Representación de un grupo de mentiras

Representación del grupo

En matemáticas y física teórica , una representación de un grupo de Lie es una acción lineal de un grupo de Lie sobre un espacio vectorial . De manera equivalente, una representación es un homomorfismo suave del grupo en el grupo de operadores invertibles en el espacio vectorial. Las representaciones juegan un papel importante en el estudio de la simetría continua . Se sabe mucho sobre tales representaciones, siendo una herramienta básica en su estudio el uso de las correspondientes representaciones 'infinitesimales' de las álgebras de Lie .

Representaciones de dimensión finita

Representaciones

Una representación compleja de un grupo es una acción de un grupo en un espacio vectorial de dimensión finita sobre el campo . Una representación del grupo de Lie G , que actúa sobre un espacio vectorial de n dimensiones V , es entonces un homomorfismo de grupo suave ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \Pi :G\rightarrow \operatorname {GL} (V)}$,

donde es el grupo lineal general de todas las transformaciones lineales invertibles de bajo su composición. Dado que todos los espacios n -dimensionales son isomorfos, el grupo se puede identificar con el grupo de matrices complejas e invertibles , generalmente llamado La suavidad del mapa puede considerarse como un tecnicismo, ya que cualquier homomorfismo continuo será automáticamente suave. ^[1] ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} ).}$ ${\displaystyle \Pi }$

Alternativamente, podemos describir una representación de un grupo de Lie como una acción lineal sobre un espacio vectorial . Notacionalmente, entonces escribiríamos en lugar de la forma en que un elemento de grupo actúa sobre el vector . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle g\cdot v}$ ${\displaystyle \Pi (g)v}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle v\in V}$

Un ejemplo típico en el que surgen representaciones en física sería el estudio de una ecuación diferencial parcial lineal que tiene un grupo de simetría . Aunque las soluciones individuales de la ecuación pueden no ser invariantes bajo la acción de , el espacio de todas las soluciones es invariante bajo la acción de . Por tanto, constituye una representación de . Vea el ejemplo de SO(3), que se analiza a continuación. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$

Definiciones basicas

Si el homomorfismo es inyectivo (es decir, un monomorfismo ), se dice que la representación es fiel . ${\displaystyle \Pi }$

Si se elige una base para el espacio vectorial complejo V , la representación se puede expresar como un homomorfismo en un grupo lineal general . Esto se conoce como representación matricial . Dos representaciones de G en espacios vectoriales V , W son equivalentes si tienen las mismas representaciones matriciales con respecto a algunas elecciones de bases para V y W. ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}$

Dada una representación , decimos que un subespacio W de V es un subespacio invariante si es para todo y . Se dice que la representación es irreducible si los únicos subespacios invariantes de V son el espacio cero y el propio V. Para ciertos tipos de grupos de Lie, a saber, grupos compactos ^[2] y semisimples ^[3] , cada representación de dimensión finita se descompone como una suma directa de representaciones irreducibles, una propiedad conocida como reducibilidad completa. Para tales grupos, un objetivo típico de la teoría de la representación es clasificar todas las representaciones irreducibles de dimensión finita del grupo dado, hasta el isomorfismo. (Consulte la sección Clasificación a continuación). ${\displaystyle \Pi :G\rightarrow \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle \Pi (g)w\in W}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle w\in W}$

Una representación unitaria en un espacio de producto interno de dimensión finita se define de la misma manera, excepto que se requiere mapear en el grupo de operadores unitarios . Si G es un grupo de Lie compacto , toda representación de dimensión finita es equivalente a una unitaria. ^[2] ${\displaystyle \Pi }$

Representaciones de álgebra de mentiras

Cada representación de un grupo de Lie G da lugar a una representación de su álgebra de Lie; esta correspondencia se analiza en detalle en las secciones siguientes. Consulte la representación de las álgebras de Lie para conocer la teoría del álgebra de Lie.

Un ejemplo: el grupo de rotación SO(3)

En mecánica cuántica, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo juega un papel importante. En el caso tridimensional, si tiene simetría rotacional, entonces el espacio de soluciones será invariante bajo la acción de SO (3). Por lo tanto, para cada valor fijo de, constituirá una representación de SO(3), que normalmente es de dimensión finita. Al intentar resolver , es útil saber cómo son todas las posibles representaciones de dimensión finita de SO(3). La teoría de la representación del SO(3) desempeña un papel clave, por ejemplo, en el análisis matemático del átomo de hidrógeno . ${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle V_{E}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$ ${\displaystyle V_{E}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$

Todo libro de texto estándar sobre mecánica cuántica contiene un análisis que esencialmente clasifica las representaciones irreducibles de dimensión finita de SO(3), mediante su álgebra de Lie. (Las relaciones de conmutación entre los operadores de momento angular son solo las relaciones para el álgebra de Lie de SO(3).) Una sutileza de este análisis es que las representaciones del grupo y el álgebra de Lie no están en correspondencia uno a uno, un punto que es fundamental para comprender la distinción entre espín entero y espín semientero . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Representaciones ordinarias

El grupo de rotación SO(3) es un grupo de Lie compacto y, por tanto, cada representación de dimensión finita de SO(3) se descompone como una suma directa de representaciones irreducibles. El grupo SO(3) tiene una representación irreducible en cada dimensión impar. ^[4] Para cada número entero no negativo , la representación irreducible de dimensión se puede realizar como el espacio de polinomios armónicos homogéneos de grado . ^[5] Aquí, SO(3) actúa de la forma habitual en que las rotaciones actúan sobre funciones en : ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 2k+1}$ ${\displaystyle V_{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V_{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle (\Pi (R)f)(x)=f(R^{-1}x)\quad R\in \operatorname {SO} (3).}$

La restricción a la esfera unitaria de los elementos de son los armónicos esféricos de grado . ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle V_{k}}$ ${\displaystyle k}$

Si, digamos, entonces todos los polinomios que son homogéneos de grado uno son armónicos y obtenemos un espacio tridimensional abarcado por los polinomios lineales , y . Si , el espacio está abarcado por los polinomios , , , y . ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle xz}$ ${\displaystyle yz}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}-z^{2}}$

Como se señaló anteriormente, las representaciones de dimensión finita de SO(3) surgen naturalmente cuando se estudia la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para un potencial radial, como el átomo de hidrógeno , como un reflejo de la simetría rotacional del problema. (Véase el papel que desempeñan los armónicos esféricos en el análisis matemático del hidrógeno ).

Representaciones proyectivas

Si nos fijamos en el álgebra de Lie de SO(3), esta álgebra de Lie es isomorfa al álgebra de Lie de SU(2). Según la teoría de la representación de , existe entonces una representación irreductible de en cada dimensión. Las representaciones de dimensiones pares, sin embargo, no corresponden a representaciones del grupo SO(3). ^[6] Sin embargo, estas representaciones denominadas de "espín fraccionario" corresponden a representaciones proyectivas de SO(3). Estas representaciones surgen en la mecánica cuántica de partículas con espín fraccionario, como un electrón. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Operaciones sobre representaciones

En esta sección, describimos tres operaciones básicas en representaciones. ^[7] Véanse también las construcciones correspondientes para representaciones de un álgebra de Lie.

sumas directas

Si tenemos dos representaciones de un grupo , y , entonces la suma directa tendría como espacio vectorial subyacente, con la acción del grupo dada por ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi _{1}:G\rightarrow GL(V_{1})}$ ${\displaystyle \Pi _{2}:G\rightarrow GL(V_{2})}$ ${\displaystyle V_{1}\oplus V_{2}}$

${\displaystyle \Pi (g)(v_{1},v_{2})=(\Pi _{1}(g)v_{1},\Pi _{2}(g)v_{2}),}$

para todos , y . ${\displaystyle v_{1}\in V_{1},}$ ${\displaystyle v_{2}\in V_{2}}$ ${\displaystyle g\in G}$

Ciertos tipos de grupos de Lie, en particular los grupos de Lie compactos, tienen la propiedad de que cada representación de dimensión finita es isomorfa a una suma directa de representaciones irreducibles. ^[2] En tales casos, la clasificación de las representaciones se reduce a la clasificación de representaciones irreductibles. Véase el teorema de Weyl sobre la reducibilidad completa .

Productos tensoriales de representaciones.

Si tenemos dos representaciones de un grupo , y , entonces el producto tensorial de las representaciones tendría el espacio vectorial producto tensorial como el espacio vectorial subyacente, con la acción de determinada de forma única por el supuesto de que ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi _{1}:G\rightarrow GL(V_{1})}$ ${\displaystyle \Pi _{2}:G\rightarrow GL(V_{2})}$ ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \Pi (g)(v_{1}\otimes v_{2})=(\Pi _{1}(g)v_{1})\otimes (\Pi _{2}(g)v_{2})}$

para todos y . Es decir, . ${\displaystyle v_{1}\in V_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}\in V_{2}}$ ${\displaystyle \Pi (g)=\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)}$

La representación del álgebra de Lie asociada a la representación del producto tensorial viene dada por la fórmula: ^[8] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle \pi (X)=\pi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \pi _{2}(X).}$

El producto tensorial de dos representaciones irreducibles no suele ser irreducible; Un problema básico en la teoría de la representación es entonces descomponer los productos tensoriales de representaciones irreducibles como una suma directa de subespacios irreducibles. Este problema recibe el nombre de "suma de momento angular" o " teoría de Clebsch-Gordan " en la literatura de física.

Representaciones duales

Sea un grupo de Lie y una representación de G. Sea el espacio dual, es decir, el espacio de funcionales lineales en . Entonces podemos definir una representación mediante la fórmula ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi :G\rightarrow GL(V)}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Pi ^{*}:G\rightarrow GL(V^{*})}$

${\displaystyle \Pi ^{*}(g)=(\Pi (g^{-1}))^{\operatorname {tr} },}$

donde para cualquier operador , el operador de transposición se define como el operador de "composición con": ${\displaystyle A:V\rightarrow V}$ ${\displaystyle A^{\operatorname {tr} }:V^{*}\rightarrow V^{*}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle (A^{\operatorname {tr} }\phi )(v)=\phi (Av).}$

(Si trabajamos en una base, entonces es solo la transposición matricial habitual de .) La inversa en la definición de es necesaria para garantizar que en realidad sea una representación de , a la luz de la identidad . ${\displaystyle A^{\operatorname {tr} }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Pi ^{*}}$ ${\displaystyle \Pi ^{*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (AB)^{\operatorname {tr} }=B^{\operatorname {tr} }A^{\operatorname {tr} }}$

El dual de una representación irreducible es siempre irreducible, ^[9] pero puede o no ser isomorfo a la representación original. En el caso del grupo SU(3), por ejemplo, las representaciones irreducibles están etiquetadas por un par de números enteros no negativos. El dual de la representación asociada a es la representación asociada a . ^[10] ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$ ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$ ${\displaystyle (m_{2},m_{1})}$

Representaciones de grupo de mentiras versus representaciones de álgebra de mentiras

Descripción general

En muchos casos, es conveniente estudiar las representaciones de un grupo de Lie estudiando las representaciones del álgebra de Lie asociada. Sin embargo, en general no todas las representaciones del álgebra de Lie provienen de una representación del grupo. Este hecho se esconde, por ejemplo, detrás de la distinción entre espín entero y espín semientero en mecánica cuántica. Por otro lado, si G es un grupo simplemente conexo , entonces un teorema ^[11] dice que, de hecho, obtenemos una correspondencia uno a uno entre el grupo y las representaciones del álgebra de Lie.

Sea G un grupo de Lie con álgebra de Lie y supongamos que disponemos de una representación de . La correspondencia de Lie se puede emplear para obtener representaciones de grupo del componente conectado de G. En términos generales, esto se logra tomando la matriz exponencial de las matrices de la representación del álgebra de Lie. Surge una sutileza si G no es simplemente conexo . Esto puede dar lugar a representaciones proyectivas o , en el lenguaje físico, representaciones multivaluadas de G. En realidad , estas son representaciones del grupo de cobertura universal de G. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Estos resultados se explicarán más completamente a continuación.

La correspondencia de Lie da resultados sólo para el componente conectado de los grupos y, por tanto, los demás componentes del grupo completo se tratan por separado dando representantes de las matrices que representan estos componentes, uno para cada componente. Estos forman (representantes de) el grupo de homotopía cero de G. Por ejemplo, en el grupo de Lorentz de cuatro componentes , los representantes de la inversión espacial y del tiempo deben introducirse a mano . A continuación se extraerán más ilustraciones de la teoría de la representación del grupo de Lorentz .

El mapeo exponencial

Sophus Lie , el creador de la teoría de Lie . La teoría de las variedades no se descubrió en la época de Lie, por lo que trabajó localmente con subconjuntos de La estructura hoy se llamaría grupo local . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Si es un grupo de Lie con álgebra de Lie , entonces tenemos el mapa exponencial de a , escrito como ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle X\mapsto e^{X},\quad X\in {\mathfrak {g}}.}$

Si es una matriz del grupo de Lie, la expresión se puede calcular mediante la serie de potencias habitual para la exponencial. En cualquier grupo de Lie, existen vecindades de la identidad en y del origen en con la propiedad de que cada en puede escribirse de forma única como con . Es decir, el mapa exponencial tiene una inversa local . En la mayoría de los grupos, esto es sólo local; es decir, el mapa exponencial normalmente no es uno a uno ni onto. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e^{X}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g=e^{X}}$ ${\displaystyle X\in V}$

Representaciones de álgebra de mentiras a partir de representaciones de grupos.

Siempre es posible pasar de una representación de un grupo de Lie G a una representación de su álgebra de Lie. Si Π : G → GL( V ) es una representación de grupo para algún espacio vectorial V , entonces su avance (diferencial) en la identidad, o mapa de Lie , es una representación del álgebra de Lie. Se calcula explícitamente usando ^[12] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$ ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\text{End}}V}$

Una propiedad básica que relaciona e involucra el mapa exponencial: ^[12] ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \Pi (e^{X})=e^{\pi (X)}.}$

La cuestión que deseamos investigar es si toda representación de surge de esta manera a partir de representaciones del grupo . Como veremos, este es el caso cuando está simplemente conectado. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Representaciones de grupo a partir de representaciones de álgebra de Lie

El principal resultado de esta sección es el siguiente: ^[13]

Teorema : Si es simplemente conexo, entonces cada representación del álgebra de Lie proviene de una representación de sí misma. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle G}$

De esto deducimos fácilmente lo siguiente:

Corolario : Si es conexo pero no simplemente conexo, toda representación de proviene de una representación de , la cubierta universal de . Si es irreducible, entonces desciende a una representación proyectiva de . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle G}$

Una representación proyectiva es aquella en la que cada uno se define solo hasta la multiplicación por una constante. En física cuántica, es natural permitir representaciones proyectivas además de las ordinarias, porque los estados en realidad sólo se definen hasta una constante. (Es decir, si es un vector en el espacio cuántico de Hilbert, entonces representa el mismo estado físico para cualquier constante ). Cada representación proyectiva de dimensión finita de un grupo de Lie conectado proviene de una representación ordinaria de la cubierta universal de . ^[14] Por el contrario, como veremos más adelante, cada representación ordinaria irreductible de desciende a una representación proyectiva de . En la literatura de física, las representaciones proyectivas se describen a menudo como representaciones multivaluadas (es decir, cada una no tiene un valor único sino una familia completa de valores). Este fenómeno es importante para el estudio del espín fraccional en mecánica cuántica. ${\displaystyle \Pi (g),\,g\in G,}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle c\psi }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi (g)}$

Aquí V es un espacio vectorial de dimensión finita, GL( V ) es el conjunto de todas las transformaciones lineales invertibles en V y es su álgebra de Lie. Los mapas π y Π son álgebra de Lie y representaciones de grupos respectivamente, y exp es el mapeo exponencial. El diagrama conmuta sólo hasta un signo si Π es proyectivo. ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$

Ahora describimos la prueba de los principales resultados anteriores. Supongamos que es una representación de V en un espacio vectorial . Si va a haber una representación de grupo de Lie asociada , ésta debe satisfacer la relación exponencial del inciso anterior. Ahora, a la luz de la invertibilidad local de la exponencial, podemos definir un mapa de una vecindad de la identidad en mediante esta relación: ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \Pi (e^{X})=e^{\pi (X)},\quad g=e^{X}\in U.}$

Una pregunta clave es entonces la siguiente: ¿Es este mapa definido localmente un "homomorfismo local"? (Esta pregunta se aplicaría incluso en el caso especial donde el mapeo exponencial es globalmente uno a uno y sobre; en ese caso, sería un mapeo definido globalmente, pero no es obvio por qué sería un homomorfismo.) La respuesta a esta pregunta es sí: es un homomorfismo local, y esto se puede establecer usando la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff . ^[15] ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$

Si es conexo, entonces cada elemento de es al menos un producto de exponenciales de elementos de . Por lo tanto, podemos definir tentativamente globalmente de la siguiente manera. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \Pi }$

Sin embargo, tenga en cuenta que la representación de un elemento de grupo dado como producto de exponenciales está muy lejos de ser única, por lo que no está nada claro si en realidad está bien definido. ${\displaystyle \Pi }$

Para abordar la cuestión de si está bien definido, conectamos cada elemento del grupo a la identidad mediante un camino continuo. Entonces es posible definir a lo largo del camino y mostrar que el valor de no cambia bajo la deformación continua del camino con los puntos finales fijos. Si está simplemente conectado, cualquier camino que comience en la identidad y termine en puede deformarse continuamente en cualquier otro camino similar, lo que demuestra que es completamente independiente de la elección del camino. Dado que la definición inicial de cerca de la identidad era un homomorfismo local, no es difícil demostrar que el mapa definido globalmente también es un homomorfismo que satisface (G2) . ^[dieciséis] ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi (g)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Pi (g)}$ ${\displaystyle \Pi }$

Si no está simplemente conectado, podremos aplicar el procedimiento anterior a la funda universal de . Sea el mapa de cobertura. Si sucede que el núcleo de contiene el núcleo de , entonces desciende a una representación del grupo original . Incluso si este no es el caso, tenga en cuenta que el núcleo de es un subgrupo normal discreto de , que por lo tanto está en el centro de . Por tanto, si es irreducible, el lema de Schur implica que el núcleo de voluntad actúa mediante múltiplos escalares de la identidad. Por lo tanto, desciende a una representación proyectiva de , es decir, una que se define sólo módulo escalar múltiplos de la identidad. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p:{\tilde {G}}\rightarrow G}$ ${\displaystyle \Pi :{\tilde {G}}\rightarrow \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle G}$

Se ofrece una vista gráfica de cómo el grupo de cobertura universal contiene todas esas clases de homotopía, y una definición técnica del mismo (como conjunto y como grupo) en vista geométrica .

Por ejemplo, cuando esto está especializado en el SO(3, 1) ⁺ doblemente conectado , el grupo de cobertura universal es , y si su representación correspondiente es fiel decide si Π es proyectivo . ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Clasificación en el caso compacto.

Si G es un grupo de Lie compacto conexo , sus representaciones de dimensión finita se pueden descomponer como sumas directas de representaciones irreducibles . ^[17] Los irreductibles se clasifican mediante un " teorema de mayor peso ". Damos aquí una breve descripción de esta teoría; para obtener más detalles, consulte los artículos sobre la teoría de la representación de un grupo de Lie compacto conectado y la teoría paralela que clasifica las representaciones de álgebras de Lie semisimples .

Sea T un toro máximo en G . Según el lema de Schur , las representaciones irreductibles de T son unidimensionales. Estas representaciones pueden clasificarse fácilmente y están etiquetadas mediante ciertos "elementos analíticamente integrales" o "pesos". Si es una representación irreducible de G , la restricción de a T generalmente no será irreducible, pero se descompondrá como una suma directa de representaciones irreducibles de T , etiquetadas por los pesos asociados. (El mismo peso puede ocurrir más de una vez). Para un valor fijo , se puede identificar uno de los pesos como "más alto" y luego las representaciones se clasifican según este peso más alto. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$

Un aspecto importante de la teoría de la representación es la teoría asociada de los personajes . Aquí, para una representación de G , el carácter es la función ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \chi _{G}:G\rightarrow \mathbb {C} }$

dada por

${\displaystyle \chi _{G}(g)=\operatorname {trace} (\Sigma (g)).}$

Dos representaciones con el mismo carácter resultan isomorfas. Además, la fórmula del carácter de Weyl ofrece una fórmula notable para el carácter de una representación en términos de su mayor peso. Esta fórmula no sólo proporciona mucha información útil sobre la representación, sino que también juega un papel crucial en la demostración del teorema de mayor peso.

Representaciones unitarias en espacios de Hilbert.

Sea V un espacio de Hilbert complejo, que puede ser de dimensión infinita, y denotemos el grupo de operadores unitarios en V. Una representación unitaria de un grupo de Lie G en V es un homomorfismo de grupo con la propiedad de que para cada fijo , el mapa ${\displaystyle U(V)}$ ${\displaystyle \Pi :G\rightarrow U(V)}$ ${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle g\mapsto \Pi (g)v}$

es un mapa continuo de G en V .

Representaciones unitarias de dimensión finita

Si el espacio de Hilbert V es de dimensión finita, existe una representación asociada del álgebra de Lie de . Si es conexo, entonces la representación de es unitaria si y solo si es autoadjunto sesgado para cada uno . ^[18] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi (X)}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$

Si es compacto , entonces cada representación de V en un espacio vectorial de dimensión finita es "unitarizable", lo que significa que es posible elegir un producto interno en V de modo que cada uno sea unitario. ^[19] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi (g),\,g\in G}$

Representaciones unitarias de dimensión infinita

Si se permite que el espacio de Hilbert V sea de dimensión infinita, el estudio de representaciones unitarias implica una serie de características interesantes que no están presentes en el caso de dimensión finita. Por ejemplo, la construcción de una representación apropiada del álgebra de Lie se vuelve técnicamente desafiante. Un entorno en el que se comprende bien la representación del álgebra de Lie es el de los grupos de Lie semisimples (o reductivos), donde la representación del álgebra de Lie asociada forma un módulo (g,K) . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Ejemplos de representaciones unitarias surgen en la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos, pero también en el análisis de Fourier , como se muestra en el siguiente ejemplo. Sea , y sea el espacio complejo de Hilbert V . Definimos la representación por ${\displaystyle G=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \psi :\mathbb {R} \rightarrow U(L^{2}(\mathbb {R} ))}$

${\displaystyle [\psi (a)(f)](x)=f(x-a).}$

A continuación se muestran algunos ejemplos importantes en los que se han analizado representaciones unitarias de un grupo de Lie.

• Se puede entender que el teorema de Stone-von Neumann proporciona una clasificación de las representaciones unitarias irreducibles del grupo de Heisenberg .
• La clasificación de Wigner para las representaciones del grupo de Poincaré juega un papel conceptual importante en la teoría cuántica de campos al mostrar cómo la masa y el espín de las partículas pueden entenderse en términos de teoría de grupos.
• La teoría de la representación de SL(2,R) fue elaborada por V. Bargmann y sirve como prototipo para el estudio de representaciones unitarias de grupos de Lie semisimples no compactos.

Representaciones proyectivas

En física cuántica, a menudo nos interesan las representaciones unitarias proyectivas de un grupo de Lie . La razón de este interés es que los estados de un sistema cuántico se representan mediante vectores en un espacio de Hilbert , pero entendiendo que dos estados que difieren en una constante son en realidad el mismo estado físico. Las simetrías del espacio de Hilbert luego se describen mediante operadores unitarios, pero un operador unitario que es múltiplo de la identidad no cambia el estado físico del sistema. Por lo tanto, no nos interesan las representaciones unitarias ordinarias, es decir, los homomorfismos de dentro del grupo unitario , sino más bien las representaciones unitarias proyectivas, es decir, los homomorfismos de dentro del grupo unitario proyectivo. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U(\mathbf {H} )}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle PU(\mathbf {H} ):=U(\mathbf {H} )/\{e^{i\theta }I\}.}$

Para decirlo de otra manera, para una representación proyectiva, construimos una familia de operadores unitarios , donde se entiende que cambiar por una constante de valor absoluto 1 se cuenta como "el mismo" operador. Luego se requiere que los operadores satisfagan la propiedad de homomorfismo hasta una constante : ${\displaystyle \rho (g),\,\,g\in G}$ ${\displaystyle \rho (g)}$ ${\displaystyle \rho (g)}$

${\displaystyle \rho (g)\rho (h)=e^{i\theta _{g,h}}\rho (gh).}$

Ya hemos discutido las representaciones unitarias proyectivas irreducibles del grupo de rotación SO(3) arriba; la consideración de representaciones proyectivas permite el giro fraccionario además del giro entero.

El teorema de Bargmann establece que para ciertos tipos de grupos de Lie , las representaciones unitarias proyectivas irreducibles de están en correspondencia uno a uno con las representaciones unitarias ordinarias de la cobertura universal de . Ejemplos importantes donde se aplica el teorema de Bargmann son SO(3) (como se acaba de mencionar) y el grupo de Poincaré . Este último caso es importante para la clasificación de Wigner de las representaciones proyectivas del grupo de Poincaré, con aplicaciones a la teoría cuántica de campos. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Un ejemplo donde no se aplica el teorema de Bargmann es el grupo . El conjunto de traslaciones en posición e impulso forman una representación unitaria proyectiva de pero no provienen de una representación ordinaria de la cubierta universal de —que es simplemente ella misma. En este caso, para obtener una representación ordinaria, hay que pasar al grupo de Heisenberg , que es una extensión central unidimensional de . (Vea la discusión aquí ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

El caso conmutativo

Si es un grupo de Lie conmutativo , entonces cada representación unitaria irreducible de espacios vectoriales complejos es unidimensional. (Esta afirmación se deriva del lema de Schur y se mantiene incluso si no se supone de antemano que las representaciones sean de dimensión finita). Por lo tanto, las representaciones unitarias irreducibles de son simplemente homomorfismos continuos de en el grupo del círculo unitario, U(1). Por ejemplo, si , las representaciones unitarias irreducibles tienen la forma ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=\mathbb {R} }$

${\displaystyle \Pi (x)=[e^{iax}]}$,

para algún número real . ${\displaystyle a}$

Véase también la dualidad de Pontryagin para este caso.

Ver también

• Teoría de la representación de grupos compactos conectados.
• Representación del álgebra de mentiras
• Representación proyectiva
• Teoría de la representación de SU(2)
• Teoría de la representación del grupo de Lorentz.
• Teoría de la representación de las álgebras de Hopf.
• Representación adjunta de un grupo de Lie
• Lista de temas del grupo Lie
• Simetría en mecánica cuántica
• Matriz D Wigner

Notas

1. Salón 2015 Corolario 3.51
2. Teorema 4.28 de abc Hall 2015
3. Salón 2015 Sección 10.3
4. Salón 2015 Sección 4.7
5. Salón 2013 Sección 17.6
6. Propuesta 4.35 del Salón 2015
7. Salón 2015, Sección 4.3
8. Salón 2015, Proposición 4.18
9. Propuesta 4.22 del Salón 2015
10. Hall 2015 Capítulo 6, Ejercicio 3. Consulte también el Capítulo 10, Ejercicio 10
11. Teorema 5.6 de Hall 2015
12. Hall 2015, Teorema 3.28
13. Salón 2015, Teorema 5.6
14. Salón 2013, Sección 16.7.3
15. Salón 2015, Proposición 5.9
16. Salón 2015, Teorema 5.10
17. Teoremas 4.28 de Hall 2015
18. Propuesta 4.8 del Salón 2015
19. Hall 2015 prueba de la Proposición 4.28

Referencias

• Fulton, W .; Harris, J. (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97495-8. SEÑOR  1153249.
• Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158.
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