En matemáticas , un haz de cuadros es un haz de fibras principal F( E ) asociado a cualquier haz de vectores E. La fibra de F( E ) sobre un punto x es el conjunto de todas las bases o marcos ordenados para E x . El grupo lineal general actúa naturalmente sobre F( E ) a través de un cambio de base , dando al paquete de marcos la estructura de un paquete GL( k , R ) principal (donde k es el rango de E ).
El haz marco de una variedad lisa es el asociado a su haz tangente . Por esta razón, a veces se le llama paquete de marcos tangente .
Sea E → X un paquete de vectores reales de rango k sobre un espacio topológico X. Un marco en un punto x ∈ X es una base ordenada para el espacio vectorial E x . De manera equivalente, un marco puede verse como un isomorfismo lineal.
El conjunto de todos los marcos en x , denotado F x , tiene una acción correcta natural por parte del grupo lineal general GL( k , R ) de matrices k × k invertibles : un elemento de grupo g ∈ GL( k , R ) actúa sobre el marco p vía composición para dar un nuevo marco
Esta acción de GL( k , R ) sobre F x es libre y transitiva (esto se desprende del resultado del álgebra lineal estándar de que existe una transformación lineal invertible única que envía una base a otra). Como espacio topológico, F x es homeomorfo a GL( k , R ) aunque carece de estructura de grupo, ya que no existe un "marco preferido". Se dice que el espacio F x es un GL( k , R ) -torsor .
El paquete de marcos de E , denotado por F( E ) o F GL ( E ), es la unión disjunta de todos los F x :
Cada punto en F( E ) es un par ( x , p ) donde x es un punto en X y p es un marco en x . Hay una proyección natural π : F( E ) → X que envía ( x , p ) a x . El grupo GL( k , R ) actúa sobre F( E ) a la derecha como arriba. Esta acción es claramente libre y las órbitas son sólo las fibras de π.
Al paquete de cuadros F( E ) se le puede dar una topología natural y una estructura de paquete determinada por la de E. Sea ( U i , φ i ) una trivialización local de E . Entonces para cada x ∈ U i se tiene un isomorfismo lineal φ i , x : E x → R k . Este dato determina una biyección.
dada por
Con estas biyecciones, a cada π −1 ( U i ) se le puede dar la topología de U i × GL( k , R ). La topología en F( E ) es la topología final coinducida por los mapas de inclusión π −1 ( U i ) → F( E ).
Con todos los datos anteriores, el haz de marcos F( E ) se convierte en un haz de fibras principal sobre X con grupo de estructura GL( k , R ) y trivializaciones locales ({ U i }, {ψ i }). Se puede comprobar que las funciones de transición de F( E ) son las mismas que las de E.
Todo lo anterior también funciona en la categoría suave: si E es un paquete de vectores suave sobre una variedad suave M , entonces al paquete marco de E se le puede dar la estructura de un paquete principal suave sobre M.
Un paquete de vectores E y su paquete de marcos F ( E ) son paquetes asociados . Cada uno determina al otro. El haz de cuadros F( E ) se puede construir a partir de E como se indicó anteriormente, o de manera más abstracta utilizando el teorema de construcción del haz de fibras . Con el último método, F( E ) es el haz de fibras con la misma base, grupo de estructura, vecindades trivializantes y funciones de transición que E pero con fibra abstracta GL( k , R ), donde la acción del grupo de estructura GL( k , R ) en la fibra GL( k , R ) es el de la multiplicación por la izquierda.
Dada cualquier representación lineal ρ : GL( k , R ) → GL( V , F ) hay un paquete de vectores
asociado a F( E ) que viene dado por el producto F( E ) × V módulo la relación de equivalencia ( pg , v ) ~ ( p , ρ( g ) v ) para todo g en GL( k , R ). Denota las clases de equivalencia por [ p , v ].
El paquete de vectores E es naturalmente isomorfo al paquete F( E ) × ρ R k donde ρ es la representación fundamental de GL( k , R ) en R k . El isomorfismo viene dado por
donde v es un vector en R k y p : R k → E x es un marco en x . Se puede comprobar fácilmente que este mapa está bien definido .
Cualquier paquete de vectores asociado a E puede venir dado por la construcción anterior. Por ejemplo, el paquete dual de E viene dado por F( E ) × ρ* ( R k )* donde ρ* es el dual de la representación fundamental. Los haces tensoriales de E se pueden construir de manera similar.
El haz de marcos tangente (o simplemente el haz de marcos ) de una variedad lisa M es el haz de marcos asociado al haz de marcos tangente de M. El conjunto de marcos de M a menudo se denomina F M o GL( M ) en lugar de F( TM ). Si M es n -dimensional, entonces el paquete tangente tiene rango n , por lo que el paquete marco de M es un paquete principal GL( n , R ) sobre M .
Las secciones locales del haz de marcos de M se denominan marcos lisos en M . El teorema de la sección transversal para fibrados principales establece que el fibrado de marco es trivial sobre cualquier conjunto abierto en U en M que admita un marco suave. Dado un marco suave s : U → F U , la trivialización ψ : F U → U × GL( n , R ) viene dada por
donde p es un marco en x . De ello se deduce que una variedad es paralelizable si y sólo si el conjunto de marcos de M admite una sección global.
Dado que el paquete tangente de M es trivializable en vecindades de coordenadas de M, también lo es el paquete marco. De hecho, dada cualquier vecindad de coordenadas U con coordenadas ( x 1 ,…, x n ), los campos vectoriales de coordenadas
definir un marco suave en U . Una de las ventajas de trabajar con paquetes de cuadros es que permiten trabajar con cuadros distintos de los cuadros de coordenadas; se puede elegir un marco adaptado al problema en cuestión. A esto a veces se le llama el método de mover fotogramas .
El haz marco de una variedad M es un tipo especial de haz principal en el sentido de que su geometría está fundamentalmente ligada a la geometría de M. Esta relación se puede expresar mediante una forma 1 con valor vectorial en F M llamada forma de soldadura (también conocida como forma 1 fundamental o tautológica ). Sea x un punto de la variedad M y p un marco en x , de modo que
es un isomorfismo lineal de R n con el espacio tangente de M en x . La forma de soldadura de F M es la forma θ de 1 valor R n definida por
donde ξ es un vector tangente a F M en el punto ( x , p ), y p −1 : T x M → R n es el inverso del mapa de marco, y dπ es el diferencial del mapa de proyección π : F M → M. La forma de soldadura es horizontal en el sentido de que se anula en vectores tangentes a las fibras de π y equivariante recto en el sentido de que
donde R g es la traducción correcta por g ∈ GL( n , R ). Una forma con estas propiedades se llama forma básica o tensorial en F M. Tales formas están en correspondencia 1-1 con formas 1 valoradas en TM en M que, a su vez, están en correspondencia 1-1 con mapas de paquetes suaves TM → TM sobre M . Visto desde esta perspectiva, θ es simplemente el mapa de identidad en TM .
Como convención de nomenclatura, el término "forma única tautológica" suele reservarse para el caso en el que la forma tiene una definición canónica, como ocurre aquí, mientras que "forma de soldadura" es más apropiada para aquellos casos en los que la forma no está definida canónicamente. . Esta convención no se respeta aquí.
Si un paquete vectorial E está equipado con una métrica de paquete de Riemann , entonces cada fibra E x no es sólo un espacio vectorial sino un espacio de producto interno . Entonces es posible hablar del conjunto de todos los marcos ortonormales para E x . Un marco ortonormal para E x es una base ortonormal ordenada para E x o, equivalentemente, una isometría lineal
donde R k está equipado con la métrica euclidiana estándar . El grupo ortogonal O( k ) actúa libre y transitivamente sobre el conjunto de todos los marcos ortonormales mediante una composición correcta. En otras palabras, el conjunto de todos los marcos ortonormales es un torsor derecho O( k ) .
El conjunto de marcos ortonormales de E , denotado F O ( E ), es el conjunto de todos los marcos ortonormales en cada punto x en el espacio base X. Puede construirse mediante un método enteramente análogo al del haz de cuadros ordinario. El paquete de marcos ortonormales de un paquete de vectores de Riemann de rango k E → X es un paquete principal O ( k ) sobre X. Una vez más, la construcción funciona igual de bien en la categoría lisa.
Si el paquete de vectores E es orientable , entonces se puede definir el paquete de marcos ortonormales orientados de E , denotado FSO ( E ) , como el paquete principal SO( k ) de todos los marcos ortonormales orientados positivamente.
Si M es una variedad de Riemann de n dimensiones , entonces el paquete de marcos ortonormal de M , denotado F O M u O( M ), es el paquete de marcos ortonormal asociado al paquete de marcos tangente de M (que está equipado con una métrica de Riemann por definición). ). Si M es orientable, entonces también se tiene el haz de marcos ortonormal orientado F SO M .
Dado un paquete de vectores de Riemann E , el paquete de marcos ortonormales es un subpaquete principal O ( k ) del paquete de marcos lineal general. En otras palabras, el mapa de inclusión
es el mapa de paquete principal . Se dice que F O ( E ) es una reducción del grupo estructural de F GL ( E ) de GL( k , R ) a O( k ).
Si un colector liso M viene con una estructura adicional, a menudo es natural considerar un subpaquete del paquete completo de M que se adapta a la estructura dada. Por ejemplo, si M es una variedad de Riemann , vimos anteriormente que es natural considerar el paquete de marcos ortonormal de M. El paquete de marcos ortonormal es solo una reducción del grupo estructural de F GL ( M ) al grupo ortogonal O ( n ).
En general, si M es una variedad n suave y G es un subgrupo de Lie de GL( n , R ), definimos una estructura G en M como una reducción del grupo estructural de F GL ( M ) a G . Explícitamente, este es un paquete G principal F G ( M ) sobre M junto con un mapa de paquete G equivalente
sobre M.
En este lenguaje, una métrica de Riemann en M da lugar a una estructura O( n ) en M. Los siguientes son algunos otros ejemplos.
En muchos de estos casos, una estructura G en M determina de forma única la estructura correspondiente en M. Por ejemplo, una estructura SL( n , R ) en M determina una forma de volumen en M . Sin embargo, en algunos casos, como en el caso de variedades simplécticas y complejas, se necesita una condición de integrabilidad adicional. Una estructura Sp(2 n , R ) en M determina de forma única una forma 2 no degenerada en M , pero para que M sea simpléctica, esta forma 2 también debe ser cerrada .
![{\displaystyle [p,v]\mapsto p(v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65eee159fb85905ad8e3b897b410b9d16755fae7)
