Ecuaciones de Bargmann-Wigner

En la mecánica cuántica relativista y la teoría cuántica de campos , las ecuaciones de Bargmann-Wigner describen partículas libres con masa distinta de cero y espín arbitrario $j$ , un número entero para bosones ( $j$ $= 1, 2, 3 ...$ ) o medio entero para fermiones ( $j$ $=$ $1$ $⁄$ $2$ $,$ $3$ $⁄$ $2$ $,$ $5$ $⁄$ $2$ $...$ ). Las soluciones de las ecuaciones son funciones de onda , matemáticamente en forma de campos de espinores multicomponentes . $.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}$

Llevan el nombre de Valentine Bargmann y Eugene Wigner .

Historia

Paul Dirac publicó por primera vez la ecuación de Dirac en 1928, y más tarde (1936) la extendió a partículas de cualquier espín semientero antes de que Fierz y Pauli encontraran posteriormente las mismas ecuaciones en 1939, y aproximadamente una década antes que Bargman y Wigner. ^[1] Eugene Wigner escribió un artículo en 1937 sobre representaciones unitarias del grupo no homogéneo de Lorentz , o el grupo de Poincaré . ^[2] Wigner señala que Ettore Majorana y Dirac utilizaron operadores infinitesimales aplicados a funciones. Wigner clasifica las representaciones como irreducibles, factoriales y unitarias.

En 1948, Valentine Bargmann y Wigner publicaron las ecuaciones que ahora llevan su nombre en un artículo sobre una discusión teórica grupal de ecuaciones de onda relativistas. ^[3]

Enunciado de las ecuaciones

Para una partícula libre de espín $j$ sin carga eléctrica , las ecuaciones de BW son un conjunto de $2$ ecuaciones diferenciales parciales lineales acopladas $j$ , cada una con una forma matemática similar a la ecuación de Dirac . El conjunto completo de ecuaciones es: ^{[nota 1]}^[1]^[4]^[5]

{\begin{aligned}&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{1}\alpha _{1}'}\psi _{\alpha '_{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{2}\alpha _{2}'}\psi _{\alpha _{1}\alpha '_{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&\qquad \vdots \\&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{2j}\alpha '_{2j}}\psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha '_{2j}}=0\\\end{aligned}}

que siguen el patrón;

para $r = 1, 2, ... 2 j$ . (Algunos autores, por ejemplo, Loide y Saar ^[4] utilizan $n = 2 j$ para eliminar los factores de 2. Además, el número cuántico de espín suele denotarse por $s$ en mecánica cuántica, sin embargo, en este contexto, $j$ es más típico en la literatura). La función de onda completa $ψ = ψ (r, t)$ tiene componentes

\psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}(\mathbf {r} ,t)

y es un campo de espinor de 4 componentes de rango 2 j . Cada índice toma los valores 1, 2, 3 o 4, por lo que hay $4 componentes$ $2$ $j$ de todo el campo de espinor $ψ$ , aunque una función de onda completamente simétrica reduce el número de componentes independientes a $2(2$ $j$ $+ 1)$ . Además, $γ$ $μ$ $= (γ$ $0$ $,$ $γ$ $)$ son las matrices gamma , y

{\hat {P}}_{\mu }=i\hbar \partial _{\mu }

es el operador de 4 momentos .

El operador que constituye cada ecuación, $(-γ μ P μ + mc) = (- iħ γ μ \partial μ + mc)$ , es una matriz 4 × 4 , debido a las matrices $γ μ$ , y el término $mc$ multiplica por escalar la matriz identidad 4 × 4 (normalmente no se escribe para simplificar). Explícitamente, en la representación de Dirac de las matrices gamma : ^[1]

{\begin{aligned}-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc&=-\gamma ^{0}{\frac {\hat {E}}{c}}-{\boldsymbol {\gamma }}\cdot (-{\hat {\mathbf {p} }})+mc\\[6pt]&=-{\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\\\end{pmatrix}}{\frac {\hat {E}}{c}}+{\begin{pmatrix}0&{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\\-{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}&0\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&I_{2}\\\end{pmatrix}}mc\\[8pt]&={\begin{pmatrix}-{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&0&{\hat {p}}_{z}&{\hat {p}}_{x}-i{\hat {p}}_{y}\\0&-{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&{\hat {p}}_{x}+i{\hat {p}}_{y}&-{\hat {p}}_{z}\\-{\hat {p}}_{z}&-({\hat {p}}_{x}-i{\hat {p}}_{y})&{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&0\\-({\hat {p}}_{x}+i{\hat {p}}_{y})&{\hat {p}}_{z}&0&{\frac {\hat {E}}{c}}+mc\\\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}

donde $σ = (σ 1, σ 2, σ 3) = (σ x, σ y, σ z)$ es un vector de las matrices de Pauli , E es el operador de energía , $p = (p 1, p 2, p 3) = (p x, p y, p z)$ es el operador de 3-momento , $I 2$ denota la matriz identidad 2 × 2 , los ceros (en la segunda línea) son en realidad bloques 2 × 2 de matrices cero .

El operador matricial anterior se contrae con un índice bispinolar de $ψ$ a la vez (ver multiplicación de matrices ), por lo que algunas propiedades de la ecuación de Dirac también se aplican a las ecuaciones de BW:

Las ecuaciones son covariantes de Lorentz,
todos los componentes de las soluciones $ψ$ también satisfacen la ecuación de Klein–Gordon y, por lo tanto, cumplen la relación relativista energía-momento ,

E^{2}=(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}

La segunda cuantificación todavía es posible.

A diferencia de la ecuación de Dirac, que puede incorporar el campo electromagnético a través del acoplamiento mínimo , el formalismo B–W comprende contradicciones y dificultades intrínsecas cuando se incorpora la interacción del campo electromagnético. En otras palabras, no es posible realizar el cambio $P μ \to P μ - eA μ$ , donde $e$ es la carga eléctrica de la partícula y $A μ = (A 0, A)$ es el tetra-potencial electromagnético . ^[6]^[7] Un enfoque indirecto para investigar las influencias electromagnéticas de la partícula es derivar las cuatro corrientes electromagnéticas y los momentos multipolares para la partícula, en lugar de incluir las interacciones en las propias ecuaciones de onda. ^[8]^[9]

Estructura del grupo de Lorentz

La representación del grupo de Lorentz para las ecuaciones de BW es ^[6]

D^{\mathrm {BW} }=\bigotimes _{r=1}^{2j}\left[D_{r}^{(1/2,0)}\oplus D_{r}^{(0,1/2)}\right]\,.

donde cada $D r$ es una representación irreducible. Esta representación no tiene espín definido a menos que $j$ sea igual a 1/2 o 0. Se puede realizar una descomposición de Clebsch-Gordan para encontrar los términos irreducibles $(A, B)$ y, por lo tanto, el contenido de espín. Esta redundancia requiere que una partícula de espín definido $j$ que se transforma bajo la representación $D BW$ satisfaga las ecuaciones de campo.

Las representaciones $D (j, 0)$ y $D (0, j)$ pueden representar por separado partículas de espín $j$ . Un estado o campo cuántico en una representación de este tipo no satisfaría ninguna ecuación de campo excepto la ecuación de Klein–Gordon.

Formulación en el espacio-tiempo curvo

Siguiendo a M. Kenmoku, ^[10] en el espacio local de Minkowski, las matrices gamma satisfacen las relaciones de anticonmutación :

[\gamma ^{i},\gamma ^{j}]_{+}=2\eta ^{ij}I_{4}

donde $η ij = diag(-1, 1, 1, 1)$ es la métrica de Minkowski . Para los índices latinos aquí, $i, j = 0, 1, 2, 3.$ En el espacio-tiempo curvo son similares:

[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]_{+}=2g^{\mu \nu }

donde las matrices gamma espaciales se contraen con el vierbein $b i μ$ para obtener $γ μ = b i μ γ i$ , y $g μν = b i μ b i ν$ es el tensor métrico . Para los índices griegos; $μ, ν = 0, 1, 2, 3$ .

Una derivada covariante para espinores viene dada por

{\mathcal {D}}_{\mu }=\partial _{\mu }+\Omega _{\mu }

con la conexión $Ω$ dada en términos de la conexión de espín $ω$ por:

\Omega _{\mu }={\frac {1}{4}}\partial _{\mu }\omega ^{ij}(\gamma _{i}\gamma _{j}-\gamma _{j}\gamma _{i})

La derivada covariante se transforma como $ψ$ :

{\mathcal {D}}_{\mu }\psi \rightarrow D(\Lambda ){\mathcal {D}}_{\mu }\psi

Con esta configuración, la ecuación ( 1 ) se convierte en:

{\begin{aligned}&(-i\hbar \gamma ^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }+mc)_{\alpha _{1}\alpha _{1}'}\psi _{\alpha '_{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&(-i\hbar \gamma ^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }+mc)_{\alpha _{2}\alpha _{2}'}\psi _{\alpha _{1}\alpha '_{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&\qquad \vdots \\&(-i\hbar \gamma ^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }+mc)_{\alpha _{2j}\alpha '_{2j}}\psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha '_{2j}}=0\,.\\\end{aligned}}

Véase también

Ecuación de Dirac de dos cuerpos
Generalizaciones de matrices de Pauli
Matriz D de Wigner
Matrices de Weyl-Brauer
Matrices gamma de dimensiones superiores
Ecuación de Joos-Weinberg , ecuaciones alternativas que describen partículas libres de cualquier espín
Teoría del espín superior

Notas

^ Este artículo utiliza la convención de suma de Einstein para los índices tensoriales / espinorales y utiliza sombreros para los operadores cuánticos.

Referencias

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^ E. Wigner (1937). "Sobre representaciones unitarias del grupo de Lorentz no homogéneo" (PDF) . Anales de Matemáticas . 40 (1): 149–204. Código Bibliográfico :1939AnMat..40..149W. doi :10.2307/1968551. JSTOR 1968551. S2CID 121773411. Archivado desde el original (PDF) el 2015-10-04 . Consultado el 20 de febrero de 2013 .
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Lectura adicional

Libros

Weinberg, S, La teoría cuántica de campos, vol II
Weinberg, S, La teoría cuántica de campos, vol III
R. Penrose (2007). El camino hacia la realidad . Libros antiguos. ISBN 978-0-679-77631-4.

Artículos seleccionados

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Enlaces externos

Ecuaciones de onda relativistas :

Matrices de Dirac en dimensiones superiores, Proyecto de Demostraciones Wolfram
Aprendiendo sobre los campos de espín 1, P. Cahill, K. Cahill, Universidad de Nuevo México ^{[ enlace muerto permanente ]}
Ecuaciones de campo para bosones sin masa a partir de un formalismo de Dirac-Weinberg, RW Davies, KTR Davies, P. Zory, DS Nydick, American Journal of Physics
Teoría cuántica de campos I, Martin Mojžiš Archivado el 3 de marzo de 2016 en Wayback Machine.
La ecuación de Bargmann-Wigner: ecuación de campo para espín arbitrario, FarzadQassemi, IPM School and Workshop on Cosmology, IPM, Teherán, Irán

Grupos de Lorentz en la física cuántica relativista:

Representaciones del grupo Lorentz, indiana.edu
Apéndice C: El grupo de Lorentz y el álgebra de Dirac, mcgill.ca ^{[ enlace muerto permanente ]}
El grupo de Lorentz, partículas relativistas y mecánica cuántica, DE Soper, Universidad de Oregon, 2011
Representaciones de los grupos de Lorentz y Poincaré, J. Maciejko, Universidad de Stanford
Representaciones del grupo de simetría del espacio-tiempo, K. Drake, M. Feinberg, D. Guild, E. Turetsky, 2009