Homomorfismo inducido

En matemáticas , especialmente en topología algebraica , un homomorfismo inducido es un homomorfismo derivado de manera canónica a partir de otra función. ^[1] Por ejemplo, una función continua de un espacio topológico X a un espacio topológico Y induce un homomorfismo de grupo del grupo fundamental de X al grupo fundamental de Y.

De manera más general, en la teoría de categorías , cualquier funtor por definición proporciona un morfismo inducido en la categoría de destino para cada morfismo en la categoría de origen. Por ejemplo, los grupos fundamentales , los grupos de homotopía superior , la homología singular y la cohomología de De Rham son estructuras algebraicas que son funtoriales , lo que significa que su definición proporciona un funtor de (por ejemplo) la categoría de espacios topológicos a (por ejemplo) la categoría de grupos o anillos . Esto significa que cada espacio está asociado con una estructura algebraica, mientras que cada mapa continuo entre espacios está asociado con un mapa que preserva la estructura entre estructuras, llamado homomorfismo inducido. Un homomorfismo inducido a partir de un mapa a menudo se denota . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h_{*}}$

Los homomorfismos inducidos a menudo heredan propiedades de las aplicaciones de las que proceden; por ejemplo, dos aplicaciones que son inversas entre sí hasta la homotopía inducen homomorfismos que son inversos entre sí. Un uso común de los homomorfismos inducidos es el siguiente: al mostrar que no puede existir un homomorfismo con ciertas propiedades, se concluye que no puede existir una aplicación continua con propiedades que lo induzcan. Gracias a esto, las relaciones entre espacios y aplicaciones continuas, a menudo muy intrincadas, se pueden inferir a partir de las relaciones entre los homomorfismos que inducen. Estas últimas pueden ser más sencillas de analizar, ya que involucran estructuras algebraicas que a menudo se pueden describir, comparar y calcular fácilmente.

En grupos fundamentales

Sean X e Y espacios topológicos con puntos x ₀ en X e y ₀ en Y . Sea h  : X→Y una función continua tal que h ( x ₀ ) = y ₀ . Entonces podemos definir una función del grupo fundamental π ₁ ( X , x ₀ ) al grupo fundamental π ₁ ( Y , y ₀ ) de la siguiente manera: cualquier elemento de π ₁ ( X , x ₀ ) , representado por un bucle f en X basado en x ₀ , se asigna al bucle en π ₁ ( Y , y ₀ ) obtenido al componer con h : ${\displaystyle h_{*}}$

${\displaystyle h_{*}([f]):=[h\circ f]}$

Aquí [ f ] denota la clase de equivalencia de f bajo homotopía, como en la definición del grupo fundamental. Se comprueba fácilmente a partir de las definiciones que es una función bien definida π ₁ ( X , x ₀ ) → π ₁ ( Y , y ₀ ) : los bucles en la misma clase de equivalencia, es decir, bucles homotópicos en X , se asignan a bucles homotópicos en Y , porque una homotopía también puede estar compuesta con h . También se deduce de la definición de la operación de grupo en grupos fundamentales (es decir, por concatenación de bucles) que es un homomorfismo de grupo: ${\displaystyle h_{*}}$ ${\displaystyle h_{*}}$

${\displaystyle h_{*}([f+g])=h_{*}([f])+h_{*}([g])}$

(donde + denota concatenación de bucles, con el primer + en X y el segundo + en Y ). ^[2] El homomorfismo resultante es el homomorfismo inducido a partir de h . ${\displaystyle h_{*}}$

También puede denotarse como π ( h ). De hecho, π da un funtor de la categoría de espacios apuntados a la categoría de grupos: asocia el grupo fundamental π ₁ ( X , x ₀ ) a cada espacio apuntado ( X , x ₀ ) y asocia el homomorfismo inducido a cada función continua que preserva el punto base h :  ( X , x ₀ ) → ( Y , y ₀ ) . Para demostrar que satisface la definición de un funtor, hay que comprobar además que es compatible con la composición: para funciones continuas que preservan el punto base h :  ( X , x ₀ ) → ( Y , y ₀ ) y k :  ( Y , y ₀ ) → ( Z , z ₀ ) , tenemos: ${\displaystyle \pi (h)=h_{*}}$

${\displaystyle \pi (k\circ h)=\pi (k)\circ \pi (h).}$

Esto implica que si h no es sólo una función continua sino de hecho un homeomorfismo entre X e Y , entonces el homomorfismo inducido es un isomorfismo entre grupos fundamentales (porque el homomorfismo inducido por la inversa de h es la inversa de , por la ecuación anterior). (Véase la sección III.5.4, p. 201, en H. Schubert.) ^[3] ${\displaystyle \pi (h)}$ ${\displaystyle \pi (h)}$

Aplicaciones

1. El toro no es homeomorfo a R ² porque sus grupos fundamentales no son isomorfos (ya que sus grupos fundamentales no tienen la misma cardinalidad ). En términos más generales, un espacio simplemente conexo no puede ser homeomorfo a un espacio no simplemente conexo; uno tiene un grupo fundamental trivial y el otro no.

2. El grupo fundamental del círculo es isomorfo al grupo de los números enteros . Por lo tanto, la compactificación de un punto de R tiene un grupo fundamental isomorfo al grupo de los números enteros (ya que la compactificación de un punto de R es homeomorfa al círculo). Esto también demuestra que la compactificación de un punto de un espacio simplemente conexo no necesita ser simplemente conexo.

3. El recíproco del teorema no tiene por qué ser válido. Por ejemplo, R ² y R ³ tienen grupos fundamentales isomorfos, pero no son homeomorfos. Sus grupos fundamentales son isomorfos porque cada espacio es simplemente conexo. Sin embargo, los dos espacios no pueden ser homeomorfos porque eliminar un punto de R ² deja un espacio no simplemente conexo, pero eliminar un punto de R ³ deja un espacio simplemente conexo (si eliminamos una línea que se encuentra en R ³ , el espacio ya no sería simplemente conexo. De hecho, esto se generaliza a R ^n, por lo que eliminar un subespacio de ( n − 2) - dimensión de R ⁿ deja un espacio no simplemente conexo).

4. Si A es una fuerte retracción de deformación de un espacio topológico X , entonces el mapa de inclusión de A a X induce un isomorfismo entre grupos fundamentales (por lo que el grupo fundamental de X se puede describir utilizando solo bucles en el subespacio A ).

Otros ejemplos

Asimismo, existen homomorfismos inducidos de grupos de homotopía superiores y grupos de homología . Cualquier teoría de homología conlleva homomorfismos inducidos. Por ejemplo, la homología simplicial , la homología singular y la homología de Borel-Moore tienen homomorfismos inducidos (IV.1.3, pp. 240-241) ^[3] De manera similar, cualquier cohomología conlleva homomorfismos inducidos, aunque en la dirección opuesta (de un grupo asociado con Y a un grupo asociado con X ). Por ejemplo, la cohomología de Čech , la cohomología de De Rham y la cohomología singular tienen homomorfismos inducidos (IV.4.2-3, pp. 298-299). ^[3] Las generalizaciones como el cobordismo también tienen homomorfismos inducidos.

Definición general

Dada alguna categoría de espacios topológicos (posiblemente con alguna estructura adicional) tal como la categoría de todos los espacios topológicos Top o la categoría de espacios topológicos puntiagudos (es decir, espacios topológicos con un punto base distinguido), y un funtor de esa categoría en alguna categoría de estructuras algebraicas tal como la categoría de grupos Grp o de grupos abelianos Ab que luego asocia tal estructura algebraica a cada espacio topológico, entonces para cada morfismo de (que usualmente es una función continua, posiblemente preservando alguna otra estructura tal como el punto base) este funtor induce un morfismo inducido en (que por ejemplo es un homomorfismo de grupo si es una categoría de grupos) entre las estructuras algebraicas y asociadas a y , respectivamente. ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle F:\mathbf {T} \to \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle F(f):F(X)\to F(Y)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle F(X)}$ ${\displaystyle F(Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Si no es un funtor (covariante) sino un funtor contravariante entonces por definición induce morfismos en la dirección opuesta: . Los grupos de cohomología dan un ejemplo. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(f):F(Y)\to F(X)}$

Referencias

1. Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica. Cambridge University Press . ISBN 0-521-79540-0.
2. Lee, John M. (2011). Introducción a las variedades topológicas (2.ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-1441979391.OCLC 697506452  .pág. 197, Proposición 7.24.
3. Schubert, H. (1975). Topología, Eine Einführung (Mathematische Leitfäden) . BG Teubner Verlagsgesellschaft, Stuttgart.

• James Munkres (1999). Topología, 2ª edición, Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2 .