Condiciones de coordenadas

En la relatividad general , las leyes de la física se pueden expresar en forma generalmente covariante . En otras palabras, la descripción del mundo dada por las leyes de la física no depende de nuestra elección de sistemas de coordenadas. Sin embargo, a menudo resulta útil fijarse en un sistema de coordenadas particular para resolver problemas reales o hacer predicciones reales. Una condición de coordenadas selecciona dichos sistemas de coordenadas.

Indeterminación en la relatividad general

Las ecuaciones de campo de Einstein no determinan la métrica de forma única, incluso si se sabe a qué equivale el tensor métrico en todas partes en un momento inicial. Esta situación es análoga al fracaso de las ecuaciones de Maxwell para determinar los potenciales de forma única. En ambos casos, la ambigüedad puede eliminarse fijando el calibre . Por tanto, las condiciones de coordenadas son un tipo de condición de calibre. ^[1] Ninguna condición de coordenadas es generalmente covariante, pero muchas condiciones de coordenadas son covariantes de Lorentz o covariantes rotacionales .

Ingenuamente, uno podría pensar que las condiciones de coordenadas tomarían la forma de ecuaciones para la evolución de las cuatro coordenadas y, de hecho, en algunos casos (por ejemplo, la condición de coordenadas armónicas) se pueden expresar en esa forma. Sin embargo, es más habitual que aparezcan como cuatro ecuaciones adicionales (más allá de las ecuaciones de campo de Einstein) para la evolución del tensor métrico. Las ecuaciones de campo de Einstein por sí solas no determinan completamente la evolución de la métrica en relación con el sistema de coordenadas. Podría parecer que sí, ya que existen diez ecuaciones para determinar los diez componentes de la métrica. Sin embargo, debido a la segunda identidad de Bianchi del tensor de curvatura de Riemann , la divergencia del tensor de Einstein es cero, lo que significa que cuatro de las diez ecuaciones son redundantes, dejando cuatro grados de libertad que pueden asociarse con la elección de las cuatro coordenadas. El mismo resultado se puede derivar de una expansión de Kramers-Moyal-van-Kampen de la ecuación Master (usando los coeficientes de Clebsch-Gordan para descomponer productos tensoriales) ^{[ cita necesaria ]} .

Coordenadas armónicas

Una condición de coordenadas particularmente útil es la condición armónica (también conocida como "calibre de Donder"):

0=\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }g^{\beta \gamma }\!.

Aquí, gamma es un símbolo de Christoffel (también conocido como "conexión afín"), y la "g" con superíndices es la inversa del tensor métrico . Esta condición armónica es frecuentemente utilizada por los físicos cuando trabajan con ondas gravitacionales . Esta condición también se utiliza frecuentemente para derivar la aproximación posnewtoniana .

Aunque la condición de coordenadas armónicas generalmente no es covariante, sí lo es de Lorentz. Esta condición de coordenadas resuelve la ambigüedad del tensor métrico proporcionando cuatro ecuaciones diferenciales adicionales que el tensor métrico debe satisfacer. $g_{\mu \nu }\!$

Coordenadas sincrónicas

Otra condición de coordenadas particularmente útil es la condición síncrona:

g_{01}=g_{02}=g_{03}=0\!

g_{00}=-1\!

Las coordenadas síncronas también se conocen como coordenadas gaussianas. ^[2] Se utilizan con frecuencia en cosmología . ^[3]

La condición de coordenadas síncronas no es generalmente covariante ni covariante de Lorentz. Esta condición de coordenadas resuelve la ambigüedad del tensor métrico proporcionando cuatro ecuaciones algebraicas que el tensor métrico debe satisfacer. $g_{\mu \nu }\!$

Otras coordenadas

Los físicos han empleado muchas otras condiciones de coordenadas, aunque ninguna de manera tan generalizada como las descritas anteriormente. Casi todas las condiciones de coordenadas utilizadas por los físicos, incluidas las condiciones de coordenadas armónicas y sincrónicas, se cumplirían con un tensor métrico que sea igual al tensor de Minkowski en todas partes. (Sin embargo, dado que el tensor de Riemann y, por tanto, el de Ricci para las coordenadas de Minkowski es idénticamente cero, las ecuaciones de Einstein dan energía/materia cero para las coordenadas de Minkowski; por lo tanto, las coordenadas de Minkowski no pueden ser una respuesta final aceptable). A diferencia de las condiciones de coordenadas armónicas y sincrónicas, algunas Las condiciones de coordenadas comúnmente utilizadas pueden ser subdeterminativas o sobredeterminantes.

Un ejemplo de condición subdeterminativa es la afirmación algebraica de que el determinante del tensor métrico es −1, lo que todavía deja una considerable libertad de calibre. ^[4] Esta condición tendría que complementarse con otras condiciones para eliminar la ambigüedad en el tensor métrico.

Un ejemplo de condición sobredeterminativa es la afirmación algebraica de que la diferencia entre el tensor métrico y el tensor de Minkowski es simplemente un cuatro vectores nulos multiplicado por sí mismo, lo que se conoce como forma de Kerr-Schild de la métrica. ^[5] Esta condición de Kerr-Schild va mucho más allá de eliminar la ambigüedad de coordenadas y, por lo tanto, también prescribe un tipo de estructura física espacio-temporal. El determinante del tensor métrico en una métrica de Kerr-Schild es negativo, lo que en sí mismo es una condición de coordenadas subdeterminativa. ^[4]^[6]

Al elegir las condiciones de las coordenadas, es importante tener cuidado con las ilusiones o artefactos que pueden crearse con esa elección. Por ejemplo, la métrica de Schwarzschild puede incluir una singularidad aparente en una superficie que está separada de la fuente puntual, pero esa singularidad es simplemente un artefacto de la elección de condiciones de coordenadas, en lugar de surgir de la realidad física real. ^[7]

Si uno va a resolver las ecuaciones de campo de Einstein usando métodos aproximados como la expansión post-Newtoniana , entonces debe intentar elegir una condición de coordenadas que haga que la expansión converja lo más rápido posible (o al menos evite que diverja). De manera similar, para los métodos numéricos es necesario evitar las cáusticas (singularidades de coordenadas).

Condiciones de coordenadas covariantes de Lorentz

Si se combina una condición de coordenadas que es covariante de Lorentz, como la condición de coordenadas armónicas mencionada anteriormente, con las ecuaciones de campo de Einstein , entonces se obtiene una teoría que en cierto sentido es consistente tanto con la relatividad especial como con la relatividad general. Entre los ejemplos más simples de tales condiciones de coordenadas se encuentran estos:

$g_{\alpha \beta ,\gamma }\eta ^{\beta \gamma }=k\,g_{\mu \nu ,\alpha }\eta ^{\mu \nu }\,.$
$g^{\alpha \beta }{}_{,\beta }=k\,g^{\mu \nu }{}_{,\gamma }\eta _{\mu \nu }\eta ^{\alpha \gamma }\,.$

donde se puede fijar la constante k para que sea cualquier valor conveniente.

Notas a pie de página

^ Salam, Abdus y col. Artículos seleccionados de Abdus Salam, página 391 (World Scientific 1994).
^ Stephani, Hans y Stewart, John. Relatividad general, página 20 (Cambridge University Press 1990).
^ C.-P. Ma y E. Bertschinger (1995). "Teoría de la perturbación cosmológica en los calibres newtonianos síncronos y conformes". Astrofia. J. 455 : 7–25. arXiv : astro-ph/9506072 . Código Bib : 1995ApJ...455....7M. doi :10.1086/176550. S2CID 263787836.
^ ab Pandey, SN “Sobre un espacio-tiempo de Peres generalizado”, Indian Journal of Pure and Applied Mathematics (1975) citando a Moller, C. La teoría de la relatividad (Clarendon Press 1972).
^ Chandrasekhar, S. La teoría matemática de los agujeros negros, página 302 (Oxford University Press, 1998). Se han sugerido generalizaciones de las condiciones de Kerr-Schild; por ejemplo, ver Hildebrandt, Sergi. “Kerr-Schild y los movimientos métricos generalizados”, página 22 (Arxiv.org 2002).
^ Stephani, Hans y col. Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein, página 485 (Cambridge University Press 2003).
^ Fecha, Ghanashyam. “Conferencias sobre introducción a la relatividad general” Archivado el 20 de julio de 2011 en Wayback Machine , página 26 (Instituto de Ciencias Matemáticas 2005).