Partición de la unidad

Conjunto de funciones desde un espacio topológico hasta [0,1] que suman 1 para cualquier entrada

En matemáticas , una partición de unidad de un espacio topológico es un conjunto de funciones continuas desde el intervalo unitario [0,1] tal que para cada punto : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$

• hay una vecindad de donde todas menos un número finito de funciones de son 0, y ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R}$
• la suma de todos los valores de la función en es 1, es decir, ${\displaystyle x}$ ${\textstyle \sum _{\rho \in R}\rho (x)=1.}$

Una partición de unidad de un círculo con cuatro funciones. El círculo se desenrolla hasta formar un segmento de línea (la línea sólida inferior) para fines gráficos. La línea discontinua superior es la suma de las funciones de la partición.

Las particiones de unidad son útiles porque a menudo permiten extender las construcciones locales a todo el espacio. También son importantes en la interpolación de datos, en el procesamiento de señales y en la teoría de funciones spline .

Existencia

La existencia de particiones de unidad asume dos formas distintas:

1. Dada cualquier cubierta abierta de un espacio, existe una partición indexada sobre el mismo conjunto tal que se dice que dicha partición está subordinada a la cubierta abierta. ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle \{\rho _{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \rho _{i}\subseteq U_{i}.}$ ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i}.}$
2. Si el espacio es localmente compacto, dada cualquier cobertura abierta de un espacio, existe una partición indexada sobre un conjunto de índices posiblemente distinto, de modo que cada uno tenga soporte compacto y para cada uno , soporte para algunos . ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle \{\rho _{j}\}_{j\in J}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \rho _{j}}$ ${\displaystyle j\in J}$ ${\displaystyle \rho _{j}\subseteq U_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$

Por tanto, se opta por tener los soportes indexados por la tapa abierta o por soportes compactos. Si el espacio es compacto , entonces existen particiones que satisfacen ambos requisitos.

Una cubierta abierta finita siempre tiene subordinada una partición continua de unidad, siempre que el espacio sea localmente compacto y Hausdorff. ^[1] La paracompacidad del espacio es condición necesaria para garantizar la existencia de una partición de unidad subordinada a cualquier cubierta abierta . Dependiendo de la categoría a la que pertenezca el espacio, también puede ser condición suficiente. ^[2] La construcción utiliza apaciguadores (funciones de relieve), que existen en variedades continuas y suaves , pero no en variedades analíticas . Así, para una cubierta abierta de una variedad analítica, generalmente no existe una partición analítica de unidad subordinada a esa cubierta abierta. Ver continuación analítica .

Si y son particiones de unidad para espacios y , respectivamente, entonces el conjunto de todos los pares es una partición de unidad para el espacio del producto cartesiano . El producto tensorial de funciones actúa como ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \{\rho \otimes \tau :\ \rho \in R,\ \tau \in T\}}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle (\rho \otimes \tau )(x,y)=\rho (x)\tau (y).}$

Ejemplo

Podemos construir una partición de la unidad mirando un gráfico en el complemento de un punto que se envía al centro . Ahora, sea una función de relieve definida por ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle p\in S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}-\{p\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle q\in S^{1}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \Phi (x)={\begin{cases}\exp \left({\frac {1}{x^{2}-1}}\right)&x\in (-1,1)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

${\displaystyle 1-\Phi }$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \Phi (p)=0}$ ${\displaystyle \{(S^{1}-\{p\},\Phi ),(S^{1}-\{q\},1-\Phi )\}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

Definiciones de variantes

A veces se utiliza una definición menos restrictiva: solo se requiere que la suma de todos los valores de la función en un punto particular sea positiva, en lugar de 1, para cada punto del espacio. Sin embargo, dado tal conjunto de funciones, se puede obtener una partición de la unidad en sentido estricto dividiendo por la suma; la partición se convierte en donde , que está bien definida ya que en cada punto sólo un número finito de términos son distintos de cero. Aún más, algunos autores eliminan el requisito de que los soportes sean localmente finitos, exigiendo sólo eso para todos . ^[3] ${\displaystyle \{\psi _{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \{\sigma ^{-1}\psi _{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\textstyle \sigma (x):=\sum _{i=1}^{\infty }\psi _{i}(x)}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\psi _{i}(x)<\infty }$ ${\displaystyle x}$

En el campo de las álgebras de operadores , una partición de la unidad se compone de proyecciones ^[4] . En el caso de -álgebras , se puede demostrar que las entradas son ortogonales por pares : ^[5] ${\displaystyle p_{i}=p_{i}^{*}=p_{i}^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} ^{*}}$

$${\displaystyle p_{i}p_{j}=\delta _{i,j}p_{i}\qquad (p_{i},\,p_{j}\in R).}$$

Tenga en cuenta que no*-álgebra^[6]

Si es un elemento normal de un álgebra unital y tiene un espectro finito , entonces las proyecciones en la descomposición espectral : ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mathrm {C} ^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma (a)=\{\lambda _{1},\dots ,\lambda _{N}\}}$

$${\displaystyle a=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\,P_{i},}$$

^[7]

En el campo de los grupos cuánticos compactos , las filas y columnas de la representación fundamental de un grupo de permutación cuántica forman particiones de unidad. ^[8] ${\displaystyle u\in M_{N}(C)}$ ${\displaystyle (C,u)}$

Aplicaciones

Se puede utilizar una partición de unidad para definir la integral (con respecto a una forma de volumen ) de una función definida sobre una variedad: primero se define la integral de una función cuyo soporte está contenido en un único parche de coordenadas de la variedad; luego se usa una partición de la unidad para definir la integral de una función arbitraria; finalmente se muestra que la definición es independiente de la partición de unidad elegida.

Se puede utilizar una partición de la unidad para mostrar la existencia de una métrica de Riemann en una variedad arbitraria.

El método de descenso más pronunciado emplea una partición de la unidad para construir asintóticas de integrales.

El filtro Linkwitz-Riley es un ejemplo de implementación práctica de partición de unidad para separar la señal de entrada en dos señales de salida que contienen solo componentes de alta o baja frecuencia.

Los polinomios de Bernstein de grado fijo m son una familia de m +1 polinomios linealmente independientes que son una partición de la unidad para el intervalo unitario . ${\displaystyle [0,1]}$

Las particiones de unidad se utilizan para establecer aproximaciones globales suaves para funciones de Sobolev en dominios acotados. ^[9]

Ver también

• Suavidad § Particiones suaves de la unidad.
• axioma de pegado
• gavilla fina

Referencias

1. Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo (3ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pag. 40.ISBN _ 978-0-07-054234-1.
2. Aliprantis, Charalambos D.; Frontera, Kim C. (2007). Análisis de dimensiones infinitas: una guía para el autoestopista (3ª ed.). Berlín: Springer. pag. 716.ISBN _ 978-3-540-32696-0.
3. Strichartz, Robert S. (2003). Una guía para la teoría de la distribución y las transformadas de Fourier. Singapur: Pub científico mundial. ISBN del condado 981-238-421-9. OCLC  54446554.
4. Conway, John B. Un curso de análisis funcional (2ª ed.). Saltador. pag. 54.ISBN _ 0-387-97245-5.
5. Freslon, Amaury (2023). Grupos cuánticos de matriz compacta y su combinatoria . Prensa de la Universidad de Cambridge.
6. Fritz, Tobías. "Ortogonalidad por pares para particiones de la unidad en un * -álgebra". Desbordamiento matemático . Consultado el 7 de febrero de 2024 .
7. Murphy, Gerard J. (1990). C*-Álgebras y teoría del operador . Prensa académica. pag. 66.ISBN _ 0-12-511360-9.
8. Bánica, Teo (2023). Introducción a los grupos cuánticos . Saltador. ISBN 978-3-031-23816-1.
9. Evans, Lawrence (2 de marzo de 2010), "Espacios de Sobolev", Ecuaciones diferenciales parciales , Estudios de Posgrado en Matemáticas, vol. 19, Sociedad Estadounidense de Matemáticas, págs. 253–309, doi :10.1090/gsm/019/05, ISBN 9780821849743

• Tu, Loring W. (2011), Introducción a las variedades , Universitext (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4419-7400-6, ISBN 978-1-4419-7399-3, ver capítulo 13

enlaces externos

• Información general sobre la partición de la unidad en [Mathworld]