Representación del álgebra de mentiras

En el campo matemático de la teoría de la representación , una representación del álgebra de Lie o representación de un álgebra de Lie es una forma de escribir un álgebra de Lie como un conjunto de matrices (o endomorfismos de un espacio vectorial ) de tal manera que el corchete de Lie esté dado por el conmutador . En el lenguaje de la física, se busca un espacio vectorial junto con una colección de operadores que satisfagan algún conjunto fijo de relaciones de conmutación, como las relaciones satisfechas por los operadores de momento angular . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

La noción está estrechamente relacionada con la de representación de un grupo de Lie . En términos generales, las representaciones de álgebras de Lie son la forma diferenciada de representaciones de grupos de Lie, mientras que las representaciones de la cobertura universal de un grupo de Lie son la forma integrada de las representaciones de su álgebra de Lie.

En el estudio de las representaciones de un álgebra de Lie, un anillo particular , llamado álgebra envolvente universal , asociado con el álgebra de Lie juega un papel importante. La universalidad de este anillo dice que la categoría de representaciones de un álgebra de Lie es la misma que la categoría de módulos sobre su álgebra envolvente.

Definicion formal

Sea un álgebra de Lie y sea un espacio vectorial. Denotemos el espacio de endomorfismos de , es decir, el espacio de todas las aplicaciones lineales de a sí mismo. Hacemos un álgebra de Lie con paréntesis dado por el conmutador: para todo ρ,σ en . Entonces una representación de on es un homomorfismo del álgebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle [\rho ,\sigma ]=\rho \circ \sigma -\sigma \circ \rho }$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \rho \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$.

Explícitamente, esto significa que debería ser un mapa lineal y debería satisfacer ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho ([X,Y])=\rho (X)\rho (Y)-\rho (Y)\rho (X)}$

para todo X, Y en . El espacio vectorial V , junto con la representación ρ , se llama módulo . (Muchos autores abusan de la terminología y se refieren a la propia V como la representación). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

La representación se dice fiel si es inyectiva. ${\displaystyle \rho }$

De manera equivalente, se puede definir un módulo como un espacio vectorial V junto con un mapa bilineal tal que ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times V\to V}$

${\displaystyle [X,Y]\cdot v=X\cdot (Y\cdot v)-Y\cdot (X\cdot v)}$

para todos X,Y en y v en V . Esto está relacionado con la definición anterior al establecer X ⋅ v = ρ ( X )( v ). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Ejemplos

Representaciones adjuntas

El ejemplo más básico de una representación de álgebra de Lie es la representación adjunta de un álgebra de Lie sobre sí misma: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\textrm {ad}}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}}),\quad X\mapsto \operatorname {ad} _{X},\quad \operatorname {ad} _{X}(Y)=[X,Y].}$

De hecho, en virtud de la identidad de Jacobi , es un homomorfismo del álgebra de Lie. ${\displaystyle \operatorname {ad} }$

Representaciones del grupo de mentiras infinitesimales

En la naturaleza también surge una representación del álgebra de Lie. Si : G → H es un homomorfismo de grupos de Lie (reales o complejos) , y y son las álgebras de Lie de G y H respectivamente, entonces el diferencial en espacios tangentes en las identidades es un homomorfismo de álgebra de Lie. En particular, para un espacio vectorial de dimensión finita V , una representación de grupos de Lie ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle d_{e}\phi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle \phi :G\to \operatorname {GL} (V)\,}$

determina un homomorfismo del álgebra de Lie

${\displaystyle d\phi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$

desde al álgebra de Lie del grupo lineal general GL( V ), es decir, el álgebra de endomorfismo de V . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Por ejemplo, dejemos . Entonces el diferencial de en la identidad es un elemento de . Denotándolo por uno se obtiene una representación de G en el espacio vectorial . Esta es la representación adjunta de G . Aplicando lo anterior, se obtiene la representación del álgebra de Lie . Se puede demostrar que , la representación adjunta de . ${\displaystyle c_{g}(x)=gxg^{-1}}$ ${\displaystyle c_{g}:G\to G}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} (g)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle d\operatorname {Ad} }$ ${\displaystyle d_{e}\operatorname {Ad} =\operatorname {ad} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Una inversa parcial de esta afirmación dice que cada representación de un álgebra de Lie de dimensión finita (real o compleja) se eleva a una representación única del grupo de Lie asociado simplemente conectado , de modo que las representaciones de grupos de Lie simplemente conectados están en una relación uno a uno. una correspondencia con representaciones de sus álgebras de Lie. ^[1]

En física cuántica

En teoría cuántica, se consideran "observables" que son operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert . Las relaciones de conmutación entre estos operadores son entonces una herramienta importante. Los operadores de momento angular , por ejemplo, satisfacen las relaciones de conmutación

${\displaystyle [L_{x},L_{y}]=i\hbar L_{z},\;\;[L_{y},L_{z}]=i\hbar L_{x},\;\;[L_{z},L_{x}]=i\hbar L_{y},}$.

Por tanto, el intervalo de estos tres operadores forma un álgebra de Lie, que es isomorfa al álgebra de Lie so(3) del grupo de rotación SO(3) . ^[2] Entonces, si hay algún subespacio del espacio cuántico de Hilbert que sea invariante bajo los operadores de momento angular, constituirá una representación del álgebra de Lie so(3). Comprender la teoría de representación de so(3) es de gran ayuda, por ejemplo, para analizar los hamiltonianos con simetría rotacional, como el átomo de hidrógeno . Muchas otras álgebras de Lie interesantes (y sus representaciones) surgen en otras partes de la física cuántica. De hecho, la historia de la teoría de la representación se caracteriza por ricas interacciones entre las matemáticas y la física. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Conceptos básicos

Subespacios invariantes e irreductibilidad.

Dada una representación de un álgebra de Lie , decimos que un subespacio de es invariante si es para todos y . Se dice que una representación distinta de cero es irreducible si los únicos subespacios invariantes son ella misma y el espacio cero . El término módulo simple también se utiliza para una representación irreducible. ${\displaystyle \rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow \operatorname {End} (V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho (X)w\in W}$ ${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{0\}}$

Homomorfismos

Sea un álgebra de Lie . Sean V , W -módulos . Entonces un mapa lineal es un homomorfismo de -módulos si es -equivariante; es decir, para cualquiera . Si f es biyectiva, se dice que son equivalentes . Estos mapas también se denominan mapas entrelazados o morfismos . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle f(X\cdot v)=X\cdot f(v)}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}},\,v\in V}$ ${\displaystyle V,W}$

De manera similar, muchas otras construcciones de la teoría de módulos en álgebra abstracta se trasladan a este entorno: submódulo, cociente, subcociente, suma directa, serie de Jordan-Hölder, etc.

Lema de Schur

Una herramienta sencilla pero útil para estudiar representaciones irreducibles es el lema de Schur. Tiene dos partes: ^[3]

• Si V , W son módulos irreducibles y es un homomorfismo, entonces es cero o un isomorfismo. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle f}$
• Si V es un módulo irreducible sobre un campo algebraicamente cerrado y es un homomorfismo, entonces es un múltiplo escalar de la identidad. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle f:V\to V}$ ${\displaystyle f}$

Reducibilidad completa

Sea V una representación de un álgebra de Lie . Entonces se dice que V es completamente reducible (o semisimple) si es isomorfo a una suma directa de representaciones irreducibles (cf. módulo semisimple ). Si V es de dimensión finita, entonces V es completamente reducible si y sólo si cada subespacio invariante de V tiene un complemento invariante. (Es decir, si W es un subespacio invariante, entonces hay otro subespacio invariante P tal que V es la suma directa de W y P ). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Si es un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita sobre un campo de característica cero y V es de dimensión finita, entonces V es semisimple; este es el teorema de reducibilidad completa de Weyl . ^[4] Así, para álgebras de Lie semisimples, una clasificación de representaciones irreducibles (es decir, simples) conduce inmediatamente a la clasificación de todas las representaciones. Para otras álgebras de Lie, que no tienen esta propiedad especial, clasificar las representaciones irreducibles puede no ayudar mucho a clasificar representaciones generales. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Se dice que un álgebra de Lie es reductiva si la representación adjunta es semisimple. Ciertamente, todo álgebra de Lie semisimple (de dimensión finita) es reductiva, ya que toda representación de es completamente reducible, como acabamos de señalar. En la otra dirección, la definición de álgebra de Lie reductiva significa que se descompone como una suma directa de ideales (es decir, subespacios invariantes para la representación adjunta) que no tienen subideales no triviales. Algunos de estos ideales serán unidimensionales y el resto serán álgebras de Lie simples. Por tanto, un álgebra de Lie reductiva es una suma directa de un álgebra conmutativa y un álgebra semisimple. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Invariantes

Se dice que un elemento v de V es -invariante si es para todos . El conjunto de todos los elementos invariantes se denota por . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle x\cdot v=0}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V^{\mathfrak {g}}}$

Construcciones basicas

Productos tensoriales de representaciones.

Si tenemos dos representaciones de un álgebra de Lie , con V ₁ y V ₂ como sus espacios vectoriales subyacentes, entonces el producto tensorial de las representaciones tendría V ₁ ⊗ V ₂ como el espacio vectorial subyacente, con la acción de determinada de forma única por el suposición de que ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle X\cdot (v_{1}\otimes v_{2})=(X\cdot v_{1})\otimes v_{2}+v_{1}\otimes (X\cdot v_{2}).}$

para todos y . ${\displaystyle v_{1}\in V_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}\in V_{2}}$

En el lenguaje de los homomorfismos, esto significa que definimos por la fórmula ${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{2}:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V_{1}\otimes V_{2})}$

${\displaystyle (\rho _{1}\otimes \rho _{2})(X)=\rho _{1}(X)\otimes \mathrm {I} +\mathrm {I} \otimes \rho _{2}(X)}$. ^[5] Esto se llama suma de Kronecker de y , definida en Matrix suma#Kronecker_sum y Producto de Kronecker#Properties , y más específicamente en Producto tensorial de representaciones . ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle \rho _{2}}$

En la literatura de física, el producto tensorial con el operador identidad a menudo se suprime en la notación, con la fórmula escrita como

${\displaystyle (\rho _{1}\otimes \rho _{2})(X)=\rho _{1}(X)+\rho _{2}(X)}$,

donde se entiende que actúa sobre el primer factor del producto tensorial y actúa sobre el segundo factor del producto tensorial. En el contexto de las representaciones del álgebra de Lie su(2), el producto tensorial de las representaciones recibe el nombre de "suma de momento angular". En este contexto, podría ser, por ejemplo, el momento angular orbital y el momento angular de espín. ${\displaystyle \rho _{1}(x)}$ ${\displaystyle \rho _{2}(x)}$ ${\displaystyle \rho _{1}(X)}$ ${\displaystyle \rho _{2}(X)}$

Representaciones duales

Sea un álgebra de Lie y sea una representación de . Sea el espacio dual, es decir, el espacio de funcionales lineales en . Entonces podemos definir una representación mediante la fórmula ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho ^{*}:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V^{*})}$

${\displaystyle \rho ^{*}(X)=-(\rho (X))^{\operatorname {tr} },}$

donde para cualquier operador , el operador de transposición se define como el operador de "composición con": ${\displaystyle A:V\rightarrow V}$ ${\displaystyle A^{\operatorname {tr} }:V^{*}\rightarrow V^{*}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle (A^{\operatorname {tr} }\phi )(v)=\phi (Av)}$

El signo menos en la definición de es necesario para garantizar que en realidad sea una representación de , a la luz de la identidad. ${\displaystyle \rho ^{*}}$ ${\displaystyle \rho ^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle (AB)^{\operatorname {tr} }=B^{\operatorname {tr} }A^{\operatorname {tr} }.}$

Si trabajamos sobre una base, entonces la transpuesta en la definición anterior puede interpretarse como la transpuesta matricial ordinaria.

Representación en mapas lineales.

Sean -módulos, un álgebra de Lie . Luego se convierte en un módulo configurando . En particular, ; es decir, los homomorfismos del módulo de a son simplemente los elementos de que son invariantes bajo la acción recién definida de on . Si tomamos como campo base, recuperamos la acción de on dada en el apartado anterior. ${\displaystyle V,W}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle (X\cdot f)(v)=Xf(v)-f(Xv)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathfrak {g}}(V,W)=\operatorname {Hom} (V,W)^{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V^{*}}$

Teoría de la representación de álgebras de Lie semisimples

Véase Teoría de la representación de álgebras de Lie semisimples .

Álgebras envolventes

A cada álgebra de Lie sobre un campo k , se le puede asociar un determinado anillo llamado álgebra envolvente universal de y denotado . La propiedad universal del álgebra envolvente universal garantiza que toda representación de da lugar a una representación de . Por el contrario, el teorema de PBW nos dice que se encuentra dentro de , de modo que toda representación de puede restringirse a . Por tanto, existe una correspondencia uno a uno entre las representaciones de y las de . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

El álgebra envolvente universal juega un papel importante en la teoría de la representación de álgebras de Lie semisimples, descrita anteriormente. Específicamente, las representaciones irreducibles de dimensión finita se construyen como cocientes de módulos de Verma , y ​​los módulos de Verma se construyen como cocientes del álgebra envolvente universal. ^[6]

La construcción de es la siguiente. ^[7] Sea T el álgebra tensorial del espacio vectorial . Así, por definición, y la multiplicación viene dada por . Sea el anillo cociente de T por el ideal generado por elementos de la forma ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle T=\oplus _{n=0}^{\infty }\otimes _{1}^{n}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle [X,Y]-(X\otimes Y-Y\otimes X)}$.

Hay una aplicación lineal natural de dentro que se obtiene restringiendo la aplicación del cociente de a un grado de una pieza. El teorema de PBW implica que la aplicación canónica es en realidad inyectiva. Por lo tanto, cada álgebra de Lie se puede incluir en un álgebra asociativa de tal manera que el corchete en esté dado por en . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle T\to U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle A=U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$ ${\displaystyle A}$

Si es abeliano , entonces es el álgebra simétrica del espacio vectorial . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Dado que es un módulo sobre sí mismo mediante representación adjunta, el álgebra envolvente se convierte en un módulo al extender la representación adjunta. Pero también se puede utilizar la representación regular izquierda y derecha para hacer del álgebra envolvente un módulo; es decir, con la notación , el mapeo define una representación de on . La representación regular correcta se define de manera similar. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle l_{X}(Y)=XY,X\in {\mathfrak {g}},Y\in U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle X\mapsto l_{X}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

representación inducida

Sea un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un campo de característica cero y una subálgebra. actúa desde la derecha y, por lo tanto, para cualquier módulo W , se puede formar el módulo izquierdo . Es un módulo denotado por y llamado módulo inducido por W. Satisface (y de hecho se caracteriza por) la propiedad universal: para cualquier módulo E ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})\otimes _{U({\mathfrak {h}})}W}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathfrak {g}}(\operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W,E)\simeq \operatorname {Hom} _{\mathfrak {h}}(W,\operatorname {Res} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}E)}$.

Además, es un functor exacto de la categoría de -módulos a la categoría de -módulos. Estos utilizan el hecho de que es un módulo de derecho gratuito . En particular, si es simple (o absolutamente simple), entonces W es simple (o absolutamente simple). Aquí, un módulo V es absolutamente simple si es simple para cualquier extensión de campo . ${\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V\otimes _{k}F}$ ${\displaystyle F/k}$

La inducción es transitiva: para cualquier subálgebra de Lie y cualquier subálgebra de Lie . La inducción conmuta con restricción: sea una subálgebra y un ideal de eso esté contenido en . Establecer y . Entonces . ${\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}\simeq \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h'}}^{\mathfrak {g}}\circ \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {h'}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h'}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {h}}'}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}={\mathfrak {g}}/{\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{1}={\mathfrak {h}}/{\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}\circ \operatorname {Res} _{\mathfrak {h}}\simeq \operatorname {Res} _{\mathfrak {g}}\circ \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h_{1}}}^{\mathfrak {g_{1}}}}$

Representaciones de dimensión infinita y "categoría O"

Sea un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita sobre un campo de característica cero. (en el caso solucionable o nilpotente, se estudian los ideales primitivos del álgebra envolvente; cf. Dixmier para la explicación definitiva). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

La categoría de módulos (posiblemente de dimensión infinita) resulta ser demasiado grande, especialmente para que los métodos de álgebra homológica sean útiles: se dio cuenta de que una categoría de subcategoría más pequeña O es un mejor lugar para la teoría de la representación en el caso semisimple en característica cero. . Por ejemplo, la categoría O resultó tener el tamaño adecuado para formular la célebre reciprocidad BGG. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

módulo (g,K)

Una de las aplicaciones más importantes de las representaciones del álgebra de Lie es la teoría de la representación de grupos de Lie reductivos reales. La aplicación se basa en la idea de que si es una representación en el espacio de Hilbert de, digamos, un grupo de Lie lineal semisimple real conectado G , entonces tiene dos acciones naturales: la complejización y el subgrupo compacto máximo conectado K. La estructura del módulo permite aplicar métodos algebraicos, especialmente homológicos, y la estructura del módulo permite realizar el análisis armónico de una manera similar a la de grupos de Lie semisimples compactos conectados. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle K}$

Representación en un álgebra

Si tenemos una superálgebra de Lie L , entonces una representación de L en un álgebra es un álgebra A graduada Z 2 (no necesariamente asociativa ) que es una representación de L como un espacio vectorial graduado Z ₂ y, además, los elementos de L actúan como derivaciones / antiderivaciones en A .

Más específicamente, si H es un elemento puro de L y xey son elementos puros de A ,

H [ xy ] = ( H [ x ]) y + (−1) ^xH x ( H [ y ])

Además, si A es unitario , entonces

H [1] = 0

Ahora, para el caso de una representación de un álgebra de Lie , simplemente eliminamos todas las calificaciones y el (−1) a algunos factores de potencia.

Una (super)álgebra de Lie es un álgebra y tiene una representación adjunta de sí misma. Ésta es una representación en álgebra: la propiedad (anti)derivada es la identidad súper Jacobi .

Si un espacio vectorial es a la vez un álgebra asociativa y un álgebra de Lie y la representación adjunta del álgebra de Lie sobre sí misma es una representación en un álgebra (es decir, actúa por derivaciones sobre la estructura del álgebra asociativa), entonces es un álgebra de Poisson . La observación análoga para las superálgebras de Lie da la noción de superálgebra de Poisson .

Ver también

• Representación de un grupo de mentiras
• Peso (teoría de la representación)
• Teorema de Weyl sobre la reducibilidad total
• Sistema raíz
• Fórmula del carácter de Weyl
• Teoría de la representación de un grupo de Lie compacto conectado
• Lema de Whitehead (álgebras de Lie)
• Conjeturas de Kazhdan-Lusztig
• Lema de Quillen - análogo del lema de Schur

Notas

1. Teorema 5.6 de Hall 2015
2. Salón 2013 Sección 17.3
3. Teorema 4.29 de Hall 2015
4. Dixmier 1977, Teorema 1.6.3
5. Salón 2015 Sección 4.3
6. Salón 2015 Sección 9.5
7. Jacobson 1962

Referencias

• Bernstein IN, Gelfand IM, Gelfand SI, "Estructura de representaciones generadas por vectores de mayor peso", Funcional. Anal. Aplica. 5 (1971)
• Dixmier, J. (1977), Álgebras envolventes , Amsterdam, Nueva York, Oxford: Holanda Septentrional, ISBN 0-444-11077-1.
• A. Beilinson y J. Bernstein, "Localisation de g-modules", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, vol. 292, edición. 1, págs. 15-18, 1981.
• Bäuerle, GGA; de Kerf, EA (1990). A. van Groesen; EM de Jager (eds.). Álgebras de Lie de dimensiones finitas e infinitas y su aplicación en física . Estudios de física matemática. vol. 1. Holanda Septentrional. ISBN 0-444-88776-8.
• Bäuerle, GGA; de Kerf, EA; diez Kroode, APE (1997). A. van Groesen; EM de Jager (eds.). Álgebras de Lie de dimensiones finitas e infinitas y su aplicación en física . Estudios de física matemática. vol. 7. Holanda Septentrional. ISBN 978-0-444-82836-1– vía ScienceDirect .
• Fulton, W .; Harris, J. (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97495-8. SEÑOR  1153249.
• D. Gaitsgory, Teoría de la representación geométrica, Math 267y, otoño de 2005
• Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Rossmann, Wulf (2002), Grupos de mentiras: una introducción a través de grupos lineales , Textos de posgrado en matemáticas de Oxford, Publicaciones científicas de Oxford, ISBN 0-19-859683-9
• Ryoshi Hotta, Kiyoshi Takeuchi, Toshiyuki Tanisaki, módulos D, gavillas perversas y teoría de la representación ; Traducido por Kiyoshi Takeuch.
• Humphreys, James (1972), Introducción a las álgebras de mentira y la teoría de la representación, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 9, Springer, ISBN 9781461263982
• Jacobson, Nathan (1979) [1962]. Álgebras de mentira . Dover. ISBN 978-0-486-63832-4.
• Garrett Birkhoff ; Philip M. Whitman (1949). "Representación de las álgebras de Jordan y Lie" (PDF) . Trans. América. Matemáticas. Soc. 65 : 116-136. doi : 10.1090/s0002-9947-1949-0029366-6 .
• Kirillov, A. (2008). Introducción a los grupos de mentiras y las álgebras de mentiras. Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 113. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521889698.
• Knapp, Anthony W. (2001), Teoría de la representación de grupos semisimples. Una descripción general basada en ejemplos., Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton University Press, ISBN 0-691-09089-0(tratamiento elemental para SL(2, C ))
• Knapp, Anthony W. (2002), Grupos de mentiras más allá e introducción (segunda ed.), Birkhauser

Otras lecturas

• Ben-Zvi, David; Nadler, David (2012). "Localización de Beilinson-Bernstein sobre el centro Harish-Chandra". arXiv : 1209.0188v1 [matemáticas.RT].