Formalismo de tétrada

Relatividad con una base no derivada de coordenadas

El formalismo de la tétrada es un enfoque de la relatividad general que generaliza la elección de la base para el fibrado tangente desde una base de coordenadas a la elección menos restrictiva de una base local, es decir, un conjunto definido localmente de cuatro ^[a] campos vectoriales linealmente independientes llamados tétrada o vierbein . ^[1] Es un caso especial de la idea más general de un formalismo vielbein , que se establece en la geometría (pseudo) riemanniana . Este artículo, tal como está escrito actualmente, hace mención frecuente de la relatividad general; sin embargo, casi todo lo que dice es igualmente aplicable a las variedades (pseudo) riemannianas en general, e incluso a las variedades de espín . La mayoría de las afirmaciones se mantienen simplemente sustituyendo arbitrario por . En alemán, " vier " se traduce como "cuatro" y " viel " como "muchos". ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=4}$

La idea general es escribir el tensor métrico como el producto de dos vielbeins , uno a la izquierda y otro a la derecha. El efecto de los vielbeins es cambiar el sistema de coordenadas utilizado en la variedad tangente a uno que sea más simple o más adecuado para los cálculos. Con frecuencia, el sistema de coordenadas de vielbein es ortonormal, ya que generalmente es el más fácil de usar. La mayoría de los tensores se vuelven simples o incluso triviales en este sistema de coordenadas; por lo tanto, la complejidad de la mayoría de las expresiones se revela como un artefacto de la elección de coordenadas, en lugar de una propiedad innata o un efecto físico ^{[ cita requerida ]} . Es decir, como formalismo , no altera las predicciones; es más bien una técnica de cálculo.

La ventaja del formalismo de la tétrada sobre el enfoque estándar basado en coordenadas para la relatividad general radica en la capacidad de elegir la base de la tétrada para reflejar aspectos físicos importantes del espacio-tiempo. La notación de índice abstracto denota tensores como si estuvieran representados por sus coeficientes con respecto a una tétrada local fija. En comparación con una notación completamente libre de coordenadas , que a menudo es conceptualmente más clara, permite una forma fácil y computacionalmente explícita de denotar contracciones.

La importancia del formalismo tetrádico aparece en la formulación de Einstein-Cartan de la relatividad general. El formalismo tetrádico de la teoría es más fundamental que su formulación métrica, ya que no se puede convertir entre las formulaciones tetrádica y métrica de las acciones fermiónicas a pesar de que esto es posible para las acciones bosónicas ^{[ cita requerida ]} . Esto se debe efectivamente a que los espinores de Weyl se pueden definir de forma muy natural en una variedad de Riemann ^{[2] [ cita requerida ]} y su configuración natural conduce a la conexión de espín . Esos espinores toman forma en el sistema de coordenadas de Vielbein, y no en el sistema de coordenadas de la variedad.

El formalismo tetrádico privilegiado también aparece en la deconstrucción de las teorías de gravedad de Kaluza-Klein de dimensiones superiores ^[3] y las teorías de gravedad masiva , en las que la(s) dimensión(es) extra se reemplaza(n) por una serie de N sitios reticulares de modo que la métrica de dimensión superior se reemplaza por un conjunto de métricas interactuantes que dependen solo de los componentes 4D. ^[4] Los vielbeins aparecen comúnmente en otros entornos generales en física y matemáticas. Los vielbeins pueden entenderse como formas de soldadura .

Formulación matemática

La formulación de tétrada es un caso especial de una formulación más general, conocida como formulación vielbein o n -bein, con n = 4. Fíjese en la ortografía: en alemán, "viel" significa "muchos", no debe confundirse con "vier", que significa "cuatro".

En el formalismo de Vielbein, ^[5] se elige una cubierta abierta de la variedad del espacio-tiempo y una base local para cada uno de esos conjuntos abiertos: un conjunto de campos vectoriales independientes ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle e_{a}=e_{a}{}^{\mu }\partial _{\mu }}$

para que juntos generen el fibrado tangente -dimensional en cada punto del conjunto. Dualmente, un vielbein (o tétrada en 4 dimensiones) determina (y es determinado por) un co-vielbein (co-tétrada) dual — un conjunto de 1-formas independientes . ${\displaystyle a=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }}$

de tal manera que

${\displaystyle e^{a}(e_{b})=e^{a}{}_{\mu }e_{b}{}^{\mu }=\delta _{b}^{a},}$

donde es el delta de Kronecker . Un vielbein se especifica generalmente por sus coeficientes con respecto a una base de coordenadas, a pesar de que la elección de un conjunto de coordenadas (locales) es innecesaria para la especificación de una tétrada. Cada covector es una forma de soldadura . ${\displaystyle \delta _{b}^{a}}$ ${\displaystyle e^{\mu }{}_{a}}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$

Desde el punto de vista de la geometría diferencial de los haces de fibras , los n campos vectoriales definen una sección del haz de fibras , es decir, una paralelización de la cual es equivalente a un isomorfismo . Como no todas las variedades son paralelizables, un vielbein generalmente solo se puede elegir localmente ( es decir, solo en un diagrama de coordenadas y no en todos ). ${\displaystyle \{e_{a}\}_{a=1\dots n}}$ ${\displaystyle U\subset M}$ ${\displaystyle TU\cong U\times {\mathbb {R} ^{n}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$

Todos los tensores de la teoría pueden expresarse en base vectorial y covectorial, expresándolos como combinaciones lineales de miembros del (co)vielbein. Por ejemplo, el tensor métrico del espacio-tiempo puede transformarse de una base coordenada a una base tétrada .

Las bases de tétradas más populares en la relatividad general incluyen tétradas ortonormales y tétradas nulas. Las tétradas nulas están compuestas por cuatro vectores nulos , por lo que se utilizan con frecuencia en problemas relacionados con la radiación y son la base del formalismo de Newman-Penrose y el formalismo GHP .

Relación con el formalismo estándar

El formalismo estándar de la geometría diferencial (y de la relatividad general) consiste simplemente en utilizar la tétrada de coordenadas en el formalismo de la tétrada. La tétrada de coordenadas es el conjunto canónico de vectores asociados con el gráfico de coordenadas . La tétrada de coordenadas se denota comúnmente como , mientras que la cotétrada dual se denota como . Estos vectores tangentes se definen generalmente como operadores de derivada direccional : dado un gráfico que mapea un subconjunto de la variedad en el espacio de coordenadas , y cualquier campo escalar , los vectores de coordenadas son tales que: ${\displaystyle \{\partial _{\mu }\}}$ ${\displaystyle \{dx^{\mu }\}}$ ${\displaystyle {\varphi =(\varphi ^{1},\ldots ,\varphi ^{n})}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \partial _{\mu }[f]\equiv {\frac {\partial (f\circ \varphi ^{-1})}{\partial x^{\mu }}}.}$

La definición de la cotétrada utiliza el abuso habitual de la notación para definir covectores (1-formas) en . La participación de la tétrada de coordenadas no suele hacerse explícita en el formalismo estándar. En el formalismo de la tétrada, en lugar de escribir las ecuaciones tensoriales en su totalidad (incluidos los elementos de la tétrada y los productos tensoriales como se indicó anteriormente), solo se mencionan los componentes de los tensores. Por ejemplo, la métrica se escribe como " ". Cuando la tétrada no se especifica, esto se convierte en una cuestión de especificar el tipo de tensor llamado notación de índice abstracto . Permite especificar fácilmente la contracción entre tensores repitiendo índices como en la convención de suma de Einstein. ${\displaystyle dx^{\mu }=d\varphi ^{\mu }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle g_{ab}}$

El cambio de tétradas es una operación rutinaria en el formalismo estándar, ya que está involucrado en cada transformación de coordenadas (es decir, cambiar de una base de tétrada de coordenadas a otra). El cambio entre múltiples gráficos de coordenadas es necesario porque, excepto en casos triviales, no es posible que un solo gráfico de coordenadas cubra toda la variedad. El cambio a y entre tétradas generales es muy similar e igualmente necesario (excepto para variedades paralelizables ). Cualquier tensor puede escribirse localmente en términos de esta tétrada de coordenadas o una (co)tétrada general.

Por ejemplo, el tensor métrico se puede expresar como: ${\displaystyle \mathbf {g} }$

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }\qquad {\text{where}}~g_{\mu \nu }=\mathbf {g} (\partial _{\mu },\partial _{\nu }).}$

(Aquí utilizamos la convención de suma de Einstein ). Asimismo, la métrica se puede expresar con respecto a una (co)tétrada arbitraria como

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{ab}e^{a}e^{b}\qquad {\text{where}}~g_{ab}=\mathbf {g} \left(e_{a},e_{b}\right).}$

Aquí, utilizamos la elección del alfabeto ( latín y griego ) para las variables de índice para distinguir la base aplicable.

Podemos traducir de una cotétrada general a la cotétrada de coordenadas expandiendo el covector . Entonces obtenemos ${\displaystyle e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }}$

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{ab}e^{a}e^{b}=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}$

de lo que se sigue que . Asimismo, expandiendo con respecto a la tétrada general, obtenemos ${\displaystyle g_{\mu \nu }=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }}$ ${\displaystyle dx^{\mu }=e^{\mu }{}_{a}e^{a}}$

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }{}_{b}e^{a}e^{b}=g_{ab}e^{a}e^{b}}$

lo que demuestra que . ${\displaystyle g_{ab}=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }{}_{b}}$

Manipulación de índices

La manipulación con coeficientes de tétrada muestra que, en principio, se pueden obtener fórmulas de índices abstractos a partir de fórmulas de tensor con respecto a una tétrada de coordenadas "reemplazando índices griegos por latinos". Sin embargo, se debe tener cuidado de que una fórmula de tétrada de coordenadas defina un tensor genuino cuando se involucra la diferenciación. Dado que los campos de vectores de coordenadas tienen corchetes de Lie que se desvanecen (es decir, conmutan: ), las sustituciones ingenuas de fórmulas que calculan correctamente los coeficientes de tensor con respecto a una tétrada de coordenadas pueden no definir correctamente un tensor con respecto a una tétrada general porque el corchete de Lie no se desvanece: . Por lo tanto, a veces se dice que las coordenadas de tétrada proporcionan una base no holonómica . ${\displaystyle \partial _{\mu }\partial _{\nu }=\partial _{\nu }\partial _{\mu }}$ ${\displaystyle [e_{a},e_{b}]\neq 0}$

Por ejemplo, el tensor de curvatura de Riemann se define para campos vectoriales generales por ${\displaystyle X,Y}$

${\displaystyle R(X,Y)=\left(\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}\right)}$.

En una tétrada de coordenadas esto da coeficientes tensoriales

${\displaystyle R_{\ \nu \sigma \tau }^{\mu }=dx^{\mu }\left((\nabla _{\sigma }\nabla _{\tau }-\nabla _{\tau }\nabla _{\sigma })\partial _{\nu }\right).}$

La ingenua sustitución del "griego por el latín" de la última expresión

${\displaystyle R_{\ bcd}^{a}=e^{a}\left((\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c})e_{b}\right)\qquad {\text{(wrong!)}}}$

es incorrecta porque para c y d fijos , es, en general, un operador diferencial de primer orden en lugar de un operador de orden cero que define un coeficiente tensorial. Sustituyendo una base de tétrada general en la fórmula abstracta encontramos la definición adecuada de la curvatura en notación de índice abstracto, sin embargo: ${\displaystyle \left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}\right)}$

${\displaystyle R_{\ bcd}^{a}=e^{a}\left((\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}-f_{cd}{}^{e}\nabla _{e})e_{b}\right)}$

donde . Nótese que la expresión es de hecho un operador de orden cero, por lo tanto (el componente ( c d ) de) un tensor. Dado que concuerda con la expresión de coordenadas para la curvatura cuando se especializa en una tétrada de coordenadas, es claro, incluso sin usar la definición abstracta de la curvatura, que define el mismo tensor que la expresión de la base de coordenadas. ${\displaystyle [e_{a},e_{b}]=f_{ab}{}^{c}e_{c}}$ ${\displaystyle \left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}-f_{cd}{}^{e}\nabla _{e}\right)}$

Ejemplo: Grupos de mentiras

Dado un vector (o covector) en la variedad tangente (o cotangente), la función exponencial describe la geodésica correspondiente de ese vector tangente. Al escribir , el transporte paralelo de una diferencial corresponde a ${\displaystyle X\in TM}$

${\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX-{\frac {1}{2!}}\left[X,dX\right]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,dX]]-{\frac {1}{4!}}[X,[X,[X,dX]]]+\cdots }$

Lo anterior se puede verificar fácilmente simplemente tomando como una matriz. ${\displaystyle X}$

Para el caso especial de un álgebra de Lie , se puede tomar como un elemento del álgebra, la exponencial es la función exponencial de un grupo de Lie y los elementos del grupo corresponden a las geodésicas del vector tangente. Si se elige una base para el álgebra de Lie y se escriben los conmutadores para algunas funciones, se puede escribir de forma explícita. Se calcula fácilmente que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle X=X^{i}e_{i}}$ ${\displaystyle X^{i},}$

${\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX^{i}e_{i}-{\frac {1}{2!}}X^{i}dX^{j}{f_{ij}}^{k}e_{k}+{\frac {1}{3!}}X^{i}X^{j}dX^{k}{f_{jk}}^{l}{f_{il}}^{m}e_{m}-\cdots }$

para las constantes de estructura del álgebra de Lie. La serie se puede escribir de forma más compacta como ${\displaystyle [e_{i},e_{j}]={f_{ij}}^{k}e_{k}}$

${\displaystyle e^{-X}de^{X}=e_{i}{W^{i}}_{j}dX^{j}}$

con la serie infinita

${\displaystyle W=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}M^{n}}{(n+1)!}}=(I-e^{-M})M^{-1}.}$

Aquí, tenemos una matriz cuyos elementos son . La matriz es entonces el vielbein; expresa la diferencial en términos de las "coordenadas planas" (ortonormales, por cierto) . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {M_{j}}^{k}=X^{i}{f_{ij}}^{k}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle dX^{j}}$ ${\displaystyle e_{i}}$

Dado un mapa de una determinada variedad a un determinado grupo de Lie , el tensor métrico en la variedad se convierte en el pullback del tensor métrico en el grupo de Lie : ${\displaystyle N\to G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B_{mn}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle g_{ij}={W_{i}}^{m}B_{mn}{W^{n}}_{j}}$

El tensor métrico del grupo de Lie es la métrica de Cartan, también conocida como forma Killing . Nótese que, como matriz, la segunda W es la transpuesta. Para una variedad (pseudo) riemanniana , la métrica es una métrica (pseudo) riemanniana . Lo anterior se generaliza al caso de espacios simétricos . ^[6] Estos vielbeins se utilizan para realizar cálculos en modelos sigma , de los cuales las teorías de supergravedad son un caso especial. ^[7] ${\displaystyle B_{mn}}$ ${\displaystyle N}$

Véase también

• Paquete de marcos
• Paquete de marcos ortonormales
• Paquete principal
• Paquete de centrifugado
• Conexión (matemáticas)
• Estructura G
• Colector de giro
• Estructura de giro
• Ecuación de Dirac en el espacio-tiempo curvo

Notas

1. El mismo enfoque se puede utilizar para un espacio-tiempo de dimensión arbitraria, donde el marco del fibrado de marcos se denomina n-bein o vielbein .

Citas

1. De Felice, F.; Clarke, CJS (1990), Relatividad en variedades curvas , Cambridge University Press, pág. 133, ISBN 0-521-26639-4
2. Jost, Jürgen (1995), Geometría riemanniana y análisis geométrico , Springer, ISBN 3-540-57113-2
3. Arkani-Hamed, Nima; Cohen, Andrew G.; Georgi, Howard (mayo de 2001). "(De)construyendo dimensiones". Physical Review Letters . 86 (21): 4757–4761. arXiv : hep-th/0104005 . Código Bibliográfico :2001PhRvL..86.4757A. doi :10.1103/PhysRevLett.86.4757. ISSN  0031-9007. PMID  11384341. S2CID  4540121.
4. de Rham, Claudia (diciembre de 2014). "Gravedad masiva". Living Reviews in Relativity . 17 (1): 7. arXiv : 1401.4173 . Bibcode :2014LRR....17....7D. doi : 10.12942/lrr-2014-7 . ISSN  2367-3613. PMC 5256007 . PMID  28179850. 
5. Tohru Eguchi, Peter B. Gilkey y Andrew J. Hanson, "Gravitación, teorías de calibre y geometría diferencial", Physics Reports 66 (1980) pp 213-393.
6. Nejat Tevfik Yilmaz, (2007) "Sobre la cinemática del modelo Sigma del espacio simétrico" arXiv:0707.2150 [hep-th]
7. Arjan Keurentjes (2003) "La teoría de grupo de la oxidación", arXiv:0210178 [hep-th]

Referencias

• De Felice, F.; Clarke, CJS (1990), Relatividad en variedades curvas (publicado por primera vez en la edición de 1990), Cambridge University Press, ISBN 0-521-26639-4
• Benn, IM; Tucker, RW (1987), Introducción a los espinores y la geometría con aplicaciones en física (publicada por primera vez en la edición de 1987), Adam Hilger, ISBN 0-85274-169-3

Enlaces externos

• Relatividad general con tétradas