\displaystyle {\text{Ext}}^{1}(\Omega _{X_{0}}^{1},{\mathcal {O}}_{X_{0}})}$

${\displaystyle {\frac {k[\varepsilon ][x_{1},\ldots ,x_{n}]}{f+\varepsilon g}}}$

al elemento . ${\displaystyle g\in {\text{Ext}}^{1}(\mathbf {L} _{X_{0}/k},{\mathcal {O}}_{X_{0}})}$

Véase también

• Complejo cotangente
• Teorema de Schlessinger
• Sistema lineal característico de una familia algebraica de curvas.
• Conexión Gauss-Manin
• Categoría derivada
• Función ext.

Referencias

1. Kodaira (2005). Variedades complejas y deformación de estructuras complejas . Clásicos de las matemáticas. págs. 182-184, 188-189. doi :10.1007/b138372. ISBN. 978-3-540-22614-7.
2. Huybrechts 2005, 6.2.6.
3. La principal diferencia entre una variedad compleja y un espacio complejo es que a este último se le permite tener un nilpotente.
4. Arbarello; Cornalba; Griffiths (2011). Geometría de Curvas Algebraicas II. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Arbarello, E. Et al: Curvas algebraicas I, II. Saltador. págs. 172-174. ISBN 9783540426882.
5. Sernesi. "Una visión general de la teoría clásica de la deformación" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 27 de abril de 2020.
6. Illusie, L. Compleja cotangente; aplicación a la teoría de las deformaciones (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2020-11-25 . Consultado el 2020-04-27 .
7. Palamodov (1990). "Deformaciones de espacios complejos". Varias variables complejas IV . Enciclopedia de ciencias matemáticas. Vol. 10. págs. 138, 130. doi :10.1007/978-3-642-61263-3_3. ISBN 978-3-642-64766-6.
8. Talpo, Mattia; Vistoli, Angelo (30 de enero de 2011). "Teoría de la deformación desde el punto de vista de las categorías fibrosas". pp. 25, ejercicio 3.25. arXiv : 1006.0497 [math.AG].

• Huybrechts, Daniel (2005). Geometría compleja: una introducción . Saltador. ISBN 3-540-21290-6.
• Kodaira, Kunihiko (1986), Variedades complejas y deformación de estructuras complejas, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], vol. 283, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96188-0, Sr.  0815922
• Publicación de Mathoverflow que relaciona las deformaciones con el anillo jacobiano.