En matemáticas , el fibrado dual es una operación sobre fibrados vectoriales que extiende la operación de dualidad para espacios vectoriales .
El fibrado dual de un fibrado vectorial es el fibrado vectorial cuyas fibras son los espacios duales de las fibras de .
De manera equivalente, se puede definir como el fibrado de Hom , es decir, el fibrado vectorial de morfismos desde el fibrado lineal trivial.
Dada una trivialización local de con funciones de transición, una trivialización local de está dada por la misma cubierta abierta de con funciones de transición (la inversa de la transpuesta ). El fibrado dual se construye entonces utilizando el teorema de construcción de fibrados de fibras . Como casos particulares:
Si el espacio base es paracompacto y de Hausdorff , entonces un fibrado vectorial real de rango finito y su dual son isomorfos como fibrados vectoriales. Sin embargo, al igual que para los espacios vectoriales , no hay una elección natural de isomorfismo a menos que esté equipado con un producto interno .
Esto no es cierto en el caso de fibrados vectoriales complejos : por ejemplo, el fibrado lineal tautológico sobre la esfera de Riemann no es isomorfo a su dual. El dual de un fibrado vectorial complejo es de hecho isomorfo al fibrado conjugado , pero la elección del isomorfismo no es canónica a menos que esté equipado con un producto hermítico .
El fibrado Hom de dos fibrados vectoriales es canónicamente isomorfo al fibrado de producto tensorial
Dado un morfismo de fibrados vectoriales sobre el mismo espacio, existe un morfismo entre sus fibrados duales (en el orden inverso), definido fibralmente como la transpuesta de cada función lineal. En consecuencia, la operación de fibrado dual define un funtor contravariante de la categoría de fibrados vectoriales y sus morfismos hacia sí mismo.
