Colector paralelizable

En matemáticas , una variedad diferenciable de dimensión n se llama paralelizable ^[1] si existen campos vectoriales suaves ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle \{V_{1},\ldots ,V_{n}\}}$$

vectores tangentes ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle \{V_{1}(p),\ldots ,V_{n}(p)\}}$$

baseespacio tangentepaquete tangentepaquete trivial^[2]paquete principalmarcos lineales ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M.}$

Una elección particular de tal base de campos vectoriales se llama paralelización (o paralelismo absoluto ) de . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Ejemplos

• Un ejemplo es el círculo : podemos tomar V ₁ como el campo vectorial unitario tangente, digamos que apunta en el sentido contrario a las agujas del reloj. El toro de dimensión también es paralelizable, como se puede ver al expresarlo como un producto cartesiano de círculos. Por ejemplo, toma y construye un toro a partir de un cuadrado de papel cuadriculado con bordes opuestos pegados, para tener una idea de las dos direcciones tangentes en cada punto. De manera más general, todo grupo de Lie G es paralelizable, ya que una base para el espacio tangente en el elemento identidad puede moverse mediante la acción del grupo de traducción de G sobre G (cada traducción es un difeomorfismo y por lo tanto estas traducciones inducen isomorfismos lineales entre espacios tangentes de puntos en G ). ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=2,}$
• Un problema clásico era determinar cuáles de las esferas S ⁿ son paralelizables. El caso de dimensión cero S ⁰ es trivialmente paralelizable. El caso S ¹ es el círculo que es paralelizable como ya se ha explicado. El teorema de la bola peluda muestra que S ² no es paralelizable. Sin embargo, S ³ es paralelizable, ya que es el grupo de Lie SU(2) . La única otra esfera paralelizable es S ⁷ ; esto fue demostrado en 1958 por Friedrich Hirzebruch , Michel Kervaire , y por Raoul Bott y John Milnor , en trabajos independientes. Las esferas paralelizables corresponden precisamente a elementos de norma unitaria en las álgebras de división normada de números reales, números complejos, cuaterniones y octoniones , lo que permite construir un paralelismo para cada uno. Demostrar que otras esferas no son paralelizables es más difícil y requiere topología algebraica .
• El producto de variedades paralelizables es paralelizable.
• Toda variedad tridimensional cerrada orientable es paralelizable. ^[3]

Observaciones

• Cualquier variedad paralelizable es orientable .
• El término variedad enmarcada (ocasionalmente variedad amañada ) se aplica más comúnmente a una variedad incrustada con una trivialización dada del fibrado normal , y también para una variedad abstracta (es decir, no incrustada) con una trivialización estable dada del fibrado tangente .
• Una noción relacionada es el concepto de variedad π . ^[4] Una variedad suave se llama variedad π si, cuando está incrustada en un espacio euclidiano de alta dimensión, su paquete normal es trivial. En particular, toda variedad paralelizable es una variedad π. ${\displaystyle M}$

Ver también

• Gráfico (topología)
• colector diferenciable
• Paquete de marco
• Invariante de Kervaire
• Paquete de marco ortonormal
• paquete principal
• Conexión (matemáticas)
• estructura G

Notas

1. Obispo, Richard L.; Goldberg, Samuel I. (1968), Análisis tensorial de variedades , Nueva York: Macmillan, p. 160
2. Milnor, John W.; Stasheff, James D. (1974), Clases características , Annals of Mathematics Studies, vol. 76, Prensa de la Universidad de Princeton, pág. 15, ISBN 0-691-08122-0
3. Benedetti, Ricardo; Lisca, Paolo (23 de julio de 2019). "Enmarcar 3 colectores con las manos desnudas". L'Enseignement Mathématique . 64 (3): 395–413. arXiv : 1806.04991 . doi :10.4171/LEM/64-3/4-9. ISSN  0013-8584. S2CID  119711633.
4. Milnor, John W. (1958), variedades diferenciables que son esferas de homotopía (PDF)

Referencias

• Obispo, Richard L .; Goldberg, Samuel I. (1968), Análisis tensorial de variedades (primera edición de Dover, 1980), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
• Milnor, John W .; Stasheff, James D. (1974), Clases características , Princeton University Press
• Milnor, John W. (1958), variedades diferenciables que son esferas de homotopía (PDF) , notas mimeografiadas