Forma única tautológica

En matemáticas , la forma tautológica es una forma especial definida en el haz cotangente de una variedad. En física , se utiliza para crear una correspondencia entre la velocidad de un punto en un sistema mecánico y su momento, proporcionando así un puente. entre la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana (en la variedad ). ${\displaystyle T^{*}Q}$ ${\displaystyle Q.}$ ${\displaystyle Q}$

La derivada exterior de esta forma define una forma simpléctica dando la estructura de una variedad simpléctica . La forma única tautológica juega un papel importante al relacionar el formalismo de la mecánica hamiltoniana y la mecánica lagrangiana . La forma única tautológica a veces también se denomina forma única de Liouville , forma única de Poincaré , forma única canónica o potencial simpléctico . Un objeto similar es el campo vectorial canónico en el paquete tangente . ${\displaystyle T^{*}Q}$

Para definir la forma única tautológica, seleccione un gráfico de coordenadas en y un sistema de coordenadas canónico en Elija un punto arbitrario Por definición de paquete cotangente, donde y La forma única tautológica está dada por ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle T^{*}Q}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle m\in T^{*}Q.}$ ${\displaystyle m=(q,p),}$ ${\displaystyle q\in Q}$ ${\displaystyle p\in T_{q}^{*}Q.}$ ${\displaystyle \theta _{m}:T_{m}T^{*}Q\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \theta _{m}=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\,dq^{i},}$$

${\displaystyle n=\mathop {\text{dim}} Q}$ ${\displaystyle (p_{1},\ldots ,p_{n})\in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p.}$

Cualquier coordenada que conserve esta definición, hasta un diferencial total ( forma exacta ), puede denominarse coordenadas canónicas; Las transformaciones entre diferentes sistemas de coordenadas canónicos se conocen como transformaciones canónicas . ${\displaystyle T^{*}Q}$

La forma simpléctica canónica , también conocida como dos formas de Poincaré , está dada por

$${\displaystyle \omega =-d\theta =\sum _{i}dq^{i}\wedge dp_{i}}$$

La extensión de este concepto a los haces de fibras en general se conoce como forma de soldadura . Por convención, se utiliza la frase "forma canónica" siempre que la forma tiene una definición canónica única, y se utiliza el término "forma de soldadura" siempre que se debe hacer una elección arbitraria. En geometría algebraica y geometría compleja se desaconseja el término "canónico", debido a la confusión con la clase canónica , y se prefiere el término "tautológico", como en paquete tautológico .

Definición sin coordenadas

La forma 1 tautológica también se puede definir de manera bastante abstracta como una forma en el espacio de fase . Sea una variedad y sea el paquete cotangente o espacio de fases . Dejar ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle M=T^{*}Q}$

$${\displaystyle \pi :M\to Q}$$

$${\displaystyle \mathrm {d} \pi :TM\to TQ}$$

mapa tangente inducido ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q=\pi (m)}$

$${\displaystyle m:T_{q}Q\to \mathbb {R} .}$$

Es decir, tenemos que está en la fibra de La forma única tautológica en el punto se define entonces como ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q.}$ ${\displaystyle \theta _{m}}$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle \theta _{m}=m\circ \mathrm {d} _{m}\pi .}$$

es un mapa lineal

$${\displaystyle \theta _{m}:T_{m}M\to \mathbb {R} }$$

$${\displaystyle \theta :M\to T^{*}M.}$$

potencial simpléctico

El potencial simpléctico generalmente se define un poco más libremente y también sólo localmente: es cualquier forma única tal que ; en efecto, los potenciales simplécticos se diferencian de la forma 1 canónica por una forma cerrada . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \omega =-d\phi }$

Propiedades

La forma única tautológica es la única forma que "cancela" el retroceso . Es decir, sea una forma 1 en una sección Para una forma 1 arbitraria en el retroceso de por es, por definición, Aquí, el avance de Like es una forma 1 en La forma única tautológica es la única formulario con la propiedad de que por cada 1 formulario en ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle Q.}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta :Q\to T^{*}Q.}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle T^{*}Q,}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta ^{*}\sigma :=\sigma \circ \beta _{*}.}$ ${\displaystyle \beta _{*}:TQ\to TT^{*}Q}$ ${\displaystyle \beta .}$ ${\displaystyle \beta ,}$ ${\displaystyle \beta ^{*}\sigma }$ ${\displaystyle Q.}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \beta ^{*}\theta =\beta ,}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle Q.}$

Entonces, por la conmutación entre el retroceso y la derivada exterior,

$${\displaystyle \beta ^{*}\omega =-\beta ^{*}\,d\theta =-d(\beta ^{*}\theta )=-d\beta .}$$

Acción

Si es un hamiltoniano en el paquete cotangente y es su campo vectorial hamiltoniano , entonces la acción correspondiente viene dada por ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X_{H}}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle S=\theta (X_{H}).}$$

En términos más prosaicos, el flujo hamiltoniano representa la trayectoria clásica de un sistema mecánico que obedece a las ecuaciones de movimiento de Hamilton-Jacobi . El flujo hamiltoniano es la integral del campo vectorial hamiltoniano, por lo que se escribe, usando la notación tradicional para variables de ángulo de acción :

$${\displaystyle S(E)=\sum _{i}\oint p_{i}\,dq^{i}}$$

${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H=E={\text{const}}.}$

Sobre las variedades riemannianas y pseudoriemannianas

Si la variedad tiene una métrica riemanniana o pseudoriemanniana, entonces se pueden hacer las definiciones correspondientes en términos de coordenadas generalizadas . Específicamente, si tomamos la métrica como un mapa ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle g,}$

$${\displaystyle g:TQ\to T^{*}Q,}$$

$${\displaystyle \Theta =g^{*}\theta }$$

$${\displaystyle \Omega =-d\Theta =g^{*}\omega }$$

En coordenadas generalizadas en uno tiene ${\displaystyle (q^{1},\ldots ,q^{n},{\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})}$ ${\displaystyle TQ,}$

$${\displaystyle \Theta =\sum _{ij}g_{ij}{\dot {q}}^{i}dq^{j}}$$

$${\displaystyle \Omega =\sum _{ij}g_{ij}\;dq^{i}\wedge d{\dot {q}}^{j}+\sum _{ijk}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial q^{k}}}\;{\dot {q}}^{i}\,dq^{j}\wedge dq^{k}}$$

La métrica permite definir una esfera de radio unitario en La forma única canónica restringida a esta esfera forma una estructura de contacto ; la estructura de contacto se puede utilizar para generar el flujo geodésico para esta métrica. ${\displaystyle T^{*}Q.}$

Referencias

• Ralph Abraham y Jerrold E. Marsden , Foundations of Mechanics , (1978) Benjamin-Cummings, Londres ISBN  0-8053-0102-X Véase la sección 3.2 .