En matemáticas , más específicamente en la teoría de las álgebras de Lie , el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt (o teorema PBW ) es un resultado que da una descripción explícita del álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie. Lleva el nombre de Henri Poincaré , Garrett Birkhoff y Ernst Witt .
Los términos teorema de tipo PBW y teorema de PBW también pueden referirse a varios análogos del teorema original, comparando un álgebra filtrada con su álgebra graduada asociada, en particular en el área de grupos cuánticos .
Recuerde que cualquier espacio vectorial V sobre un campo tiene una base ; este es un conjunto S tal que cualquier elemento de V es una combinación lineal única (finita) de elementos de S. En la formulación del teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt consideramos bases cuyos elementos están totalmente ordenados por alguna relación que denotamos ≤.
Si L es un álgebra de Lie sobre un campo K , sea h el mapa lineal K canónico de L al álgebra envolvente universal U ( L ).
Teorema . [1] Sea L un álgebra de Lie sobre K y X una base totalmente ordenada de L. Un monomio canónico sobre X es una secuencia finita ( x 1 , x 2 ..., x n ) de elementos de X que no es decreciente en el orden ≤, es decir, x 1 ≤ x 2 ≤ ... ≤ x n . Extienda h a todos los monomios canónicos de la siguiente manera: si ( x 1 , x 2 , ..., x n ) es un monomio canónico, sea
Entonces h es inyectivo en el conjunto de monomios canónicos y la imagen de este conjunto forma una base para U ( L ) como un K -espacio vectorial.
Dicho de otra manera, considere Y = h ( X ). Y está totalmente ordenado por el orden inducido de X . El conjunto de monomios.
donde y 1 < y 2 < ... < y n son elementos de Y , y los exponentes no negativos , junto con la unidad multiplicativa 1, forman una base para U ( L ). Tenga en cuenta que el elemento unitario 1 corresponde al monomio canónico vacío. Luego, el teorema afirma que estos monomios forman una base para U ( L ) como espacio vectorial. Es fácil ver que estos monomios abarcan U ( L ); el contenido del teorema es que son linealmente independientes.
La estructura multiplicativa de U ( L ) está determinada por las constantes de estructura en la base X , es decir, los coeficientes tales que
Esta relación permite reducir cualquier producto de y a una combinación lineal de monomios canónicos: Las constantes de estructura determinan y i y j – y j y i , es decir, qué hacer para cambiar el orden de dos elementos de Y en un producto. Este hecho, módulo un argumento inductivo sobre el grado de monomios (no canónicos), muestra que siempre se pueden lograr productos donde los factores están ordenados de forma no decreciente.
Se puede interpretar que el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt dice que el resultado final de esta reducción es único y no depende del orden en que se intercambian los elementos adyacentes.
Corolario . Si L es un álgebra de Lie sobre un campo, el mapa canónico L → U ( L ) es inyectivo. En particular, cualquier álgebra de Lie sobre un campo es isomorfa a una subálgebra de Lie de un álgebra asociativa.
Ya en sus primeras etapas se sabía que K podía ser reemplazado por cualquier anillo conmutativo, siempre que L fuera un módulo K libre , es decir, que tuviera una base como la anterior.
Para extenderlo al caso en el que L ya no es un módulo K libre , es necesario hacer una reformulación que no utilice bases. Esto implica reemplazar el espacio de monomios en alguna base con el álgebra simétrica , S ( L ), en L.
En el caso de que K contenga el cuerpo de números racionales, se puede considerar la aplicación natural de S ( L ) a U ( L ), enviando un monomio . para , al elemento
Entonces, se tiene el teorema de que este mapa es un isomorfismo de K -módulos.
Aún de manera más general y natural, se puede considerar U ( L ) como un álgebra filtrada , equipada con la filtración dada al especificar que se encuentra en el grado filtrado . El mapa L → U ( L ) de K -módulos se extiende canónicamente a un mapa T ( L ) → U ( L ) de álgebras, donde T ( L ) es el álgebra tensorial en L (por ejemplo, por la propiedad universal del tensor álgebras), y este es un mapa filtrado que equipa a T ( L ) con la filtración que coloca a L en el grado uno (en realidad, T ( L ) está graduado). Luego, pasando al graduado asociado, se obtiene un morfismo canónico T ( L ) → gr U ( L ), que mata los elementos vw - wv para v, w ∈ L , y por lo tanto desciende a un morfismo canónico S ( L ) → gramo U ( L ). Entonces, el teorema PBW (graduado) puede reformularse como la afirmación de que, bajo ciertas hipótesis, este morfismo final es un isomorfismo de álgebras conmutativas .
Esto no es cierto para todos los K y L (véase, por ejemplo, la última sección del artículo de Cohn de 1961), pero sí lo es en muchos casos. Estos incluyen los antes mencionados, donde L es un módulo K libre (por lo tanto, siempre que K sea un campo), o K contiene el campo de números racionales. De manera más general, el teorema PBW formulado anteriormente se extiende a casos tales como donde (1) L es un módulo K plano , (2) L está libre de torsión como un grupo abeliano , (3) L es una suma directa de módulos cíclicos. (o todas sus localizaciones en ideales primos de K tienen esta propiedad), o (4) K es un dominio de Dedekind . Véase, por ejemplo, el artículo de Higgins de 1969 para estas declaraciones.
Finalmente, vale la pena señalar que, en algunos de estos casos, también se obtiene la afirmación más fuerte de que el morfismo canónico S ( L ) → gr U ( L ) se eleva a un isomorfismo del módulo K S ( L ) → U ( L ) , sin llevar calificaciones asociadas. Esto es cierto en los primeros casos mencionados, donde L es un K -módulo libre , o K contiene el cuerpo de números racionales, usando la construcción descrita aquí (de hecho, el resultado es un isomorfismo de coalgebra , y no simplemente un K -módulo isomorfismo, equipando tanto a S ( L ) como a U ( L ) con sus estructuras de coalgebra naturales tales que para v ∈ L ). Sin embargo, es posible que esta afirmación más contundente no se extienda a todos los casos del párrafo anterior.
En cuatro artículos de la década de 1880, Alfredo Capelli demostró, con diferente terminología, lo que hoy se conoce como teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt en el caso del álgebra general lineal de Lie ; mientras que Poincaré lo afirmó más tarde en 1900. [2] Armand Borel dice que estos resultados de Capelli fueron "completamente olvidados durante casi un siglo" , y no sugiere que Poincaré estuviera al tanto del resultado de Capelli. [2]
Ton-That y Tran [3] han investigado la historia del teorema. Han descubierto que la mayoría de las fuentes anteriores al libro de Bourbaki de 1960 lo llaman teorema de Birkhoff-Witt. Siguiendo esta antigua tradición, Fofanova [4] en su entrada enciclopédica dice que Poincaré obtuvo la primera variante del teorema. Añade que posteriormente Witt y Birkhoff demostraron completamente el teorema. Parece que las fuentes anteriores a Bourbaki no estaban familiarizadas con el artículo de Poincaré.
Birkhoff [5] y Witt [6] no mencionan el trabajo de Poincaré en sus artículos de 1937. Cartan y Eilenberg [7] llaman al teorema Teorema de Poincaré-Witt y atribuyen la demostración completa a Witt. Bourbaki [8] fueron los primeros en utilizar los tres nombres en su libro de 1960. Knapp presenta un ejemplo claro del cambio de tradición. En su libro de 1986 [9] lo llama Teorema de Birkhoff-Witt , mientras que en su libro posterior de 1996 [10] cambia al Teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt .
No está claro si el resultado de Poincaré fue completo. Ton-That y Tran [3] concluyen que "Poincaré había descubierto y demostrado completamente este teorema al menos treinta y siete años antes que Witt y Birkhoff" . Por otro lado, señalan que "Poincaré hace varias declaraciones sin molestarse en probarlas" . Sus propias pruebas de todos los pasos son bastante largas según su admisión. Borel afirma que Poincaré " probó más o menos el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt " en 1900. [2]
![{\displaystyle [u,v]=\sum _{x\in X}c_{u,v}^{x}\;x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6a5351824add826f3ccb6d6c8dfa6ec196bdb22)
