Sin coordenadas

Un tratamiento libre de coordenadas o libre de componentes de una teoría científica o un tema matemático desarrolla sus conceptos en cualquier forma de variedad sin referencia a ningún sistema de coordenadas particular .

Beneficios

Los tratamientos sin coordenadas generalmente permiten sistemas de ecuaciones más simples y restringen inherentemente ciertos tipos de inconsistencia, lo que permite una mayor elegancia matemática a costa de cierta abstracción de las fórmulas detalladas necesarias para evaluar estas ecuaciones dentro de un sistema particular de coordenadas.

Además de la elegancia, los tratamientos sin coordenadas son cruciales en ciertas aplicaciones para demostrar que una definición dada está bien formulada. Por ejemplo, para un espacio vectorial con base , puede ser tentador construir el espacio dual como el espacio formal de los símbolos con corchete , pero no está inmediatamente claro que esta construcción sea independiente del sistema de coordenadas inicial elegido. En cambio, es mejor construir como el espacio de funcionales lineales con corchete , y luego derivar las fórmulas basadas en coordenadas a partir de esta construcción. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v_{1},...,v_{n}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle v_{1}^{*},...,v_{n}^{*}}$ ${\displaystyle \langle \sum \alpha _{i}v_{i},\sum \beta _{i}v_{i}^{*}\rangle :=\sum \alpha _{i}\beta _{i}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle \langle v,\varphi \rangle =\varphi (v)}$

No obstante, a veces puede resultar demasiado complicado proceder a partir de un tratamiento sin coordenadas, o un tratamiento sin coordenadas puede garantizar la unicidad pero no la existencia del objeto descrito, o un tratamiento sin coordenadas puede simplemente no existir. Como ejemplo de la última situación, la aplicación indica un isomorfismo general entre un espacio vectorial de dimensión finita y su dual, pero este isomorfismo no está atestiguado por ninguna definición sin coordenadas. Como ejemplo de la segunda situación, una forma común de construir el producto de fibra de esquemas implica pegar parches afines. ^[1] Para aliviar la falta de elegancia de esta construcción, el producto de fibra se caracteriza entonces por una propiedad universal conveniente y se demuestra que es independiente de los parches afines iniciales elegidos. ${\displaystyle v_{i}\mapsto v_{i}^{*}}$

Historia

Los tratamientos libres de coordenadas eran el único enfoque disponible para la geometría (y ahora se conocen como geometría sintética ) antes del desarrollo de la geometría analítica por parte de Descartes . Después de varios siglos de exposición generalmente basada en coordenadas, la tendencia moderna es generalmente introducir a los estudiantes a los tratamientos libres de coordenadas desde el principio, y luego derivar los tratamientos basados ​​en coordenadas del tratamiento libre de coordenadas, en lugar de al revés .

Aplicaciones

Los campos que ahora se introducen a menudo con tratamientos sin coordenadas incluyen el cálculo vectorial , los tensores , la geometría diferencial y los gráficos por computadora . ^[2]

En física , la existencia de tratamientos libres de coordenadas de las teorías físicas es un corolario del principio de covarianza general .

Véase también

• Covarianza general
• Fundamentos de geometría
• Cambio de base
• Condiciones de coordenadas
• Tratamiento de tensores sin componentes
• Independencia de fondo
• Topología sin sentido

Referencias

1. Hartshorne, Robin (1977). Geometría algebraica . Springer. pág. 87. ISBN. 978-0387902449.
2. DeRose, Tony D. Gráficos informáticos tridimensionales: un enfoque sin coordenadas . Consultado el 25 de septiembre de 2017 .