Una forma tautológica

En matemáticas , la forma 1 tautológica es una forma 1 especial definida en el fibrado cotangente de una variedad. En física , se utiliza para crear una correspondencia entre la velocidad de un punto en un sistema mecánico y su momento, proporcionando así un puente entre la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana (en la variedad ). ${\displaystyle T^{*}Q}$ ${\displaystyle Q.}$ ${\displaystyle Q}$

La derivada exterior de esta forma define una forma simpléctica que da la estructura de una variedad simpléctica . La forma unitaria tautológica desempeña un papel importante en la relación entre el formalismo de la mecánica hamiltoniana y la mecánica lagrangiana . La forma unitaria tautológica a veces también se denomina forma unitaria de Liouville , forma unitaria de Poincaré , forma unitaria canónica o potencial simpléctico . Un objeto similar es el campo vectorial canónico en el fibrado tangente . ${\displaystyle T^{*}Q}$

Definición en coordenadas

Para definir la forma unitaria tautológica, seleccione un gráfico de coordenadas en y un sistema de coordenadas canónico en Elija un punto arbitrario Por definición de fibrado cotangente, donde y La forma unitaria tautológica está dada por siendo y la representación de coordenadas de ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle T^{*}Q}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle m\in T^{*}Q.}$ ${\displaystyle m=(q,p),}$ ${\displaystyle q\in Q}$ ${\displaystyle p\in T_{q}^{*}Q.}$ ${\displaystyle \theta _{m}:T_{m}T^{*}Q\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \theta _{m}=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\,dq^{i},}$$ ${\displaystyle n=\mathop {\text{dim}} Q}$ ${\displaystyle (p_{1},\ldots ,p_{n})\in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p.}$

Cualquier coordenada que preserve esta definición, hasta una diferencial total ( forma exacta ), puede llamarse coordenadas canónicas; las transformaciones entre diferentes sistemas de coordenadas canónicas se conocen como transformaciones canónicas . ${\displaystyle T^{*}Q}$

La forma simpléctica canónica , también conocida como la forma dual de Poincaré , está dada por $${\displaystyle \omega =-d\theta =\sum _{i}dq^{i}\wedge dp_{i}}$$

La extensión de este concepto a los haces de fibras en general se conoce como forma de soldadura . Por convención, se utiliza la frase "forma canónica" siempre que la forma tenga una definición canónica única, y se utiliza el término "forma de soldadura" cuando se debe hacer una elección arbitraria. En geometría algebraica y geometría compleja , se desaconseja el término "canónico", debido a la confusión con la clase canónica , y se prefiere el término "tautológico", como en el caso del haz tautológico .

Definición sin coordenadas

La 1-forma tautológica también se puede definir de manera bastante abstracta como una forma en el espacio de fases . Sea una variedad y sea el fibrado cotangente o espacio de fases . Sea la proyección canónica del fibrado de fibras y sea la función tangente inducida . Sea un punto en Dado que es el fibrado cotangente, podemos entender que es una función del espacio tangente en : ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle M=T^{*}Q}$ $${\displaystyle \pi :M\to Q}$$ $${\displaystyle \mathrm {d} \pi :TM\to TQ}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q=\pi (m)}$ $${\displaystyle m:T_{q}Q\to \mathbb {R} .}$$

Es decir, tenemos que está en la fibra de La forma tautológica en el punto se define entonces como ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q.}$ ${\displaystyle \theta _{m}}$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle \theta _{m}=m\circ \mathrm {d} _{m}\pi .}$$

Es un mapa lineal y por eso $${\displaystyle \theta _{m}:T_{m}M\to \mathbb {R} }$$ $${\displaystyle \theta :M\to T^{*}M.}$$

Potencial simpléctico

El potencial simpléctico se define generalmente un poco más libremente, y también sólo localmente: es cualquier forma 1 tal que ; en efecto, los potenciales simplécticos difieren de la forma 1 canónica por una forma cerrada . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \omega =-d\phi }$

Propiedades

La forma unitaria tautológica es la única forma unitaria que "cancela" el retroceso . Es decir, sea una forma unitaria en es una sección Para una forma unitaria arbitraria en el retroceso de por es, por definición, Aquí, es el avance de Como es una forma unitaria en La forma unitaria tautológica es la única forma con la propiedad de que para cada forma unitaria en ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle Q.}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta :Q\to T^{*}Q.}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle T^{*}Q,}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta ^{*}\sigma :=\sigma \circ \beta _{*}.}$ ${\displaystyle \beta _{*}:TQ\to TT^{*}Q}$ ${\displaystyle \beta .}$ ${\displaystyle \beta ,}$ ${\displaystyle \beta ^{*}\sigma }$ ${\displaystyle Q.}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \beta ^{*}\theta =\beta ,}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle Q.}$

Así, por la conmutación entre el pull-back y la derivada exterior, $${\displaystyle \beta ^{*}\omega =-\beta ^{*}\,d\theta =-d(\beta ^{*}\theta )=-d\beta .}$$

Acción

Si es un hamiltoniano en el fibrado cotangente y es su campo vectorial hamiltoniano , entonces la acción correspondiente está dada por ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X_{H}}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle S=\theta (X_{H}).}$$

En términos más prosaicos, el flujo hamiltoniano representa la trayectoria clásica de un sistema mecánico que obedece a las ecuaciones de movimiento de Hamilton-Jacobi . El flujo hamiltoniano es la integral del campo vectorial hamiltoniano, y por eso se escribe, utilizando la notación tradicional para variables de acción-ángulo : entendiendo que la integral se toma sobre la variedad definida manteniendo constante la energía: $${\displaystyle S(E)=\sum _{i}\oint p_{i}\,dq^{i}}$$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H=E={\text{const}}.}$

Sobre variedades riemannianas y pseudoriemannianas

Si la variedad tiene una métrica riemanniana o pseudo-riemanniana , entonces se pueden hacer las definiciones correspondientes en términos de coordenadas generalizadas . Específicamente, si tomamos la métrica como una función, entonces definimos y ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle g,}$ $${\displaystyle g:TQ\to T^{*}Q,}$$ $${\displaystyle \Theta =g^{*}\theta }$$ $${\displaystyle \Omega =-d\Theta =g^{*}\omega }$$

En coordenadas generalizadas en uno tiene y ${\displaystyle (q^{1},\ldots ,q^{n},{\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})}$ ${\displaystyle TQ,}$ $${\displaystyle \Theta =\sum _{ij}g_{ij}{\dot {q}}^{i}dq^{j}}$$ $${\displaystyle \Omega =\sum _{ij}g_{ij}\;dq^{i}\wedge d{\dot {q}}^{j}+\sum _{ijk}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial q^{k}}}\;{\dot {q}}^{i}\,dq^{j}\wedge dq^{k}}$$

La métrica permite definir una esfera de radio unitario en La forma canónica única restringida a esta esfera forma una estructura de contacto ; la estructura de contacto puede usarse para generar el flujo geodésico para esta métrica. ${\displaystyle T^{*}Q.}$

Referencias

• Ralph Abraham y Jerrold E. Marsden , Foundations of Mechanics , (1978) Benjamin-Cummings, Londres ISBN  0-8053-0102-X Véase la sección 3.2 .