Teoría de la representación del grupo de Lorentz

Representation of the symmetry group of spacetime in special relativity

Hendrik Antoon Lorentz (derecha), en cuyo honor se nombró al grupo de Lorentz , y Albert Einstein , cuya teoría especial de la relatividad es la principal fuente de aplicación. Foto tomada por Paul Ehrenfest en 1921.

El grupo de Lorentz es un grupo de Lie de simetrías del espacio-tiempo de la relatividad especial . Este grupo puede realizarse como una colección de matrices , transformaciones lineales u operadores unitarios en algún espacio de Hilbert ; tiene una variedad de representaciones . ^{[nb 1]} Este grupo es significativo porque la relatividad especial junto con la mecánica cuántica son las dos teorías físicas que están más completamente establecidas, ^{[nb 2]} y la conjunción de estas dos teorías es el estudio de las representaciones unitarias de dimensión infinita del grupo de Lorentz. Estas tienen importancia histórica en la física convencional, así como conexiones con teorías actuales más especulativas.

Desarrollo

La teoría completa de las representaciones de dimensión finita del álgebra de Lie del grupo de Lorentz se deduce utilizando el marco general de la teoría de representación de álgebras de Lie semisimples . Las representaciones de dimensión finita del componente conexo del grupo de Lorentz completo O(3; 1) se obtienen empleando la correspondencia de Lie y la matriz exponencial . La teoría de representación de dimensión finita completa del grupo de recubrimiento universal (y también del grupo de espín , un recubrimiento doble) de se obtiene y se da explícitamente en términos de acción sobre un espacio de funciones en representaciones de SL ( 2 , C ) {\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )} y s l ( 2 , C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} . Los representantes de la inversión temporal y la inversión espacial se dan en inversión espacial e inversión temporal, completando la teoría de dimensión finita para el grupo de Lorentz completo. Se describen las propiedades generales de las representaciones (m, n). Se considera la acción sobre espacios de funciones, con la acción sobre armónicos esféricos y las P-funciones de Riemann apareciendo como ejemplos. El caso de dimensión infinita de representaciones unitarias irreducibles se realiza para la serie principal y la serie complementaria . Finalmente, se da la fórmula de Plancherel para , y se clasifican y realizan representaciones de SO(3, 1) para álgebras de Lie. ${\displaystyle {\text{SO}}(3;1)^{+}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(3;1)^{+}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

El desarrollo de la teoría de la representación ha seguido históricamente el desarrollo de la teoría más general de la teoría de la representación de grupos semisimples , en gran parte debido a Élie Cartan y Hermann Weyl , pero el grupo de Lorentz también ha recibido especial atención debido a su importancia en la física. Los contribuyentes notables son el físico EP Wigner y el matemático Valentine Bargmann con su programa Bargmann-Wigner , ^[1] una conclusión de la cual es, aproximadamente, que una clasificación de todas las representaciones unitarias del grupo de Lorentz no homogéneo equivale a una clasificación de todas las posibles ecuaciones de onda relativistas . ^[2] La clasificación de las representaciones de dimensión infinita irreducibles del grupo de Lorentz fue establecida por el estudiante de doctorado de Paul Dirac en física teórica, Harish-Chandra , más tarde convertido en matemático, ^{[nb 3]} en 1947. La clasificación correspondiente para fue publicada de forma independiente por Bargmann e Israel Gelfand junto con Mark Naimark en el mismo año. ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$

Aplicaciones

Muchas de las representaciones, tanto finitas como infinitas, son importantes en la física teórica. Las representaciones aparecen en la descripción de campos en la teoría clásica de campos , sobre todo el campo electromagnético , y de partículas en la mecánica cuántica relativista , así como de partículas y campos cuánticos en la teoría cuántica de campos y de varios objetos en la teoría de cuerdas y más allá. La teoría de la representación también proporciona la base teórica para el concepto de espín . La teoría entra en la relatividad general en el sentido de que en regiones suficientemente pequeñas del espacio-tiempo, la física es la de la relatividad especial. ^[3]

Las representaciones no unitarias irreducibles de dimensión finita junto con las representaciones unitarias irreducibles de dimensión infinita del grupo de Lorentz no homogéneo , el grupo de Poincaré, son las representaciones que tienen relevancia física directa. ^{[4] [5]}

Las representaciones unitarias de dimensión infinita del grupo de Lorentz aparecen por restricción de las representaciones unitarias de dimensión infinita irreducibles del grupo de Poincaré que actúan sobre los espacios de Hilbert de la mecánica cuántica relativista y la teoría cuántica de campos . Pero también son de interés matemático y de potencial relevancia física directa en otros roles que el de una mera restricción. ^[6] Hubo teorías especulativas, ^{[7] [8]} (los tensores y espinores tienen contrapartes infinitas en los expansores de Dirac y los expinores de Harish-Chandra) consistentes con la relatividad y la mecánica cuántica, pero no han encontrado ninguna aplicación física probada. Las teorías especulativas modernas potencialmente tienen ingredientes similares a los que se indican a continuación.

Teoría clásica de campos

Aunque el campo electromagnético junto con el campo gravitacional son los únicos campos clásicos que proporcionan descripciones precisas de la naturaleza, otros tipos de campos clásicos también son importantes. En el enfoque de la teoría cuántica de campos (QFT) conocido como segunda cuantificación , el punto de partida es uno o más campos clásicos, donde, por ejemplo, las funciones de onda que resuelven la ecuación de Dirac se consideran campos clásicos antes de la (segunda) cuantificación. ^[9] Aunque la segunda cuantificación y el formalismo lagrangiano asociado a ella no es un aspecto fundamental de la QFT, ^[10] es el caso de que hasta ahora todas las teorías cuánticas de campos pueden abordarse de esta manera, incluido el modelo estándar . ^[11] En estos casos, existen versiones clásicas de las ecuaciones de campo que se derivan de las ecuaciones de Euler-Lagrange derivadas del lagrangiano utilizando el principio de mínima acción . Estas ecuaciones de campo deben ser relativísticamente invariantes, y sus soluciones (que calificarán como funciones de onda relativistas según la definición siguiente) deben transformarse bajo alguna representación del grupo de Lorentz.

La acción del grupo de Lorentz sobre el espacio de configuraciones de campo (una configuración de campo es la historia espaciotemporal de una solución particular, por ejemplo, el campo electromagnético en todo el espacio durante todo el tiempo es una configuración de campo) se asemeja a la acción sobre los espacios de Hilbert de la mecánica cuántica, excepto que los corchetes del conmutador se reemplazan por corchetes de Poisson teóricos de campo . ^[9]

Mecánica cuántica relativista

Para los presentes propósitos se hace la siguiente definición: ^[12] Una función de onda relativista es un conjunto de n funciones ψ ^α en el espacio-tiempo que se transforma bajo una transformación arbitraria de Lorentz propia Λ como

$${\displaystyle \psi '^{\alpha }(x)=D{[\Lambda ]^{\alpha }}_{\beta }\psi ^{\beta }\left(\Lambda ^{-1}x\right),}$$

donde D [Λ] es una matriz n -dimensional representativa de Λ perteneciente a alguna suma directa de las ( m , n ) representaciones que se presentarán a continuación.

Las teorías de una partícula de mecánica cuántica relativista más útiles (no existen teorías de este tipo completamente consistentes) son la ecuación de Klein-Gordon ^[13] y la ecuación de Dirac ^[14] en su configuración original. Son relativísticamente invariantes y sus soluciones se transforman bajo el grupo de Lorentz como escalares de Lorentz ( ( m , n ) = (0, 0) ) y bispinores ( (0, ⁠1/2⁠ ) ​​⊕ ( ⁠1/2⁠ , 0) ) respectivamente. El campo electromagnético es una función de onda relativista según esta definición, transformándose bajo (1, 0) ⊕ (0, 1) . ^[15]

Las representaciones de dimensión infinita se pueden utilizar en el análisis de la dispersión. ^[16]

Teoría cuántica de campos

En la teoría cuántica de campos , la exigencia de invariancia relativista entra, entre otras formas, en que la matriz S necesariamente debe ser invariante de Poincaré. ^[17] Esto tiene la implicación de que hay una o más representaciones de dimensión infinita del grupo de Lorentz actuando sobre el espacio de Fock . ^{[nb 4]} Una forma de garantizar la existencia de tales representaciones es la existencia de una descripción lagrangiana (con modestos requisitos impuestos, ver la referencia) del sistema usando el formalismo canónico, de la cual se puede deducir una realización de los generadores del grupo de Lorentz. ^[18]

Las transformaciones de los operadores de campo ilustran el papel complementario desempeñado por las representaciones de dimensión finita del grupo de Lorentz y las representaciones unitarias de dimensión infinita del grupo de Poincaré, lo que da testimonio de la profunda unidad entre las matemáticas y la física. ^[19] A modo de ilustración, considere la definición de un operador de campo de n componentes : ^[20] Un operador de campo relativista es un conjunto de funciones con valores de operador n en el espacio-tiempo que se transforma bajo transformaciones de Poincaré adecuadas (Λ, a ) de acuerdo con ^{[21] [22]}

$${\displaystyle \Psi ^{\alpha }(x)\to \Psi '^{\alpha }(x)=U[\Lambda ,a]\Psi ^{\alpha }(x)U^{-1}\left[\Lambda ,a\right]=D{\left[\Lambda ^{-1}\right]^{\alpha }}_{\beta }\Psi ^{\beta }(\Lambda x+a)}$$

Aquí U [Λ, a] es el operador unitario que representa (Λ, a) en el espacio de Hilbert en el que Ψ está definido y D es una representación n -dimensional del grupo de Lorentz. La regla de transformación es el segundo axioma de Wightman de la teoría cuántica de campos.

Por consideraciones de restricciones diferenciales a las que debe estar sujeto el operador de campo para describir una única partícula con masa definida m y espín s (o helicidad), se deduce que ^{[23] [nb 5]}

donde a ^† , a se interpretan como operadores de creación y aniquilación respectivamente. El operador de creación a ^† se transforma según ^{[23] [24]}

$${\displaystyle a^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )\rightarrow a'^{\dagger }\left(\mathbf {p} ,\sigma \right)=U[\Lambda ]a^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )U\left[\Lambda ^{-1}\right]=a^{\dagger }(\Lambda \mathbf {p} ,\rho )D^{(s)}{\left[R(\Lambda ,\mathbf {p} )^{-1}\right]^{\rho }}_{\sigma },}$$

y de manera similar para el operador de aniquilación. El punto a destacar es que el operador de campo se transforma de acuerdo con una representación no unitaria de dimensión finita del grupo de Lorentz, mientras que el operador de creación se transforma bajo la representación unitaria de dimensión infinita del grupo de Poincaré caracterizado por la masa y el espín ( m , s ) de la partícula. La conexión entre los dos son las funciones de onda , también llamadas funciones de coeficientes.

$${\displaystyle u^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{ip\cdot x},\quad v^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{-ip\cdot x}}$$

que llevan tanto los índices ( x , α ) operados por transformaciones de Lorentz como los índices ( p , σ ) operados por transformaciones de Poincaré. Esto puede llamarse la conexión de Lorentz-Poincaré. ^[25] Para mostrar la conexión, someta ambos lados de la ecuación (X1) a una transformación de Lorentz que resulte en, por ejemplo , u ,

$${\displaystyle {D[\Lambda ]^{\alpha }}_{\alpha '}u^{\alpha '}(\mathbf {p} ,\lambda )={D^{(s)}[R(\Lambda ,\mathbf {p} )]^{\lambda '}}_{\lambda }u^{\alpha }\left(\Lambda \mathbf {p} ,\lambda '\right),}$$

donde D es el grupo de Lorentz no unitario representante de Λ y D ^{( s )} es un representante unitario de la llamada rotación de Wigner R asociada a Λ y p que deriva de la representación del grupo de Poincaré, y s es el espín de la partícula.

Todas las fórmulas anteriores, incluyendo la definición del operador de campo en términos de operadores de creación y aniquilación, así como las ecuaciones diferenciales satisfechas por el operador de campo para una partícula con masa especificada, espín y la representación ( m , n ) bajo la cual se supone que se transforma, ^{[nb 6]} y también la de la función de onda, se pueden derivar únicamente de consideraciones teóricas de grupo una vez que se dan los marcos de la mecánica cuántica y la relatividad especial. ^{[nb 7]}

Teorías especulativas

En las teorías en las que el espacio-tiempo puede tener más de D = 4 dimensiones, los grupos de Lorentz generalizados O( D − 1; 1) de la dimensión apropiada toman el lugar de O(3; 1) . ^{[nb 8]}

El requisito de la invariancia de Lorentz adquiere quizás su efecto más dramático en la teoría de cuerdas . Las cuerdas relativistas clásicas pueden manejarse en el marco lagrangiano utilizando la acción de Nambu-Goto . ^[26] Esto da como resultado una teoría relativista invariante en cualquier dimensión del espacio-tiempo. ^[27] Pero resulta que la teoría de cuerdas bosónicas abiertas y cerradas (la teoría de cuerdas más simple) es imposible de cuantificar de tal manera que el grupo de Lorentz esté representado en el espacio de estados (un espacio de Hilbert ) a menos que la dimensión del espacio-tiempo sea 26. ^[28] El resultado correspondiente para la teoría de supercuerdas se deduce nuevamente exigiendo la invariancia de Lorentz, pero ahora con supersimetría . En estas teorías, el álgebra de Poincaré se reemplaza por un álgebra de supersimetría que es un álgebra de Lie graduada en Z 2 que extiende el álgebra de Poincaré. La estructura de un álgebra de este tipo está determinada en gran medida por las exigencias de la invariancia de Lorentz. En particular, los operadores fermiónicos (grado 1 ) pertenecen a un (0, ⁠1/2⁠ ) ​​o ( ⁠1/2⁠ , 0) espacio de representación del álgebra de Lie de Lorentz (ordinaria). ^[29] La única dimensión posible del espacio-tiempo en tales teorías es 10. ^[30]

Representaciones de dimensión finita

La teoría de la representación de grupos en general, y de grupos de Lie en particular, es un tema muy rico. El grupo de Lorentz tiene algunas propiedades que lo hacen "agradable" y otras que lo hacen "poco agradable" dentro del contexto de la teoría de la representación; el grupo es simple y por lo tanto semisimple , pero no es conexo , y ninguno de sus componentes es simplemente conexo . Además, el grupo de Lorentz no es compacto . ^[31]

Para representaciones de dimensión finita, la presencia de semisimplicidad significa que el grupo de Lorentz puede ser tratado de la misma manera que otros grupos semisimples usando una teoría bien desarrollada. Además, todas las representaciones se construyen a partir de las irreducibles , ya que el álgebra de Lie posee la propiedad de reducibilidad completa . ^{[nb 9] [32]} Pero, la no compacidad del grupo de Lorentz, en combinación con la falta de conectividad simple, no puede ser tratada en todos los aspectos como en el marco simple que se aplica a grupos compactos simplemente conectados. La no compacidad implica, para un grupo de Lie simple conectado, que no existen representaciones unitarias de dimensión finita no triviales. ^[33] La falta de conectividad simple da lugar a representaciones de espín del grupo. ^[34] La no conectividad significa que, para representaciones del grupo de Lorentz completo, la inversión del tiempo y la inversión de la orientación espacial deben tratarse por separado. ^{[35] [36]}

Historia

El desarrollo de la teoría de representación de dimensión finita del grupo de Lorentz sigue en su mayor parte al de la teoría de representación en general. La teoría de Lie se originó con Sophus Lie en 1873. ^{[37] [38]} En 1888, la clasificación de álgebras de Lie simples fue esencialmente completada por Wilhelm Killing . ^{[39] [40]} En 1913, el teorema de mayor peso para representaciones de álgebras de Lie simples, el camino que se seguirá aquí, fue completado por Élie Cartan . ^{[41] [42]} Richard Brauer fue durante el período de 1935-38 en gran parte responsable del desarrollo de las matrices de Weyl-Brauer que describen cómo las representaciones de espín del álgebra de Lie de Lorentz pueden integrarse en las álgebras de Clifford . ^{[43] [44]} El grupo de Lorentz también ha recibido históricamente atención especial en la teoría de la representación, consulte Historia de las representaciones unitarias de dimensión infinita a continuación, debido a su importancia excepcional en la física. Los matemáticos Hermann Weyl ^{[41] [45] [37] [46] [47]} y Harish-Chandra ^{[48] [49]} y los físicos Eugene Wigner ^{[50] [51]} y Valentine Bargmann ^{[52] [53] [54]} hicieron contribuciones sustanciales tanto a la teoría de la representación general como en particular al grupo de Lorentz. ^[55] El físico Paul Dirac fue quizás el primero en unir manifiestamente todo en una aplicación práctica de gran importancia duradera con la ecuación de Dirac en 1928. ^{[56] [57] [nb 10]}

El álgebra de Lie

Wilhelm Killing , descubridor independiente de las álgebras de Lie . Las álgebras de Lie simples fueron clasificadas por primera vez por él en 1888.

Esta sección aborda las representaciones lineales complejas irreducibles de la complejización del álgebra de Lie del grupo de Lorentz. Una base conveniente para está dada por los tres generadores J _i de rotaciones y los tres generadores K _i de impulsos . Se dan explícitamente en las convenciones y bases del álgebra de Lie. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$

El álgebra de Lie se complejiza y la base se cambia a los componentes de sus dos ideales ^[58] $${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {\mathbf {J} +i\mathbf {K} }{2}},\quad \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {J} -i\mathbf {K} }{2}}.}$$

Las componentes de A = ( A ₁ ,  A ₂ ,  A ₃ ) y B = ( B ₁ ,  B ₂ ,  B ₃ ) satisfacen por separado las relaciones de conmutación del álgebra de Lie y, además, conmutan entre sí, ^[59] ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

$${\displaystyle \left[A_{i},A_{j}\right]=i\varepsilon _{ijk}A_{k},\quad \left[B_{i},B_{j}\right]=i\varepsilon _{ijk}B_{k},\quad \left[A_{i},B_{j}\right]=0,}$$

donde i ,  j ,  k son índices que toman cada uno los valores 1, 2, 3 y ε _ijk es el símbolo tridimensional de Levi-Civita . Sea y el intervalo lineal complejo de A y B respectivamente. ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathbf {B} _{\mathbb {C} }}$

Se tienen los isomorfismos ^{[60] [nb 11]}

¿Dónde está la complejización de ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)\cong \mathbf {A} \cong \mathbf {B} .}$

La utilidad de estos isomorfismos proviene del hecho de que se conocen todas las representaciones irreducibles de ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ , y por lo tanto todas las representaciones lineales complejas irreducibles de . La representación lineal compleja irreducible de es isomorfa a una de las representaciones de mayor peso . Estas se dan explícitamente en representaciones lineales complejas de s l ( 2 , C ) . {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).} ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

El truco unitario

Hermann Weyl , inventor del truco unitario . Existen varios conceptos y fórmulas en la teoría de la representación que llevan el nombre de Weyl, por ejemplo, el grupo de Weyl y la fórmula del carácter de Weyl .

El álgebra de Lie es el álgebra de Lie de Contiene el subgrupo compacto SU(2) × SU(2) con álgebra de Lie Esta última es una forma real compacta de Por lo tanto, a partir del primer enunciado del truco unitario, las representaciones de SU(2) × SU(2) están en correspondencia biunívoca con las representaciones holomorfas de ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2).}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).}$

Por compacidad, el teorema de Peter-Weyl se aplica a SU(2) × SU(2) , ^[61] y, por lo tanto, se puede apelar a la ortonormalidad de los caracteres irreducibles . Las representaciones unitarias irreducibles de SU(2) × SU(2) son precisamente los productos tensoriales de las representaciones unitarias irreducibles de SU(2) . ^[62]

Apelando a la simple conexión, se aplica el segundo enunciado del truco unitario. Los objetos de la siguiente lista se corresponden uno a uno:

• Representaciones holomorfas de ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$
• Representaciones suaves de SU(2) × SU(2)
• Representaciones lineales reales de ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)}$
• Representaciones lineales complejas de ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

Los productos tensoriales de representaciones aparecen en el nivel del álgebra de Lie como cualquiera de los siguientes: ^{[nb 12]}

donde Id es el operador identidad. Aquí se pretende la última interpretación, que se desprende de (G6) . Las representaciones de mayor peso de están indexadas por μ para μ = 0, 1/2, 1, ... (Los pesos más altos son en realidad 2 μ = 0, 1, 2, ... , pero la notación aquí está adaptada a la de ) Los productos tensoriales de dos de estos factores lineales complejos forman entonces las representaciones lineales complejas irreducibles de ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1).}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).}$

Finalmente, las representaciones -lineales de las formas reales de la extrema izquierda, , y de la extrema derecha, ^{[nb 13]} en (A1) se obtienen a partir de las representaciones -lineales de caracterizadas en el párrafo anterior. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

El (micras,no)-representaciones de sl(2, C)

Las representaciones lineales complejas de la complejización de obtenidas mediante isomorfismos en (A1) , se corresponden biunívocamente con las representaciones lineales reales de ^[63] El conjunto de todas las representaciones lineales irreducibles reales de están, por tanto, indexadas por un par ( μ , ν ) . Las lineales complejas, que corresponden precisamente a la complejización de las representaciones lineales reales, son de la forma ( μ , 0) , mientras que las lineales conjugadas son (0, ν ) . ^[63] Todas las demás son solo lineales reales. Las propiedades de linealidad se derivan de la inyección canónica, la extrema derecha en (A1) , de en su complejización. Las representaciones en la forma ( ν , ν ) o ( μ , ν ) ⊕ ( ν , μ ) están dadas por matrices reales (estas últimas no son irreducibles). Explícitamente, las representaciones lineales reales ( μ , ν ) de son donde son las representaciones lineales irreducibles complejas de y sus representaciones conjugadas complejas. (El etiquetado suele ser en la literatura matemática 0, 1, 2, ... , pero aquí se eligen semienteros para cumplir con el etiquetado del álgebra de Lie). Aquí el producto tensorial se interpreta en el sentido anterior de (A0) . Estas representaciones se realizan concretamente a continuación. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )_{\mathbb {C} },}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ $${\displaystyle \varphi _{\mu ,\nu }(X)=\left(\varphi _{\mu }\otimes {\overline {\varphi _{\nu }}}\right)(X)=\varphi _{\mu }(X)\otimes \operatorname {Id} _{\nu +1}+\operatorname {Id} _{\mu +1}\otimes {\overline {\varphi _{\nu }(X)}},\qquad X\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$$ ${\textstyle \varphi _{\mu },\mu =0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots }$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\overline {\varphi _{\nu }}},\nu =0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots }$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)}$

El (metro,norte)-representaciones de so(3; 1)

A través de los isomorfismos mostrados en (A1) y el conocimiento de las representaciones irreducibles lineales complejas de al resolver para J y K , se obtienen todas las representaciones irreducibles de y, por restricción, las de . Las representaciones de obtenidas de esta manera son lineales reales (y no lineales complejas o conjugadas) porque el álgebra no está cerrada tras la conjugación, pero aún son irreducibles. ^[60] Dado que es semisimple , ^[60] todas sus representaciones pueden construirse como sumas directas de las irreducibles. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)_{\mathbb {C} },}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$

Así, las representaciones irreducibles de dimensión finita del álgebra de Lorentz se clasifican mediante un par ordenado de semienteros m = μ y n = ν , convencionalmente escritos como uno de donde V es un espacio vectorial de dimensión finita. Estos están, hasta una transformación de similitud , dados de manera única por ^{[nb 14]} $${\displaystyle (m,n)\equiv \pi _{(m,n)}:{\mathfrak {so}}(3;1)\to {\mathfrak {gl}}(V),}$$

donde 1 _n es la matriz unitaria n -dimensional y son las representaciones irreducibles (2 n  + 1) -dimensionales de las también denominadas matrices de espín o matrices de momento angular . Estas se dan explícitamente como ^[64] donde δ denota el delta de Kronecker . En componentes, con − m ≤ a , a′ ≤ m , − n ≤ b , b′ ≤ n , las representaciones se dan por ^[65] $${\displaystyle \mathbf {J} ^{(n)}=\left(J_{1}^{(n)},J_{2}^{(n)},J_{3}^{(n)}\right)}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)\cong {\mathfrak {su}}(2)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(J_{1}^{(j)}\right)_{a'a}&={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {(j-a)(j+a+1)}}\delta _{a',a+1}+{\sqrt {(j+a)(j-a+1)}}\delta _{a',a-1}\right)\\\left(J_{2}^{(j)}\right)_{a'a}&={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt {(j-a)(j+a+1)}}\delta _{a',a+1}-{\sqrt {(j+a)(j-a+1)}}\delta _{a',a-1}\right)\\\left(J_{3}^{(j)}\right)_{a'a}&=a\delta _{a',a}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\pi _{(m,n)}\left(J_{i}\right)\right)_{a'b',ab}&=\delta _{b'b}\left(J_{i}^{(m)}\right)_{a'a}+\delta _{a'a}\left(J_{i}^{(n)}\right)_{b'b}\\\left(\pi _{(m,n)}\left(K_{i}\right)\right)_{a'b',ab}&=-i\left(\delta _{b'b}\left(J_{i}^{(m)}\right)_{a'a}-\delta _{a'a}\left(J_{i}^{(n)}\right)_{b'b}\right)\end{aligned}}}$$

Representaciones comunes

• La representación (0, 0) es la representación trivial unidimensional y es llevada a cabo por teorías de campos escalares relativistas .
• Los generadores de supersimetría fermiónica se transforman bajo uno de los (0,  ⁠1/2⁠ ) ​​o ( ⁠1/2⁠ , 0) representaciones (espinores de Weyl). ^[29]
• El cuadrimpulso de una partícula (ya sea sin masa o con masa ) se transforma bajo la ( ⁠1/2⁠ ,  ⁠1/2) representación , un cuatro-vector.
• Un ejemplo físico de un campo tensorial simétrico sin traza (1,1) es la parte sin traza ^{[nb 15]} del tensor de energía-momento T ^μν . ^{[66] [nb 16]}

Sumas directas fuera de la diagonal

Dado que para cualquier representación irreducible para la cual m ≠ n es esencial operar sobre el cuerpo de los números complejos , la suma directa de las representaciones ( m ,  n ) y ( n ,  m ) tiene particular relevancia para la física, ya que permite utilizar operadores lineales sobre números reales .

• ( ⁠1/2⁠ , 0) ⊕ (0,  ⁠1/2) es la representación del bispinor . Véase también espinor de Dirac y espinores y bispinores de Weyl a continuación .
• (1,  ⁠1/2⁠ ) ​​⊕ ( ⁠1/2⁠ , 1) es la representación del campo Rarita-Schwinger .
• ( ⁠3/2⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠3/2) sería la simetría del gravitino hipotético . [ nb ^17] Se puede obtener de (1,  ⁠1/2⁠ ) ​​⊕ ( ⁠1/2⁠ , 1) representación.
• (1, 0) ⊕ (0, 1) es la representación de un campo de 2 formas invariante de paridad (también conocido como forma de curvatura ). El tensor del campo electromagnético se transforma bajo esta representación.

El grupo

El enfoque de esta sección se basa en teoremas que, a su vez, se basan en la correspondencia de Lie fundamental . ^[67] La ​​correspondencia de Lie es en esencia un diccionario entre grupos de Lie conectados y álgebras de Lie. ^[68] El vínculo entre ellos es la aplicación exponencial del álgebra de Lie al grupo de Lie, denotada ${\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\to G.}$

Si para algún espacio vectorial V es una representación, una representación Π del componente conexo de G se define por ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$

Esta definición se aplica independientemente de que la representación resultante sea proyectiva o no.

Sobreyectividad del mapa exponencial para SO(3, 1)

Desde un punto de vista práctico, es importante si la primera fórmula en (G2) se puede utilizar para todos los elementos del grupo . Se cumple para todos los , sin embargo, en el caso general, por ejemplo para , no todos los g ∈ G están en la imagen de exp . ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Pero es sobreyectiva. Una forma de mostrar esto es hacer uso del isomorfismo, siendo este último el grupo de Möbius . Es un cociente de (ver el artículo vinculado). La función cociente se denota con La función es sobreyectiva. ^[69] Aplicar (Lie) con π siendo la diferencial de p en la identidad. Entonces ${\displaystyle \exp :{\mathfrak {so}}(3;1)\to {\text{SO}}(3;1)^{+}}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(3;1)^{+}\cong {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} ),}$ ${\displaystyle {\text{GL}}(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle p:{\text{GL}}(n,\mathbb {C} )\to {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} ).}$ ${\displaystyle \exp :{\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )\to {\text{GL}}(n,\mathbb {C} )}$

$${\displaystyle \forall X\in {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} ):\quad p(\exp(iX))=\exp(i\pi (X)).}$$

Como el lado izquierdo es sobreyectivo (tanto exp como p lo son), el lado derecho es sobreyectivo y, por lo tanto, es sobreyectivo. ^[70] Finalmente, recicle el argumento una vez más, pero ahora con el isomorfismo conocido entre SO(3; 1) ⁺ y para encontrar que exp es sobreyectivo para el componente conexo del grupo de Lorentz. ${\displaystyle \exp :{\mathfrak {pgl}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )}$

Grupo fundamental

El grupo de Lorentz está doblemente conexo , es decir, π ₁ (SO(3; 1)) es un grupo con dos clases de equivalencia de bucles como sus elementos.

Prueba

Para representar el grupo fundamental de SO(3; 1) ⁺ , se considera la topología de su grupo de recubrimiento SL ( 2 , C ) {\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}. Por el teorema de descomposición polar , cualquier matriz puede expresarse de forma única como ^[71] ${\displaystyle \lambda \in {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

$${\displaystyle \lambda =ue^{h},}$$

donde u es unitaria con determinante uno, por lo tanto en SU(2) , y h es hermítica con traza cero. Las condiciones de traza y determinante implican: ^[72] $${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\begin{pmatrix}c&a-ib\\a+ib&-c\end{pmatrix}}&&(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}\\[4pt]u&={\begin{pmatrix}d+ie&f+ig\\-f+ig&d-ie\end{pmatrix}}&&(d,e,f,g)\in \mathbb {R} ^{4}{\text{ subject to }}d^{2}+e^{2}+f^{2}+g^{2}=1.\end{aligned}}}$$

La función biunívoca manifiestamente continua es un homeomorfismo con inverso continuo dado por (el lugar geométrico de u se identifica con ) ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\subset \mathbb {R} ^{4}}$

$${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {S} ^{3}\to {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\\(r,s)\mapsto u(s)e^{h(r)}\end{cases}}}$$

mostrando explícitamente que está simplemente conectado. Pero, ¿dónde está el centro de ? Identificar λ y − λ equivale a identificar u con − u , lo que a su vez equivale a identificar puntos antípodas en Por lo tanto, topológicamente, ^[72] ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(3;1)\cong {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\},}$ ${\displaystyle \{\pm I\}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}.}$ $${\displaystyle {\text{SO}}(3;1)\cong \mathbb {R} ^{3}\times (\mathbb {S} ^{3}/\mathbb {Z} _{2}),}$$

donde el último factor no está simplemente conexo: Geométricamente, se ve (para fines de visualización, puede reemplazarse por ) que un camino desde u hasta − u en es un bucle en ya que u y − u son puntos antípodas, y que no es contráctil a un punto. Pero un camino desde u hasta − u , de allí a u nuevamente, un bucle en y un doble bucle (considerando p ( ue ^h ) = p (− ue ^h ) , donde es la función de recubrimiento) en que es contráctil a un punto (alejándose continuamente de − u "arriba" en y encogiendo el camino allí hasta el punto u ). ^[72] Por lo tanto, π ₁ (SO(3; 1)) es un grupo con dos clases de equivalencia de bucles como sus elementos, o dicho de manera más simple, SO(3; 1) está doblemente conexo . ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ ${\displaystyle SU(2)\cong \mathbb {S} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}/\mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ ${\displaystyle p:{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SO}}(3;1)}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}/\mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$

Representaciones proyectivas

Como π ₁ (SO(3; 1) ⁺ ) tiene dos elementos, algunas representaciones del álgebra de Lie producirán representaciones proyectivas . ^{[73] [nb 18]} Una vez que se sabe si una representación es proyectiva, la fórmula (G2) se aplica a todos los elementos del grupo y a todas las representaciones, incluidas las proyectivas, con el entendimiento de que el representante de un elemento del grupo dependerá de qué elemento del álgebra de Lie (la X en (G2) ) se utiliza para representar el elemento del grupo en la representación estándar.

Para el grupo de Lorentz, la representación ( m , n ) es proyectiva cuando m + n es un semientero. Véase § Espinores.

Para una representación proyectiva Π de SO(3; 1) ⁺ , se cumple que ^[72]

dado que cualquier bucle en SO(3; 1) ⁺ atravesado dos veces, debido a la doble conectividad, es contráctil a un punto, de modo que su clase de homotopía es la de una función constante. De ello se deduce que Π es una función de doble valor. No es posible elegir consistentemente un signo para obtener una representación continua de todo SO(3; 1) ⁺ , pero esto es posible localmente alrededor de cualquier punto. ^[33]

El grupo de recubrimiento SL(2, C)

Consideremos como un álgebra de Lie real con base ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

$${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\sigma _{1},{\frac {1}{2}}\sigma _{2},{\frac {1}{2}}\sigma _{3},{\frac {i}{2}}\sigma _{1},{\frac {i}{2}}\sigma _{2},{\frac {i}{2}}\sigma _{3}\right)\equiv (j_{1},j_{2},j_{3},k_{1},k_{2},k_{3}),}$$

donde las sigmas son las matrices de Pauli . De las relaciones

se obtiene

que son exactamente la forma de la versión tridimensional de las relaciones de conmutación para (ver las convenciones y bases del álgebra de Lie a continuación). Por lo tanto, la función J _i ↔ j _i , K _i ↔ k _i , extendida por linealidad es un isomorfismo. Como es simplemente conexo, es el grupo de recubrimiento universal de SO(3; 1) ⁺ . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Más sobre los grupos de cobertura en general y la cobertura del grupo de Lorentz en particular ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Una visión geométrica

EP Wigner investigó el grupo de Lorentz en profundidad y es conocido por las ecuaciones de Bargmann-Wigner . La realización del grupo de recubrimiento que se da aquí proviene de su artículo de 1939.

Sea p _g ( t ), 0 ≤ t ≤ 1 un camino desde 1 ∈ SO(3; 1) ⁺ hasta g ∈ SO(3; 1) ⁺ , denotemos su clase de homotopía por [ p _g ] y sea π _g el conjunto de todas esas clases de homotopía. Definamos el conjunto

y dotarlo de la operación de multiplicación

¿Dónde está la multiplicación de la ruta de y : ${\displaystyle p_{12}}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2}}$

$${\displaystyle p_{12}(t)=(p_{1}*p_{2})(t)={\begin{cases}p_{1}(2t)&0\leqslant t\leqslant {\tfrac {1}{2}}\\p_{2}(2t-1)&{\tfrac {1}{2}}\leqslant t\leqslant 1\end{cases}}}$$

Con esta multiplicación, G se convierte en un grupo isomorfo al ^[74] grupo de recubrimiento universal de SO(3; 1) ⁺ . Dado que cada π _g tiene dos elementos, por la construcción anterior, hay una función de recubrimiento 2:1 p  : G → SO(3; 1) ⁺ . Según la teoría de grupos de recubrimiento , las álgebras de Lie y de G son todas isomorfas. La función de recubrimiento p  : G → SO(3; 1) ⁺ se da simplemente por p ( g , [ p _g ]) = g . ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1),{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Una visión algebraica

Para una visión algebraica del grupo de recubrimiento universal, sea que actúe sobre el conjunto de todas las matrices hermíticas 2 × 2 mediante la operación ^[72] ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

La acción sobre es lineal. Un elemento de puede escribirse en la forma ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

La función P es un homomorfismo de grupo en Por lo tanto, es una representación de 4 dimensiones de . Su núcleo debe, en particular, tomar la matriz identidad para sí misma, A ^† IA = A ^† A = I y, por lo tanto, A ^† = A ⁻¹ . Por lo tanto, AX = XA para A en el núcleo, por lo que, por el lema de Schur , ^{[nb 19]} A es un múltiplo de la identidad, que debe ser ± I ya que det A = 1 . ^[75] El espacio se asigna al espacio de Minkowski M ⁴ , mediante ${\displaystyle {\text{GL}}({\mathfrak {h}})\subset {\text{End}}({\mathfrak {h}}).}$ ${\displaystyle \mathbf {P} :{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{GL}}({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

La acción de P ( A ) sobre preserva los determinantes. La representación inducida p de sobre a través del isomorfismo anterior, dada por ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$

conserva el producto interno de Lorentz ya que $${\displaystyle -\det X=\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}+\xi _{3}^{2}-\xi _{4}^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}.}$$

Esto significa que p ( A ) pertenece al grupo completo de Lorentz SO(3; 1) . Por el teorema principal de conexidad , dado que es conexo, su imagen bajo p en SO(3; 1) es conexa y, por lo tanto, está contenida en SO(3; 1) ⁺ . ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Se puede demostrar que el mapa de Lie de es un isomorfismo del álgebra de Lie: ^{[nb 20]} El mapa P también es sobreyectivo. ^{[nb 21]} ${\displaystyle \mathbf {p} :{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SO}}(3;1)^{+},}$ ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\to {\mathfrak {so}}(3;1).}$

Por lo tanto , puesto que está simplemente conexo, es el grupo de recubrimiento universal de SO(3; 1) ⁺ , isomorfo al grupo G de arriba. ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

No sobreyectividad de la función exponencial para SL(2, C)

Este diagrama muestra la red de aplicaciones analizadas en el texto. Aquí V es un espacio vectorial de dimensión finita que contiene representaciones de y es la función exponencial, p es la función que cubre sobre SO(3; 1) ⁺ y σ es el isomorfismo del álgebra de Lie que induce. Las funciones Π, π y las dos Φ son representaciones. La imagen es sólo parcialmente verdadera cuando Π es proyectiva. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),{\mathfrak {so}}(3;1),}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(3;1)^{+}.}$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),}$

La función exponencial no es sobreyectiva. ^[76] La matriz ${\displaystyle \exp :{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

está dentro pero no hay tal que q = exp( Q ) . ^{[nb 22]} ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),}$ ${\displaystyle Q\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

En general, si g es un elemento de un grupo de Lie conexo G con álgebra de Lie entonces, por (Lie) , ${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$

La matriz q se puede escribir

Realización de representaciones deSL(2, C)ysl(2, C)y sus álgebras de Lie

Las representaciones lineales complejas de y son más sencillas de obtener que las representaciones. Pueden escribirse (y normalmente se escriben) desde cero. Las representaciones de grupo holomorfas (lo que significa que la representación del álgebra de Lie correspondiente es lineal compleja) están relacionadas con las representaciones del álgebra de Lie lineal compleja por exponenciación. Las representaciones lineales reales de son exactamente las ( μ , ν ) -representaciones. También pueden ser exponenciadas. Las ( μ , 0) -representaciones son lineales complejas y son (isomorfas a) las representaciones de mayor peso. Estas suelen estar indexadas con un solo entero (pero aquí se utilizan medios enteros). ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)^{+}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

En esta sección se utiliza la convención matemática por conveniencia. Los elementos del álgebra de Lie difieren en un factor de i y no hay ningún factor de i en la función exponencial en comparación con la convención de física utilizada en otros lugares. Sea la base de [ ^77] ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

Esta elección de base y de notación es estándar en la literatura matemática.

Representaciones lineales complejas

Las representaciones holomórficas irreducibles de dimensión ( n +1) se pueden realizar en el espacio de polinomios homogéneos de grado n en 2 variables ^{[78] [79]} cuyos elementos son ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),n\geqslant 2,}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{n}^{2},}$

$${\displaystyle P{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=c_{n}z_{1}^{n}+c_{n-1}z_{1}^{n-1}z_{2}+\cdots +c_{0}z_{2}^{n},\quad c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {Z} .}$$

La acción de está dada por ^{[80] [81]} ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

La -acción asociada es, utilizando (G6) y la definición anterior, para los elementos base de ^[82] ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$

Con una elección de base para , estas representaciones se convierten en álgebras de Lie matriciales. ${\displaystyle P\in \mathbf {P} _{n}^{2}}$

Representaciones lineales reales

Las representaciones ( μ , ν ) se realizan en un espacio de polinomios en homogéneos de grado μ en y homogéneos de grado ν en ^[79] Las representaciones están dadas por ^[83] ${\displaystyle \mathbf {P} _{\mu ,\nu }^{2}}$ ${\displaystyle z_{1},{\overline {z_{1}}},z_{2},{\overline {z_{2}}},}$ ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$ ${\displaystyle {\overline {z_{1}}},{\overline {z_{2}}}.}$

Empleando (G6) nuevamente se encuentra que

En particular para los elementos básicos,

Propiedades de la (metro, norte) representaciones

Las representaciones ( m ,  n ) , definidas anteriormente a través de (A1) (como restricciones a la forma real ) de los productos tensoriales de las representaciones lineales complejas irreducibles π _{m = μ} y π _{n = ν} de son irreducibles, y son las únicas representaciones irreducibles. ^[61] ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3,1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$

• La irreductibilidad se deriva del truco unitario ^[84] y que una representación Π de SU(2) × SU(2) es irreducible si y sólo si Π = Π _μ ⊗ Π _ν , ^{[nb 23]} donde Π _μ , Π _ν son irreducibles representaciones de SU(2) .
• La unicidad se deduce de que los Π _m son las únicas representaciones irreducibles de SU(2) , lo que es una de las conclusiones del teorema de mayor peso. ^[85]

Dimensión

Las representaciones ( m ,  n ) son (2 m  + 1)(2 n  + 1) -dimensionales. ^[86] Esto se deduce más fácilmente al contar las dimensiones en cualquier realización concreta, como la dada en las representaciones de SL ( 2 , C ) {\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )} y s l ( 2 , C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} . Para un álgebra general de Lie se aplica la fórmula de dimensión de Weyl , ^[87] , donde R ⁺ es el conjunto de raíces positivas, ρ es el peso más alto y δ es la mitad de la suma de las raíces positivas. El producto interno es el del álgebra de Lie invariante bajo la acción del grupo de Weyl sobre el subálgebra de Cartan . Las raíces (en realidad elementos de ) se identifican a través de este producto interno con elementos de Para la fórmula se reduce a dim π _μ = 2 μ + 1 = 2 m + 1 , donde debe tenerse en cuenta la notación actual . El peso más alto es 2 μ . ^[88] Al tomar productos tensoriales, se obtiene el resultado. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ $${\displaystyle \dim \pi _{\rho }={\frac {\Pi _{\alpha \in R^{+}}\langle \alpha ,\rho +\delta \rangle }{\Pi _{\alpha \in R^{+}}\langle \alpha ,\delta \rangle }},}$$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$

Fidelidad

Si una representación Π de un grupo de Lie G no es fiel, entonces N = ker Π es un subgrupo normal no trivial. ^[89] Hay tres casos relevantes.

1. N no es discreto y abeliano .
2. N no es discreto y no abeliano.
3. N es discreto. En este caso N ⊂ Z , donde Z es el centro de G . ^{[nb 24]}

En el caso de SO(3; 1) ⁺ , el primer caso se excluye ya que SO(3; 1) ⁺ es semi-simple. ^{[nb 25]} El segundo caso (y el primer caso) se excluye porque SO(3; 1) ⁺ es simple. ^{[nb 26]} Para el tercer caso, SO(3; 1) ⁺ es isomorfo al cociente Pero es el centro de Se deduce que el centro de SO(3; 1) ⁺ es trivial, y esto excluye el tercer caso. La conclusión es que toda representación Π : SO(3; 1) ⁺ → GL( V ) y toda representación proyectiva Π : SO(3; 1) ⁺ → PGL( W ) para V , W espacios vectoriales de dimensión finita son fieles. ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\}.}$ ${\displaystyle \{\pm I\}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).}$

Al utilizar la correspondencia fundamental de Lie, las afirmaciones y el razonamiento anteriores se traducen directamente en álgebras de Lie con subgrupos normales no discretos (abelianos) no triviales reemplazados por ideales no triviales (unidimensionales) en el álgebra de Lie, ^[90] y el centro de SO(3; 1) ⁺ reemplazado por el centro de El centro de cualquier álgebra de Lie semisimple es trivial ^[91] y es semisimple y simple, y por lo tanto no tiene ideales no triviales. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;1)^{+}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$

Un hecho relacionado es que si la representación correspondiente de es fiel, entonces la representación es proyectiva. Por el contrario, si la representación no es proyectiva, entonces la representación correspondiente no es fiel, sino que es 2:1 . ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

No unitaridad

La representación del álgebra de Lie ( m ,  n ) no es hermítica . En consecuencia, la representación (proyectiva) correspondiente del grupo nunca es unitaria . ^{[nb 27]} Esto se debe a la no compacidad del grupo de Lorentz. De hecho, un grupo de Lie simple no compacto conexo no puede tener ninguna representación unitaria no trivial de dimensión finita. ^[33] Hay una prueba topológica de esto. ^[92] Sea u  : G → GL( V ) , donde V es de dimensión finita, una representación unitaria continua del grupo de Lie simple conexo no compacto G . Entonces u ( G ) ⊂ U( V ) ⊂ GL( V ) donde U( V ) es el subgrupo compacto de GL( V ) que consiste en transformaciones unitarias de V . El núcleo de u es un subgrupo normal de G . Como G es simple, ker u es todo G , en cuyo caso u es trivial, o ker u es trivial, en cuyo caso u es fiel . En el último caso u es un difeomorfismo sobre su imagen, ^[93] u ( G ) ≅ G y u ( G ) es un grupo de Lie. Esto significaría que u ( G ) es un subgrupo de Lie no compacto incorporado del grupo compacto U( V ) . Esto es imposible con la topología de subespacio en u ( G ) ⊂ U( V ) ya que todos los subgrupos de Lie incorporados de un grupo de Lie son cerrados ^[94] Si u ( G ) fuera cerrado, sería compacto, ^{[nb 28]} y entonces G sería compacto, ^{[nb 29]} contrario a la suposición. ^{[nb 30]}

En el caso del grupo de Lorentz, esto también se puede ver directamente a partir de las definiciones. Las representaciones de A y B utilizadas en la construcción son hermíticas. Esto significa que J es hermítica, pero K es antihermítica . ^[95] La no unitaridad no es un problema en la teoría cuántica de campos, ya que no se requiere que los objetos en cuestión tengan una norma definida positiva invariante de Lorentz. ^[96]

Restricción a SO(3)

La representación ( m ,  n ) es, sin embargo, unitaria cuando se restringe al subgrupo de rotación SO(3) , pero estas representaciones no son irreducibles como representaciones de SO(3). Se puede aplicar una descomposición de Clebsch–Gordan que muestra que una representación ( m ,  n ) tiene subespacios SO(3) -invariantes de mayor peso (espín) m + n , m + n − 1, ..., | m − n |  , ^[97] donde cada mayor peso (espín) posible ocurre exactamente una vez. Un subespacio de peso de mayor peso (espín) j es (2 j + 1) -dimensional. Entonces, por ejemplo, el ( ⁠1/2⁠ ,  ⁠1/2) la representación tiene subespacios de espín 1 y espín 0 de dimensión 3 y 1 respectivamente.

Dado que el operador de momento angular está dado por J = A + B , el espín más alto en mecánica cuántica de la subrepresentación de rotación será ( m + n )ℏ y se aplican las reglas "usuales" de adición de momentos angulares y el formalismo de los símbolos 3-j , símbolos 6-j , etc. ^[98]

Espinores

Son los subespacios SO(3) -invariantes de las representaciones irreducibles los que determinan si una representación tiene espín. Del párrafo anterior, se ve que la representación ( m ,  n ) tiene espín si m + n es semientero. Los más simples son ( ⁠1/2⁠ , 0) y (0,  ⁠1/2⁠ ) ​​, los espinores de Weyl de dimensión 2 . Entonces, por ejemplo, (0,  ⁠3/2⁠ ) ​​y (1,  ⁠1/2⁠ ) ​​son representaciones de espín de dimensiones 2⋅ ⁠3/2⁠ + 1 = 4 y (2 + 1)(2⋅ ⁠1/2⁠ + 1) = 6 respectivamente. Según el párrafo anterior, existen subespacios con espín tanto ⁠3/2⁠ y ⁠1/2⁠ en los dos últimos casos, por lo que estas representaciones probablemente no pueden representar una única partícula física que debe comportarse bien bajo SO(3) . Sin embargo, no se puede descartar en general que representaciones con múltiples subrepresentaciones SO(3) con diferentes espines puedan representar partículas físicas con espines bien definidos. Puede ser que exista una ecuación de onda relativista adecuada que proyecte componentes no físicos , dejando solo un único espín. ^[99]

Construcción de espín puro ⁠norte/2Las representaciones para cualquier n ( bajo SO(3) ) a partir de las representaciones irreducibles implican tomar productos tensoriales de la representación de Dirac con una representación sin espín, extraer un subespacio adecuado y, finalmente, imponer restricciones diferenciales. ^[100]

Representaciones duales

El sistema de raíces A ₁ × A ₁ de ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).}$

Se aplican los siguientes teoremas para examinar si la representación dual de una representación irreducible es isomorfa a la representación original:

1. El conjunto de pesos de la representación dual de una representación irreducible de un álgebra de Lie semisimple es, incluidas las multiplicidades, el negativo del conjunto de pesos de la representación original. ^[101]
2. Dos representaciones irreducibles son isomorfas si y sólo si tienen el mismo peso máximo . ^{[nb 31]}
3. Para cada álgebra de Lie semisimple existe un elemento único w ₀ del grupo de Weyl tal que si μ es un peso integral dominante, entonces w ₀ ⋅ (− μ ) es nuevamente un peso integral dominante. ^[102]
4. Si es una representación irreducible con el mayor peso μ ₀ , entonces tiene el mayor peso w ₀ ⋅ (− μ ) . ^[102] ${\displaystyle \pi _{\mu _{0}}}$ ${\displaystyle \pi _{\mu _{0}}^{*}}$

Aquí, los elementos del grupo de Weyl se consideran como transformaciones ortogonales, que actúan por multiplicación de matrices, sobre el espacio vectorial real de raíces . Si − I es un elemento del grupo de Weyl de un álgebra de Lie semisimple, entonces w ₀ = − I . En el caso del grupo de Weyl es W = { I , − I } . ^[103] De ello se deduce que cada π _μ , μ = 0, 1, ... es isomorfo a su dual El sistema de raíces de se muestra en la figura de la derecha. ^{[nb 32]} El grupo de Weyl se genera por donde es la reflexión en el plano ortogonal a γ ya que γ varía sobre todas las raíces. ^{[nb 33]} La inspección muestra que w _α ⋅ w _β = − I por lo que − I ∈ W . Utilizando el hecho de que si π , σ son representaciones de álgebra de Lie y π ≅ σ , entonces Π ≅ Σ , ^[104] la conclusión para SO(3; 1) ⁺ es ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$ ${\displaystyle \pi _{\mu }^{*}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \{w_{\gamma }\}}$ ${\displaystyle w_{\gamma }}$ $${\displaystyle \pi _{m,n}^{*}\cong \pi _{m,n},\quad \Pi _{m,n}^{*}\cong \Pi _{m,n},\quad 2m,2n\in \mathbf {N} .}$$

Representaciones conjugadas complejas

Si π es una representación de un álgebra de Lie, entonces es una representación, donde la barra denota la conjugación compleja entrada por entrada en las matrices representativas. Esto se deduce de que la conjugación compleja conmuta con la adición y la multiplicación. ^[105] En general, cada representación irreducible π de se puede escribir de forma única como π = π ⁺ + π ⁻ , donde ^[106] con holomorfa (lineal compleja) y antiholomorfa (lineal conjugada). Porque como es holomorfa, es antiholomorfa. El examen directo de las expresiones explícitas para y en la ecuación (S8) a continuación muestra que son holomorfas y antiholomorfas respectivamente. Un examen más detallado de la expresión (S8) también permite la identificación de y para como ${\displaystyle {\overline {\pi }}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )}$ $${\displaystyle \pi ^{\pm }(X)={\frac {1}{2}}\left(\pi (X)\pm i\pi \left(i^{-1}X\right)\right),}$$ ${\displaystyle \pi ^{+}}$ ${\displaystyle \pi ^{-}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$ ${\displaystyle \pi _{\mu }}$ ${\displaystyle {\overline {\pi _{\mu }}}}$ ${\displaystyle \pi _{\mu ,0}}$ ${\displaystyle \pi _{0,\nu }}$ ${\displaystyle \pi ^{+}}$ ${\displaystyle \pi ^{-}}$ ${\displaystyle \pi _{\mu ,\nu }}$ $${\displaystyle \pi _{\mu ,\nu }^{+}=\pi _{\mu }^{\oplus _{\nu +1}},\qquad \pi _{\mu ,\nu }^{-}={\overline {\pi _{\nu }^{\oplus _{\mu +1}}}}.}$$

Usando las identidades anteriores (interpretadas como suma puntual de funciones), para SO(3; 1) ⁺ se obtiene donde el enunciado para las representaciones de grupo se sigue de exp( X ) = exp( X ) . Se sigue que las representaciones irreducibles ( m , n ) tienen representantes matriciales reales si y solo si m = n . Las representaciones reducibles en la forma ( m , n ) ⊕ ( n , m ) también tienen matrices reales. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\pi _{m,n}}}&={\overline {\pi _{m,n}^{+}+\pi _{m,n}^{-}}}={\overline {\pi _{m}^{\oplus _{2n+1}}}}+{\overline {{\overline {\pi _{n}}}^{\oplus _{2m+1}}}}\\&=\pi _{n}^{\oplus _{2m+1}}+{\overline {\pi _{m}}}^{\oplus _{2n+1}}=\pi _{n,m}^{+}+\pi _{n,m}^{-}=\pi _{n,m}\\&&&2m,2n\in \mathbb {N} \\{\overline {\Pi _{m,n}}}&=\Pi _{n,m}\end{aligned}}}$$

La representación adjunta, el álgebra de Clifford y la representación del espinor de Dirac

Richard Brauer y su esposa Ilse 1970. Brauer generalizó las representaciones de espín de las álgebras de Lie que se encuentran dentro de las álgebras de Clifford para girar más alto que ⁠1/2⁠ .

Fotografía cortesía de MFO.

En la teoría de representación general, si ( π ,  V ) es una representación de un álgebra de Lie , entonces hay una representación asociada de en End ( V ) , también denotada π , dada por ${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$

De la misma manera, una representación (Π,  V ) de un grupo G produce una representación Π en End( V ) de G , todavía denotada Π , dada por ^[107]

Si π y Π son las representaciones estándar de y si la acción está restringida a , entonces las dos representaciones anteriores son la representación adjunta del álgebra de Lie y la representación adjunta del grupo respectivamente. Las representaciones correspondientes (algunas o ) siempre existen para cualquier grupo de Lie matricial y son fundamentales para la investigación de la teoría de la representación en general y para cualquier grupo de Lie dado en particular. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)\subset {\text{End}}(\mathbb {R} ^{4}),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Aplicando esto al grupo de Lorentz, si (Π,  V ) es una representación proyectiva, entonces el cálculo directo usando (G5) muestra que la representación inducida en End( V ) es una representación adecuada, es decir, una representación sin factores de fase.

En mecánica cuántica esto significa que si ( π ,  H ) o (Π,  H ) es una representación que actúa sobre algún espacio de Hilbert H , entonces la representación inducida correspondiente actúa sobre el conjunto de operadores lineales en H . Como ejemplo, la representación inducida del espín proyectivo ( ⁠1/2⁠ , 0) ⊕ (0,  ⁠1/2) la representación en End( H ) es el 4-vector no proyectivo ( ⁠1/2⁠ ,  ⁠1/2) representación. ^[108]

Para simplificar, considere sólo la "parte discreta" de End( H ) , es decir, dada una base para H , el conjunto de matrices constantes de varias dimensiones, incluyendo posiblemente dimensiones infinitas. La representación de 4 vectores inducida de arriba en este End( H ) simplificado tiene un subespacio de 4 dimensiones invariante que está abarcado por las cuatro matrices gamma . ^[109] (La convención métrica es diferente en el artículo vinculado). De manera correspondiente, el álgebra de Clifford completa del espacio-tiempo , cuya complejización es generada por las matrices gamma se descompone como una suma directa de espacios de representación de una representación irreducible escalar (irrep), el (0, 0) , un irrep pseudoescalar , también el (0, 0) , pero con valor propio de inversión de paridad −1 , vea la siguiente sección a continuación, el irrep vectorial ya mencionado, ( ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle {\text{M}}(4,\mathbb {C} ),}$1/2⁠ , ⁠1/2⁠ ) ​​, un pseudovector irrep, ( ⁠1/2⁠ , ⁠1/2⁠ ) ​​con valor propio de inversión de paridad +1 (no −1), y un tensor irrep, (1, 0) ⊕ (0, 1) . ^[110] Las dimensiones suman 1 + 1 + 4 + 4 + 6 = 16 . En otras palabras,

donde, como es habitual , una representación se confunde con su espacio de representación.

El( ⁠1/2⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠1/2⁠ )representación de giro

El espacio de representación de seis dimensiones de la representación del tensor (1, 0) ⊕ (0, 1) en su interior tiene dos funciones. ^[111] ${\displaystyle {\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )}$

donde están las matrices gamma, las sigmas, de las cuales solo 6 son distintas de cero debido a la antisimetría del corchete, abarcan el espacio de representación tensorial. Además, tienen las relaciones de conmutación del álgebra de Lie de Lorentz, ^[112] ${\displaystyle \gamma ^{0},\ldots ,\gamma ^{3}\in {\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )}$

y por lo tanto constituyen una representación (además de abarcar un espacio de representación) que se encuentra dentro del ( ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} ),}$1/2⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠1/2) representación de espín. Para más detalles, véase bispinor y álgebra de Dirac .

La conclusión es que cada elemento del complejo End ( H ) (es decir, cada matriz compleja 4 × 4 ) tiene propiedades de transformación de Lorentz bien definidas. Además, tiene una representación de espín del álgebra de Lie de Lorentz, que al exponenciarla se convierte en una representación de espín del grupo, actuando sobre ella convirtiéndola en un espacio de bispinores. ${\displaystyle {\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4},}$

Representaciones reducibles

Existe una multitud de otras representaciones que pueden deducirse a partir de las irreducibles, como las que se obtienen tomando sumas directas, productos tensoriales y cocientes de las representaciones irreducibles. Otros métodos para obtener representaciones incluyen la restricción de una representación de un grupo mayor que contenga al grupo de Lorentz, por ejemplo, y al grupo de Poincaré. Estas representaciones en general no son irreducibles. ${\displaystyle {\text{GL}}(n,\mathbb {R} )}$

El grupo de Lorentz y su álgebra de Lie tienen la propiedad de reducibilidad completa . Esto significa que cada representación se reduce a una suma directa de representaciones irreducibles. Por lo tanto, no se analizarán las representaciones reducibles.

Inversión espacial y reversión del tiempo

La representación (posiblemente proyectiva) ( m ,  n ) es irreducible como una representación SO(3; 1) ⁺ , el componente identidad del grupo de Lorentz, en terminología de física el grupo de Lorentz ortócrono adecuado . Si m = n se puede extender a una representación de todo O(3; 1) , el grupo de Lorentz completo, incluyendo la inversión de paridad espacial y la inversión temporal . Las representaciones ( m , n ) ⊕ ( n , m ) se pueden extender de la misma manera. ^[113]

Inversión de paridad espacial

Para la inversión de paridad espacial, se considera la acción adjunta Ad _P de P ∈ SO(3; 1) en , donde P es el representante estándar de la inversión de paridad espacial, P = diag(1, −1, −1, −1) , dado por ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$

Son estas propiedades de K y J bajo P las que motivan los términos vector para K y pseudovector o vector axial para J . De manera similar, si π es cualquier representación de y Π es su representación de grupo asociada, entonces Π(SO(3; 1) ⁺ ) actúa sobre la representación de π por la acción adjunta, π ( X ) ↦ Π( g )  π ( X ) Π( g ) ⁻¹ para g ∈ SO(3; 1) ⁺ . Si P debe incluirse en Π , entonces la consistencia con (F1) requiere que ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {so}}(3;1),}$

se cumple, donde A y B se definen como en la primera sección. Esto solo se cumple si A _i y B _i tienen las mismas dimensiones, es decir, solo si m = n . Cuando m ≠ n entonces ( m ,  n ) ⊕ ( n ,  m ) se puede extender a una representación irreducible de SO(3; 1) ⁺ , el grupo de Lorentz ortócrono. El representante de inversión de paridad Π( P ) no viene automáticamente con la construcción general de las representaciones ( m ,  n ) . Debe especificarse por separado. La matriz β = i  γ ⁰ (o un múltiplo del módulo −1 por ella) se puede utilizar en la ( ⁠1/2⁠ , 0) ⊕ (0,  ⁠1/2⁠ ) ^​​[114] representación.

Si la paridad se incluye con un signo menos (la matriz 1×1 [−1] ) en la representación (0,0) , se denomina representación pseudoescalar .

Inversión del tiempo

La inversión temporal T = diag(−1, 1, 1, 1) , actúa de manera similar en ^[115] ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$

Al incluir explícitamente un representante para T , así como uno para P , se obtiene una representación del grupo de Lorentz completo O(3; 1) . Sin embargo, aparece un problema sutil en la aplicación a la física, en particular a la mecánica cuántica. Al considerar el grupo de Poincaré completo , cuatro generadores más, el P ^μ , además de J ⁱ y K ⁱ generan el grupo. Estos se interpretan como generadores de traslaciones. El componente temporal P ⁰ es el hamiltoniano H . El operador T satisface la relación ^[116]

en analogía con las relaciones anteriores con reemplazado por el álgebra de Poincaré completa . Con solo cancelar las i , el resultado THT ⁻¹ = − H implicaría que para cada estado Ψ con energía positiva E en un espacio de Hilbert de estados cuánticos con invariancia de inversión temporal, habría un estado Π( T ⁻¹ )Ψ con energía negativa − E . Tales estados no existen. Por lo tanto, el operador Π( T ) se elige antilineal y antiunitario , de modo que anticonmuta con i , lo que resulta en THT ⁻¹ = H , y su acción en el espacio de Hilbert también se vuelve antilineal y antiunitaria. ^[117] Puede expresarse como la composición de la conjugación compleja con la multiplicación por una matriz unitaria. ^[118] Esto es matemáticamente sólido, consulte el teorema de Wigner , pero con requisitos muy estrictos sobre la terminología, Π no es una representación . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$

Al construir teorías como la QED , que es invariante bajo paridad espacial e inversión temporal, se pueden utilizar espinores de Dirac, mientras que las teorías que no lo hacen, como la fuerza electrodébil , deben formularse en términos de espinores de Weyl. La representación de Dirac, ( ⁠1/2⁠ , 0) ⊕ (0,  ⁠1/2⁠ ) ​​, se considera generalmente que incluye tanto la paridad espacial como las inversiones temporales. Sin la inversión de la paridad espacial, no es una representación irreducible.

La tercera simetría discreta que entra en el teorema CPT junto con P y T , la simetría de conjugación de carga C , no tiene nada que ver directamente con la invariancia de Lorentz. ^[119]

Acción sobre espacios funcionales

Si V es un espacio vectorial de funciones de un número finito de variables n , entonces la acción sobre una función escalar dada por ${\displaystyle f\in V}$

produce otra función Π f ∈ V . Aquí Π _x es una representación n -dimensional, y Π es una representación posiblemente de dimensión infinita. Un caso especial de esta construcción es cuando V es un espacio de funciones definidas en el propio grupo lineal G , visto como una variedad n -dimensional incrustada en (siendo m la dimensión de las matrices). ^[120] Este es el contexto en el que se formulan el teorema de Peter-Weyl y el teorema de Borel-Weil . El primero demuestra la existencia de una descomposición de Fourier de funciones en un grupo compacto en caracteres de representaciones de dimensión finita. ^[61] El último teorema, que proporciona representaciones más explícitas, hace uso del truco unitario para producir representaciones de grupos complejos no compactos, p. ej. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m^{2}}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).}$

A continuación se ejemplifica la acción del grupo de Lorentz y del subgrupo de rotación en algunos espacios funcionales.

Rotaciones euclidianas

El subgrupo SO(3) de rotaciones euclidianas tridimensionales tiene una representación de dimensión infinita en el espacio de Hilbert. $${\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {S} ^{2}\right)=\operatorname {span} \left\{Y_{m}^{l},l\in \mathbb {N} ^{+},-l\leqslant m\leqslant l\right\},}$$

donde están los armónicos esféricos . Una función integrable cuadrada arbitraria f en la esfera unitaria se puede expresar como ^[121] ${\displaystyle Y_{m}^{l}}$

donde f _lm son coeficientes de Fourier generalizados .

La acción del grupo de Lorentz se limita a la de SO(3) y se expresa como

donde los D ^l se obtienen a partir de los representantes de dimensión impar de los generadores de rotación.

El grupo de Möbius

El componente identidad del grupo de Lorentz es isomorfo al grupo de Möbius M . Este grupo puede considerarse como aplicaciones conformes del plano complejo o, mediante proyección estereográfica , de la esfera de Riemann . De esta manera, el propio grupo de Lorentz puede considerarse como actuando conformemente sobre el plano complejo o sobre la esfera de Riemann.

En el plano, una transformación de Möbius caracterizada por los números complejos a ,  b ,  c ,  d actúa sobre el plano según ^[122]

y pueden representarse mediante matrices complejas

ya que la multiplicación por un escalar complejo distinto de cero no cambia f . Estos son elementos de y son únicos hasta un signo (ya que ±Π _f da el mismo f ), por lo tanto ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\}\cong {\text{SO}}(3;1)^{+}.}$

Las funciones P de Riemann

Las funciones P de Riemann , soluciones de la ecuación diferencial de Riemann, son un ejemplo de un conjunto de funciones que se transforman entre sí bajo la acción del grupo de Lorentz. Las funciones P de Riemann se expresan como ^[123]

donde a ,   b ,   c ,   α ,   β ,   γ ,   α′ ,   β′ ,   γ′ son constantes complejas. La función P del lado derecho se puede expresar utilizando funciones hipergeométricas estándar . La conexión es ^[124]

El conjunto de constantes 0, ∞, 1 en la fila superior del lado izquierdo son los puntos singulares regulares de la ecuación hipergeométrica de Gauss . ^[125] Sus exponentes , es decir, las soluciones de la ecuación indicial , para la expansión alrededor del punto singular 0 son 0 y 1 − c , correspondientes a las dos soluciones linealmente independientes, ^{[nb 34]} y para la expansión alrededor del punto singular 1 son 0 y c − a − b . ^[126] De manera similar, los exponentes para ∞ son a y b para las dos soluciones. ^[127]

Se tiene así

donde la condición (a veces llamada identidad de Riemann) ^[128] sobre los exponentes de las soluciones de la ecuación diferencial de Riemann se ha utilizado para definir γ ′ . $${\displaystyle \alpha +\alpha '+\beta +\beta '+\gamma +\gamma '=1}$$

El primer conjunto de constantes del lado izquierdo de (T1) , a , b , c , denota los puntos singulares regulares de la ecuación diferencial de Riemann. El segundo conjunto, α ,  β ,  γ , son los exponentes correspondientes en a , b , c para una de las dos soluciones linealmente independientes y, en consecuencia, α′ ,  β′ ,  γ′ son exponentes en a , b , c para la segunda solución.

Defina una acción del grupo de Lorentz sobre el conjunto de todas las funciones P de Riemann estableciendo primero

donde A ,   B ,   C ,  D son las entradas en

para Λ = p ( λ ) ∈ SO(3; 1) ⁺ una transformación de Lorentz.

Definir

donde P es una función P de Riemann. La función resultante es nuevamente una función P de Riemann. El efecto de la transformación de Möbius del argumento es el de desplazar los polos a nuevas posiciones, cambiando así los puntos críticos, pero no hay cambio en los exponentes de la ecuación diferencial que satisface la nueva función. La nueva función se expresa como

dónde

Representaciones unitarias de dimensión infinita

Historia

El grupo de Lorentz SO(3; 1) ⁺ y su doble cubierta también tienen representaciones unitarias de dimensión infinita, estudiadas independientemente por Bargmann (1947), Gelfand & Naimark (1947) y Harish-Chandra (1947) a instancias de Paul Dirac . ^{[129] [130]} Esta línea de desarrollo comenzó con Dirac (1936), donde ideó las matrices U y B necesarias para la descripción de espines superiores (compárense las matrices de Dirac ), elaboradas por Fierz (1939), véase también Fierz & Pauli (1939), y propuso precursores de las ecuaciones de Bargmann-Wigner . ^[131] En Dirac (1945) propuso un espacio de representación de dimensión infinita concreto cuyos elementos se denominaron expansores como una generalización de los tensores. ^{[nb 35]} Estas ideas fueron incorporadas por Harish-Chandra y ampliadas con expinores como una generalización de dimensión infinita de espinores en su artículo de 1947. ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

La fórmula de Plancherel para estos grupos fue obtenida por primera vez por Gelfand y Naimark a través de cálculos complejos. Posteriormente, el tratamiento fue simplificado considerablemente por Harish-Chandra (1951) y Gelfand & Graev (1953), basándose en una fórmula análoga de la fórmula de integración de Hermann Weyl para grupos de Lie compactos . ^[132] Se pueden encontrar explicaciones elementales de este enfoque en Rühl (1970) y Knapp (2001). ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

La teoría de funciones esféricas para el grupo de Lorentz, necesaria para el análisis armónico en el modelo hiperboloide del espacio hiperbólico tridimensional situado en el espacio de Minkowski, es considerablemente más sencilla que la teoría general. Sólo implica representaciones de la serie principal esférica y puede tratarse directamente, porque en coordenadas radiales el laplaciano del hiperboloide es equivalente al laplaciano de Esta teoría se analiza en Takahashi (1963), Helgason (1968), Helgason (2000) y el texto póstumo de Jorgenson & Lang (2008). ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Serie principal para SL(2, C)

Las series principales , o series principales unitarias , son las representaciones unitarias inducidas a partir de las representaciones unidimensionales del subgrupo triangular inferior  B de Dado que las representaciones unidimensionales de B corresponden a las representaciones de las matrices diagonales, con elementos complejos distintos de cero z y z ⁻¹ , tienen por tanto la forma para k un entero, ν real y con z = re ^iθ . Las representaciones son irreducibles ; las únicas repeticiones, es decir, isomorfismos de representaciones, ocurren cuando k se reemplaza por − k . Por definición, las representaciones se realizan en L ² secciones de fibrados de líneas en las que es isomorfa a la esfera de Riemann . Cuando k = 0 , estas representaciones constituyen las llamadas series principales esféricas . ${\displaystyle G={\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).}$ $${\displaystyle \chi _{\nu ,k}{\begin{pmatrix}z&0\\c&z^{-1}\end{pmatrix}}=r^{i\nu }e^{ik\theta },}$$ ${\displaystyle G/B=\mathbb {S} ^{2},}$

La restricción de una serie principal al subgrupo compacto maximal K = SU(2) de  G también puede realizarse como una representación inducida de  K usando la identificación G / B = K / T , donde T = B ∩ K es el toro maximal en  K que consiste en matrices diagonales con |  z  | = 1 . Es la representación inducida a partir de la representación unidimensional z ^k T , y es independiente de  ν . Por reciprocidad de Frobenius , en  K se descomponen como una suma directa de las representaciones irreducibles de  K con dimensiones | k | + 2 m + 1 con m un entero no negativo.

Utilizando la identificación entre la esfera de Riemann menos un punto y la serie principal se puede definir directamente mediante la fórmula ^[133] ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {C} )}$ $${\displaystyle \pi _{\nu ,k}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}f(z)=|cz+d|^{-2-i\nu }\left({cz+d \over |cz+d|}\right)^{-k}f\left({az+b \over cz+d}\right).}$$

La irreducibilidad se puede comprobar de diversas maneras:

• La representación ya es irreducible en  B. Esto se puede ver directamente, pero también es un caso especial de los resultados generales sobre la irreducibilidad de las representaciones inducidas debido a François Bruhat y George Mackey , basándose en la descomposición de Bruhat G = B ∪ BsB donde s es el elemento del grupo de Weyl ^[134] . $${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$$
• La acción del álgebra de Lie de  G se puede calcular sobre la suma directa algebraica de los subespacios irreducibles de  K, se puede calcular explícitamente y se puede verificar directamente que el subespacio de menor dimensión genera esta suma directa como un -módulo. ^{[8] [135]} ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Serie complementaria paraSL(2, C)

Para 0 < t < 2 , la serie complementaria se define en para el producto interno ^[136] con la acción dada por ^{[137] [138]} ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {C} )}$ $${\displaystyle (f,g)_{t}=\iint {\frac {f(z){\overline {g(w)}}}{|z-w|^{2-t}}}\,dz\,dw,}$$ $${\displaystyle \pi _{t}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}f(z)=|cz+d|^{-2-t}f\left({az+b \over cz+d}\right).}$$

Las representaciones en las series complementarias son irreducibles y no isomorfas por pares. Como representación de  K , cada una es isomorfa a la suma directa del espacio de Hilbert de todas las representaciones irreducibles de dimensión impar de K = SU(2) . La irreducibilidad se puede demostrar analizando la acción de sobre la suma algebraica de estos subespacios ^{[8] [135]} o directamente sin utilizar el álgebra de Lie. ^{[139] [140]} ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Teorema de Plancherel para SL(2, C)

Las únicas representaciones unitarias irreducibles de son la serie principal, la serie complementaria y la representación trivial. Como − I actúa como (−1) ^k en la serie principal y trivialmente en el resto, éstas darán todas las representaciones unitarias irreducibles del grupo de Lorentz, siempre que se considere que k es par. ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Para descomponer la representación regular izquierda de  G en las series principales se requiere únicamente lo siguiente: esto produce inmediatamente la descomposición en las subrepresentaciones: la representación regular izquierda del grupo de Lorentz y la representación regular en el espacio hiperbólico tridimensional (la primera solo involucra representaciones de series principales con k pares y la segunda solo aquellas con k = 0 ). ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle L^{2}(G/\{\pm I\}),}$ ${\displaystyle L^{2}(G/K),}$

La representación regular izquierda y derecha λ y ρ se definen mediante ${\displaystyle L^{2}(G)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(\lambda (g)f)(x)&=f\left(g^{-1}x\right)\\(\rho (g)f)(x)&=f(xg)\end{aligned}}}$$

Ahora bien, si f es un elemento de C _c ( G ) , el operador definido por es Hilbert–Schmidt . Definamos un espacio de Hilbert  H por donde y denota el espacio de Hilbert de operadores de Hilbert–Schmidt en ^{[nb 36]} Entonces la función  U definida en C _c ( G ) por se extiende a un unitario de sobre H . ${\displaystyle \pi _{\nu ,k}(f)}$ $${\displaystyle \pi _{\nu ,k}(f)=\int _{G}f(g)\pi (g)\,dg}$$ $${\displaystyle H=\bigoplus _{k\geqslant 0}{\text{HS}}\left(L^{2}(\mathbb {C} )\right)\otimes L^{2}\left(\mathbb {R} ,c_{k}{\sqrt {\nu ^{2}+k^{2}}}d\nu \right),}$$ $${\displaystyle c_{k}={\begin{cases}{\frac {1}{4\pi ^{3/2}}}&k=0\\{\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}&k\neq 0\end{cases}}}$$ ${\displaystyle {\text{HS}}\left(L^{2}(\mathbb {C} )\right)}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {C} ).}$ $${\displaystyle U(f)(\nu ,k)=\pi _{\nu ,k}(f)}$$ ${\displaystyle L^{2}(G)}$

El mapa  U satisface la propiedad de entrelazamiento $${\displaystyle U(\lambda (x)\rho (y)f)(\nu ,k)=\pi _{\nu ,k}(x)^{-1}\pi _{\nu ,k}(f)\pi _{\nu ,k}(y).}$$

Si f ₁ , f ₂ están en C _c ( G ) entonces por unitariedad $${\displaystyle (f_{1},f_{2})=\sum _{k\geqslant 0}c_{k}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Tr} \left(\pi _{\nu ,k}(f_{1})\pi _{\nu ,k}(f_{2})^{*}\right)\left(\nu ^{2}+k^{2}\right)\,d\nu .}$$

Por lo tanto, si denota la convolución de y y entonces ^[141] ${\displaystyle f=f_{1}*f_{2}^{*}}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}^{*},}$ ${\displaystyle f_{2}^{*}(g)={\overline {f_{2}(g^{-1})}},}$ $${\displaystyle f(1)=\sum _{k\geqslant 0}c_{k}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Tr} \left(\pi _{\nu ,k}(f)\right)\left(\nu ^{2}+k^{2}\right)\,d\nu .}$$

Las dos últimas fórmulas mostradas se denominan habitualmente fórmula de Plancherel y fórmula de inversión de Fourier respectivamente.

La fórmula de Plancherel se extiende a todas las funciones suaves y compactas soportadas por un teorema de Jacques Dixmier y Paul Malliavin , y es una suma finita de convoluciones de funciones similares. La fórmula de inversión se cumple para tales funciones f . Puede extenderse a clases mucho más amplias de funciones que satisfacen condiciones de diferenciabilidad leves. ^[61] ${\displaystyle f_{i}\in L^{2}(G).}$ ${\displaystyle G}$

Clasificación de las representaciones deSO(3, 1)

La estrategia seguida en la clasificación de las representaciones irreducibles de dimensión infinita es, en analogía con el caso de dimensión finita, suponer que existen e investigar sus propiedades. Por tanto, supongamos primero que tenemos a mano una representación irreducible de dimensión infinita fuertemente continua Π _H en un espacio de Hilbert H de SO(3; 1) ^{+ . [142]} Puesto que SO(3) es un subgrupo, Π _H es también una representación de él. Cada subrepresentación irreducible de SO(3) es de dimensión finita, y la representación de SO(3) es reducible a una suma directa de representaciones unitarias de dimensión finita irreducibles de SO(3) si Π _H es unitario. ^[143]

Los pasos son los siguientes: ^[144]

1. Elija una base adecuada de vectores propios comunes de J ² y J ₃ .
2. Calcular elementos de matriz de J ₁ , J ₂ , J ₃ y K ₁ , K ₂ , K ₃ .
3. Hacer cumplir las relaciones de conmutación del álgebra de Lie.
4. Requiere unitaridad junto con ortonormalidad de la base. ^{[nb 37]}

Paso 1

Una elección adecuada de base y etiquetado viene dada por $${\displaystyle \left|j_{0}\,j_{1};j\,m\right\rangle .}$$

Si se tratara de una representación de dimensión finita , entonces j ₀ correspondería al valor propio j ( j + 1) más bajo que se presenta de J ² en la representación, igual a | m − n | , y j ₁ correspondería al valor propio más alto que se presenta, igual a m + n . En el caso de dimensión infinita, j ₀ ≥ 0 conserva este significado, pero j ₁ no. ^[66] Para simplificar, se supone que un j dado ocurre como máximo una vez en una representación dada (este es el caso de las representaciones de dimensión finita), y se puede demostrar ^[145] que es posible evitar la suposición (con un cálculo ligeramente más complicado) con los mismos resultados.

Paso 2

El siguiente paso es calcular los elementos matriciales de los operadores J ₁ , J ₂ , J ₃ y K ₁ , K ₂ , K ₃ que forman la base del álgebra de Lie de Los elementos matriciales de y (se entiende el álgebra de Lie complejizada ) se conocen a partir de la teoría de representación del grupo de rotación, y se dan por ^{[146] [147]} donde las etiquetas j ₀ y j ₁ se han eliminado ya que son las mismas para todos los vectores base en la representación. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1).}$ ${\displaystyle J_{\pm }=J_{1}\pm iJ_{2}}$ ${\displaystyle J_{3}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j\,m\right|J_{+}\left|j\,m-1\right\rangle =\left\langle j\,m-1\right|J_{-}\left|j\,m\right\rangle &={\sqrt {(j+m)(j-m+1)}},\\\left\langle j\,m\right|J_{3}\left|j\,m\right\rangle &=m,\end{aligned}}}$$

Debido a las relaciones de conmutación, el triple ( K ₁ , K ₂ , K ₃ ) ≡ K es un operador vectorial ^[148] y el teorema de Wigner-Eckart ^[149] se aplica para el cálculo de elementos de matriz entre los estados representados por la base elegida. ^[150] Los elementos de matriz de $${\displaystyle [J_{i},K_{j}]=i\epsilon _{ijk}K_{k},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}K_{0}^{(1)}&=K_{3},\\K_{\pm 1}^{(1)}&=\mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}(K_{1}\pm iK_{2}),\end{aligned}}}$$

donde el superíndice (1) significa que las cantidades definidas son los componentes de un operador tensorial esférico de rango k = 1 (lo que también explica el factor √ 2 ) y los subíndices 0, ±1 se denominan q en las fórmulas siguientes, y se dan por ^[151] $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j'm'\left|K_{0}^{(1)}\right|j\,m\right\rangle &=\left\langle j'\,m'\,k=1\,q=0|j\,m\right\rangle \left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j'\right\rangle ,\\\left\langle j'm'\left|K_{\pm 1}^{(1)}\right|j\,m\right\rangle &=\left\langle j'\,m'\,k=1\,q=\pm 1|j\,m\right\rangle \left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j'\right\rangle .\end{aligned}}}$$

Aquí los primeros factores en el lado derecho son los coeficientes de Clebsch-Gordan para acoplar j ′ con k para obtener j . Los segundos factores son los elementos de la matriz reducida . No dependen de m , m′ o q , pero dependen de j , j′ y, por supuesto, K . Para una lista completa de ecuaciones no nulas, véase Harish-Chandra (1947, p. 375).

Paso 3

El siguiente paso es exigir que se cumplan las relaciones del álgebra de Lie, es decir, que $${\displaystyle [K_{\pm },K_{3}]=\pm J_{\pm },\quad [K_{+},K_{-}]=-2J_{3}.}$$

Esto da como resultado un conjunto de ecuaciones ^[152] cuyas soluciones son ^[153] donde $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &=i{\frac {j_{1}j_{0}}{\sqrt {j(j+1)}}},\\\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j-1\right\rangle &=-B_{j}\xi _{j}{\sqrt {j(2j-1)}},\\\left\langle j-1\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &=B_{j}\xi _{j}^{-1}{\sqrt {j(2j+1)}},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle B_{j}={\sqrt {\frac {(j^{2}-j_{0}^{2})(j^{2}-j_{1}^{2})}{j^{2}(4j^{2}-1)}}},\quad j_{0}=0,{\tfrac {1}{2}},1,\ldots \quad {\text{and}}\quad j_{1},\xi _{j}\in \mathbb {C} .}$$

Paso 4

La imposición del requisito de unitaridad de la representación correspondiente del grupo restringe los valores posibles para los números complejos arbitrarios j ₀ y ξ _j . La unitaridad de la representación del grupo se traduce en el requisito de que los representantes del álgebra de Lie sean hermíticos, es decir $${\displaystyle K_{\pm }^{\dagger }=K_{\mp },\quad K_{3}^{\dagger }=K_{3}.}$$

Esto se traduce en ^[154], lo que lleva a ^[155] , donde β _j es el ángulo de B _j en forma polar. Para | B _j | ≠ 0 se sigue y se elige por convención. Hay dos casos posibles: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &={\overline {\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle }},\\\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j-1\right\rangle &=-{\overline {\left\langle j-1\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle }},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}j_{0}\left(j_{1}+{\overline {j_{1}}}\right)&=0,\\\left|B_{j}\right|\left(\left|\xi _{j}\right|^{2}-e^{-2i\beta _{j}}\right)&=0,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \left|\xi _{j}\right|^{2}=1}$ ${\displaystyle \xi _{j}=1}$

• ${\displaystyle {\underline {j_{1}+{\overline {j_{1}}}=0.}}}$En este caso j ₁ = − iν , ν real, ^[156] Esta es la serie principal . Sus elementos se denotan $${\displaystyle \left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle ={\frac {\nu j_{0}}{j(j+1)}}\quad {\text{and}}\quad B_{j}={\sqrt {\frac {(j^{2}-j_{0}^{2})(j^{2}+\nu ^{2})}{4j^{2}-1}}}}$$ ${\displaystyle (j_{0},\nu ),2j_{0}\in \mathbb {N} ,\nu \in \mathbb {R} .}$
• ${\displaystyle {\underline {j_{0}=0.}}}$De ello se deduce: ^[157] Puesto que B ₀ = B _{j 0} , B $${\displaystyle \left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle =0\quad {\text{and}}\quad B_{j}={\sqrt {\frac {j^{2}-\nu ^{2}}{4j^{2}-1}}}}$$^2j
  _​es real y positiva para j = 1, 2, ... , lo que lleva a −1 ≤ ν ≤ 1 . Esta es una serie complementaria . Sus elementos se denotan (0, ν ), −1 ≤ ν ≤ 1

Esto demuestra que las representaciones anteriores son todas representaciones unitarias irreducibles de dimensión infinita.

Fórmulas explícitas

Convenciones y bases del álgebra de Lie

La métrica de elección viene dada por η = diag(−1, 1, 1, 1) , y se utiliza la convención de física para las álgebras de Lie y la función exponencial. Estas elecciones son arbitrarias, pero una vez que se hacen, son fijas. Una posible elección de base para el álgebra de Lie viene dada, en la representación de 4 vectores, por: $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{1}=J^{23}=-J^{32}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}},&K_{1}=J^{01}=-J^{10}&=i{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\\[8pt]J_{2}=J^{31}=-J^{13}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{pmatrix}},&K_{2}=J^{02}=-J^{20}&=i{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\\[8pt]J_{3}=J^{12}=-J^{21}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},&K_{3}=J^{03}=-J^{30}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}.\\[8pt]\end{aligned}}}$$

Las relaciones de conmutación del álgebra de Lie son: ^[158] ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$ $${\displaystyle \left[J^{\mu \nu },J^{\rho \sigma }\right]=i\left(\eta ^{\sigma \mu }J^{\rho \nu }+\eta ^{\nu \sigma }J^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }J^{\sigma \nu }-\eta ^{\nu \rho }J^{\mu \sigma }\right).}$$

En notación tridimensional, estos son ^[159] $${\displaystyle \left[J_{i},J_{j}\right]=i\epsilon _{ijk}J_{k},\quad \left[J_{i},K_{j}\right]=i\epsilon _{ijk}K_{k},\quad \left[K_{i},K_{j}\right]=-i\epsilon _{ijk}J_{k}.}$$

La elección de la base anterior satisface las relaciones, pero son posibles otras opciones. Debe tenerse en cuenta el uso múltiple del símbolo J anterior y en lo que sigue.

Por ejemplo, un impulso típico y una rotación típica exponencian como simétricos y ortogonales, respectivamente. $${\displaystyle \exp(-i\xi K_{1})={\begin{pmatrix}\cosh \xi &\sinh \xi &0&0\\\sinh \xi &\cosh \xi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}},\qquad \exp(-i\theta J_{1})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}},}$$

Espinores y bispinores de Weyl

Las soluciones de la ecuación de Dirac se transforman bajo la ( ⁠1/2⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠1/2) -representación. Dirac descubrió las matrices gamma en su búsqueda de una ecuación relativista invariante, entonces ya conocida por los matemáticos. [ ^109]

Tomando, a su vez, m = ⁠1/2⁠ , n = 0 y m = 0, n = ⁠1/2⁠ y estableciendo en la expresión general (G1) , y utilizando las relaciones triviales 1 ₁ = 1 y J ⁽⁰⁾ = 0 , se sigue $${\displaystyle J_{i}^{\left({\frac {1}{2}}\right)}={\frac {1}{2}}\sigma _{i}}$$

Estas son las representaciones de espinores de Weyl zurdos y diestros . Actúan por multiplicación de matrices en espacios vectoriales complejos bidimensionales (con elección de base) V _L y V _R , cuyos elementos Ψ _L y Ψ _R se denominan espinores de Weyl zurdos y diestros respectivamente. Dada su suma directa como representaciones, ^[160] $${\displaystyle \left(\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)},V_{\text{L}}\right)\quad {\text{and}}\quad \left(\pi _{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)},V_{\text{R}}\right)}$$

Esto es, hasta una transformación de similitud, el ( ⁠1/2⁠ ,0) ⊕ (0, ⁠1/2⁠ ) ​​Representación del espinor de Dirac de Actúa sobre los elementos de 4 componentes (Ψ _L , Ψ _R ) de ( V _L ⊕ V _R ) , llamados bispinores , mediante multiplicación de matrices. La representación se puede obtener de una manera más general e independiente de la base utilizando álgebras de Clifford . Estas expresiones para bispinores y espinores de Weyl se extienden todas por linealidad de las álgebras de Lie y representaciones a todos losLas expresiones para las representaciones de grupo se obtienen por exponenciación. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1).}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1).}$

Problemas abiertos

La clasificación y caracterización de la teoría de representaciones del grupo de Lorentz se completó en 1947. Pero en asociación con el programa Bargmann-Wigner, aún quedan problemas puramente matemáticos sin resolver, vinculados a las representaciones unitarias de dimensión infinita.

Las representaciones unitarias de dimensión infinita irreducible pueden tener relevancia indirecta para la realidad física en las teorías especulativas modernas, ya que el grupo de Lorentz (generalizado) aparece como el pequeño grupo del grupo de Poincaré de vectores espaciales en una dimensión espaciotemporal superior. Las representaciones unitarias de dimensión infinita correspondientes del grupo de Poincaré (generalizado) son las llamadas representaciones taquiónicas . Los taquiones aparecen en el espectro de cuerdas bosónicas y están asociados con la inestabilidad del vacío. ^{[161] [162]} Aunque los taquiones pueden no realizarse en la naturaleza, estas representaciones deben entenderse matemáticamente para comprender la teoría de cuerdas. Esto es así porque los estados de taquiones aparecen también en las teorías de supercuerdas en los intentos de crear modelos realistas. ^[163]

Un problema abierto es la finalización del programa Bargmann-Wigner para el grupo de isometría SO( D − 2, 1) del espaciotiempo de De Sitter dS _{D −2} . Idealmente, los componentes físicos de las funciones de onda se realizarían en el hiperboloide dS _{D −2} de radio μ > 0 embebido en y las ecuaciones de onda covariantes O( D −2, 1) correspondientes de la representación unitaria de dimensión infinita se conocerían. ^[162] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{D-2,1}}$

Véase también

• Ecuaciones de Bargmann-Wigner
• Álgebra de Dirac
• Matrices gamma
• Grupo de Lorentz
• Transformación de Möbius
• Grupo de Poincaré
• Teoría de la representación del grupo de Poincaré
• Simetría en mecánica cuántica
• Clasificación de Wigner

Observaciones

1. La forma de representar las simetrías del espacio-tiempo puede adoptar muchas formas según la teoría de que se trate. Si bien no es el tema de este artículo, se brindarán algunos detalles en las notas al pie etiquetadas como "nb" y en la sección de aplicaciones.
2. Weinberg 2002, p. 1 "Si resultara que un sistema no puede ser descrito por una teoría cuántica de campos, sería una sensación; si resultara que no obedece las reglas de la mecánica cuántica y la relatividad, sería un cataclismo".
3. En 1945 Harish-Chandra fue a ver a Dirac en Cambridge. Harish-Chandra se convenció de que la física teórica no era el campo en el que debía estar. Había encontrado un error en una demostración de Dirac en su trabajo sobre el grupo de Lorentz. Dirac dijo: "No me interesan las demostraciones, sólo me interesa lo que hace la naturaleza". Harish-Chandra escribió más tarde: "Esta observación confirmó mi creciente convicción de que no tenía el misterioso sexto sentido que se necesita para tener éxito en física y pronto decidí pasarme a las matemáticas". Sin embargo, Dirac sugirió el tema de la tesis de Harish-Chandra, la clasificación de las representaciones irreducibles de dimensión infinita del grupo de Lorentz. Véase Dalitz y Peierls 1986
4. Consulte la fórmula (1) en S-matrix#From free particle states para ver cómo se transforman los estados multipartículas libres.
5. Weinberg 2002, Ecuaciones 5.1.4–5. Weinberg deduce la necesidad de operadores de creación y aniquilación a partir de otra consideración, el principio de descomposición de grupos , Weinberg (2002, Capítulo 4).
6. También puede ser necesaria una prescripción de cómo debe comportarse la partícula bajo simetría CPT.
7. Por ejemplo, existen versiones (ecuaciones de campo libre, es decir, sin términos de interacción) de la ecuación de Klein–Gordon , la ecuación de Dirac , las ecuaciones de Maxwell , la ecuación de Proca , la ecuación de Rarita–Schwinger y las ecuaciones de campo de Einstein que pueden deducirse sistemáticamente a partir de una representación dada del grupo de Lorentz. En general, estas son colectivamente las versiones de la teoría cuántica de campos de las ecuaciones de Bargmann–Wigner .

   Véase Weinberg (2002, Capítulo 5), Tung (1985, Sección 10.5.2) y las referencias dadas en estos trabajos.

   Cabe señalar que las teorías de alto espín ( s > 1 ) encuentran dificultades. Véase Weinberg (2002, Sección 5.8), sobre campos generales ( m , n ) , donde esto se analiza en profundidad y se citan las referencias allí. Sin duda existen partículas de alto espín , por ejemplo, núcleos, pero los conocidos no son elementales .

8. Para una parte de su teoría de representaciones, véase Bekaert & Boulanger (2006), que se dedica a la teoría de representaciones del grupo de Poincaré. Estas representaciones se obtienen mediante el método de representaciones inducidas o, en el lenguaje de la física, el método del pequeño grupo , iniciado por Wigner en 1939 para este tipo de grupos y puesto sobre una base matemática sólida por George Mackey en los años cincuenta.
9. Hall (2015, Sección 4.4.)

   Se dice que un grupo tiene la propiedad de reducibilidad completa si cada representación se descompone como una suma directa de representaciones irreducibles.

10. Dirac sugirió el tema de Wigner (1939) ya en 1928 (como se reconoce en el artículo de Wigner). También publicó uno de los primeros artículos sobre representaciones unitarias explícitas de dimensión infinita en Dirac (1945) (Langlands 1985), y sugirió el tema para la tesis de Harish-Chandra que clasifica las representaciones de dimensión infinita irreducibles (Dalitz y Peierls 1986).
11. Knapp 2001 El tercer isomorfismo, de aspecto bastante misterioso, se demuestra en el capítulo 2, párrafo 4.
12. Los productos tensoriales de representaciones, π _g  ⊗  π _h de pueden, cuando ambos factores provienen de la misma álgebra de Lie, considerarse como una representación de o . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}={\mathfrak {g}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}}$
13. Al complejizar un álgebra de Lie compleja , se la debe considerar como un álgebra de Lie real de dimensión real el doble de su dimensión compleja. Del mismo modo, una forma real también puede ser compleja, como es el caso aquí.
14. Combine Weinberg (2002, ecuaciones 5.6.7–8, 5.6.14–15) con Hall (2015, proposición 4.18) sobre las representaciones del álgebra de Lie de las representaciones del producto tensorial del grupo.
15. La propiedad "sin traza" se puede expresar como S _αβ g ^αβ = 0 , o S _α ^α = 0 , o S ^αβ g _αβ = 0 dependiendo de la presentación del campo: covariante, mixto y contravariante respectivamente.
16. Esto no necesariamente viene simétrico directamente del Lagrangiano mediante el uso del teorema de Noether , pero puede simetrizarse como el tensor de tensión-energía de Belinfante-Rosenfeld .
17. Esto se produce siempre que la paridad sea una simetría. De lo contrario, habría dos sabores, ( ⁠3/2⁠ , 0) y (0, ⁠3/2) en analogía con los neutrinos .
18. La terminología difiere entre las matemáticas y la física. En el artículo vinculado, el término representación proyectiva tiene un significado ligeramente diferente que en física, donde una representación proyectiva se considera como una sección local (una inversa local) de la función de recubrimiento del grupo de recubrimiento sobre el grupo que se está cubriendo, compuesta con una representación adecuada del grupo de recubrimiento. Dado que esto se puede hacer (localmente) de forma continua de dos maneras en el caso que nos ocupa, como se explica a continuación, la terminología de una representación de dos valores o de dos valores es natural.
19. En particular, A conmuta con las matrices de Pauli , por lo tanto con todo SU(2), lo que hace aplicable el lema de Schur.
20. Lo que significa que el núcleo es trivial. Para comprobarlo, recordemos que el núcleo de un homomorfismo de álgebra de Lie es un ideal y, por lo tanto, un subespacio. Como p es 2:1 y tanto y SO(3; 1) ⁺ son de 6 dimensiones , el núcleo debe ser de 0 dimensiones , por lo tanto {0}. ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$
21. La función exponencial es biunívoca en un entorno de la identidad, por lo que la composición donde σ es el isomorfismo del álgebra de Lie, es sobre un entorno abierto U ⊂ SO(3; 1) ⁺ que contiene la identidad. Un entorno de este tipo genera el componente conexo. ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),}$ ${\displaystyle \exp \circ \sigma \circ \log :{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SO}}(3;1)^{+},}$
22. Rossmann 2002 Del Ejemplo 4 en la sección 2.1: Esto se puede ver de la siguiente manera. La matriz q tiene valores propios {−1, −1} , pero no es diagonalizable . Si q = exp( Q ) , entonces Q tiene valores propios λ , − λ con λ = iπ + 2 πik para algún k porque los elementos de no tienen traza. Pero entonces Q es diagonalizable, por lo tanto q es diagonalizable, lo cual es una contradicción. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$
23. Rossmann 2002, Proposición 10, párrafo 6.3. Esto se demuestra más fácilmente utilizando la teoría del carácter .
24. Cualquier subgrupo normal discreto de un grupo conexo por trayectorias G está contenido en el centro Z de G.

    Hall 2015, Ejercicio 11, capítulo 1.

25. Un grupo de Lie semisimple no tiene ningún subgrupo abeliano normal no discreto . Esto puede tomarse como la definición de semisimplicidad.
26. Un grupo simple no tiene subgrupos normales no discretos.
27. Por el contrario, hay un truco, también llamado truco unitario de Weyl, pero no relacionado con el truco unitario de arriba que muestra que todas las representaciones de dimensión finita son, o pueden hacerse, unitarias. Si (Π, V ) es una representación de dimensión finita de un grupo de Lie compacto G y si (·, ·) es cualquier producto interno en V , defina un nuevo producto interno (·, ·) _Π por ( x , y ) _Π = ∫ _G (Π( g ) x , Π( g ) y dμ ( g ) , donde μ es la medida de Haar en G . Entonces Π es unitario con respecto a (·, ·) _Π . Véase Hall (2015, Teorema 4.28.)

    Otra consecuencia es que todo grupo de Lie compacto tiene la propiedad de reducibilidad completa , lo que significa que todas sus representaciones de dimensión finita se descomponen como una suma directa de representaciones irreducibles . Hall (2015, Definición 4.24., Teorema 4.28.)

    También es cierto que no existen representaciones unitarias irreducibles de dimensión infinita de grupos de Lie compactos, como se afirma, pero no se prueba, en Greiner y Müller (1994, Sección 15.2.).

28. Lee 2003 Lema A.17 (c). Los subconjuntos cerrados de conjuntos compactos son compactos.
29. Lee 2003 Lema A.17 (a). Si f  : X → Y es continua, X es compacta, entonces f ( X ) es compacta.
30. La no unitaridad es un ingrediente vital en la prueba del teorema de Coleman-Mandula , que implica que, contrariamente a lo que ocurre en las teorías no relativistas, no puede existir una simetría ordinaria que relacione partículas de diferente espín. Véase Weinberg (2000)
31. Esta es una de las conclusiones del teorema de Cartan , el teorema del mayor peso.
    Hall (2015, Teoremas 9.4–5.)
32. Hall 2015, Sección 8.2 El sistema raíz es la unión de dos copias de A ₁ , donde cada copia reside en sus propias dimensiones en el espacio vectorial de incrustación.
33. Rossmann 2002 Esta definición es equivalente a la definición en términos del grupo de Lie conexo cuya álgebra de Lie es el álgebra de Lie del sistema raíz en consideración.
34. Véase Simmons (1972, Sección 30) para conocer las condiciones precisas en las que dos métodos de Frobenius dan lugar a dos soluciones linealmente independientes. Si los exponentes no difieren en un número entero, este es siempre el caso.
35. "Esto es lo más cerca que uno llega a la fuente de la teoría de representaciones de dimensión infinita de grupos semisimples y reductivos..." , Langlands (1985, p. 204), refiriéndose a un pasaje introductorio en el artículo de Dirac de 1945.
36. Nótese que para un espacio de Hilbert  H , HS( H ) puede identificarse canónicamente con el producto tensorial del espacio de Hilbert de H y su espacio conjugado.
37. Si se exige dimensionalidad finita, los resultados son las representaciones ( m , n ) , véase Tung (1985, Problema 10.8). Si no se exige ninguna, se obtiene una clasificación más amplia de todas las representaciones irreducibles, incluidas las de dimensión finita y las unitarias. Este enfoque se adopta en Harish-Chandra (1947).

Notas

1. Bargmann y Wigner 1948
2. Bekaert y Boulanger 2006
3. Misner, Thorne y Wheeler 1973
4. Weinberg 2002, Sección 2.5, Capítulo 5.
5. Tung 1985, Secciones 10.3, 10.5.
6. Tung 1985, Sección 10.4.
7. Dirac 1945
8. Harish-Chandra 1947
9. Greiner y Reinhardt 1996, Capítulo 2.
10. Weinberg 2002, Prólogo e introducción al capítulo 7.
11. Weinberg 2002, Introducción al capítulo 7.
12. Tung 1985, Definición 10.11.
13. Greiner y Müller (1994, capítulo 1)
14. Greiner y Müller (1994, capítulo 2)
15. Tung 1985, pág. 203.
16. Delbourgo, Salam y Strathdee 1967
17. Weinberg (2002, Sección 3.3)
18. Weinberg (2002, Sección 7.4.)
19. Tung 1985, Introducción al capítulo 10.
20. Tung 1985, Definición 10.12.
21. Tung 1985, Ecuación 10.5-2.
22. Weinberg 2002, Ecuaciones 5.1.6–7.
23. Tung 1985, Ecuación 10.5–18.
24. Weinberg 2002, Ecuaciones 5.1.11–12.
25. Tung 1985, Sección 10.5.3.
26. Zwiebach 2004, Sección 6.4.
27. Zwiebach 2004, Capítulo 7.
28. Zwiebach 2004, sección 12.5.
29. Weinberg 2000, Sección 25.2.
30. Zwiebach 2004, último párrafo, sección 12.6.
31. Estos datos se pueden encontrar en la mayoría de los textos introductorios de matemáticas y física. Véase, por ejemplo, Rossmann (2002), Hall (2015) y Tung (1985).
32. Hall (2015, Teorema 4.34 y discusión siguiente).
33. Wigner 1939
34. Hall 2015, Apéndice D2.
35. Greiner y Reinhardt 1996
36. Weinberg 2002, Sección 2.6 y Capítulo 5.
37. Coleman 1989, pág. 30.
38. Lie 1888, 1890, 1893. Fuente primaria.
39. Coleman 1989, pág. 34.
40. Asesinato 1888 Fuente primaria.
41. Rossmann 2002, Fragmentos históricos dispersos en el texto.
42. Cartan 1913 Fuente primaria.
43. Verde 1998, p=76.
44. Brauer & Weyl 1935 Fuente primaria.
45. Tung 1985, Introducción.
46. Weyl 1931 Fuente primaria.
47. Weyl 1939 Fuente primaria.
48. Langlands 1985, págs. 203-205
49. Harish-Chandra 1947 Fuente primaria.
50. Tung 1985, Introducción
51. Wigner 1939 Fuente primaria.
52. Klauder 1999
53. Bargmann 1947 Fuente primaria.
54. Bargmann también fue matemático . Trabajó como asistente de Albert Einstein en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton (Klauder (1999)).
55. Bargmann y Wigner 1948 Fuente primaria.
56. Dalitz y Peierls 1986
57. Dirac 1928 Fuente primaria.
58. Weinberg 2002, Ecuaciones 5.6.7–8.
59. Weinberg 2002, Ecuaciones 5.6.9–11.
60. Hall 2003, Capítulo 6.
61. Knapp 2001
62. Esta es una aplicación de Rossmann 2002, Sección 6.3, Proposición 10.
63. Knapp 2001, pág. 32.
64. Weinberg 2002, Ecuaciones 5.6.16–17.
65. Weinberg 2002, Sección 5.6. Las ecuaciones se deducen de las ecuaciones 5.6.7–8 y 5.6.14–15.
66. Tung 1985
67. Mentira 1888
68. Rossmann 2002, Sección 2.5.
69. Hall 2015, Teorema 2.10.
70. Bourbaki 1998, pág. 424.
71. Weinberg 2002, Sección 2.7 p.88.
72. Weinberg 2002, Sección 2.7.
73. Hall 2015, Apéndice C.3.
74. Wigner 1939, pág. 27.
75. Gelfand, Minlos y Shapiro 1963 Esta construcción del grupo de cobertura se trata en el párrafo 4, sección 1, capítulo 1 de la Parte II.
76. Rossmann 2002, Sección 2.1.
77. Hall 2015, Primeras ecuaciones mostradas en la sección 4.6.
78. Hall 2015, Ejemplo 4.10.
79. Knapp 2001, Capítulo 2.
80. Knapp 2001 Ecuación 2.1.
81. Hall 2015, Ecuación 4.2.
82. Hall 2015, Ecuación antes de 4.5.
83. Knapp 2001 Ecuación 2.4.
84. Knapp 2001, Sección 2.3.
85. Hall 2015, Teoremas 9.4–5.
86. Weinberg 2002, Capítulo 5.
87. Hall 2015, Teorema 10.18.
88. Hall 2003, pág. 235.
89. Véase cualquier texto sobre teoría básica de grupos.
90. Rossmann 2002 Proposiciones 3 y 6 párrafo 2.5.
91. Hall 2003 Véase el ejercicio 1, Capítulo 6.
92. Bekaert y Boulanger 2006 p.4.
93. Hall 2003 Proposición 1.20.
94. Lee 2003, Teorema 8.30.
95. Weinberg 2002, Sección 5.6, pág. 231.
96. Weinberg 2002, Sección 5.6.
97. Weinberg 2002, pág. 231.
98. Weinberg 2002, Secciones 2.5, 5.7.
99. Tung 1985, Sección 10.5.
100. Weinberg 2002 Esto se describe (muy brevemente) en la página 232, apenas más que una nota a pie de página.
101. Hall 2003, Proposición 7.39.
102. Hall 2003, Teorema 7.40.
103. Hall 2003, Sección 6.6.
104. Hall 2003, Segundo punto de la proposición 4.5.
105. Hall 2003, pág. 219.
106. Rossmann 2002, Ejercicio 3 en el párrafo 6.5.
107. Hall 2003 Véase el apéndice D.3
108. Weinberg 2002, Ecuación 5.4.8.
109. Weinberg 2002, Sección 5.4.
110. Weinberg 2002, págs. 215-216.
111. Weinberg 2002, Ecuación 5.4.6.
112. Weinberg 2002 Sección 5.4.
113. Weinberg 2002, Sección 5.7, págs. 232-233.
114. Weinberg 2002, Sección 5.7, pág. 233.
115. Weinberg 2002 Ecuación 2.6.5.
116. Weinberg 2002 Ecuación según 2.6.6.
117. Weinberg 2002, Sección 2.6.
118. Para una discusión detallada del espín 0, ⁠1/2⁠ y 1 casos, véase Greiner y Reinhardt 1996.
119. Weinberg 2002, Capítulo 3.
120. Rossmann 2002 Consulte la sección 6.1 para más ejemplos, tanto de dimensión finita como de dimensión infinita.
121. Gelfand, Minlos y Shapiro 1963
122. Churchill & Brown 2014, Capítulo 8 págs. 307–310.
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