Serie de Fourier generalizada

Descomposiciones de espacios de productos internos en bases ortonormales

Una serie de Fourier generalizada es la expansión de una función integrable al cuadrado en una suma de funciones base ortogonales integrables al cuadrado . La serie de Fourier estándar utiliza una base ortonormal de funciones trigonométricas y la expansión de la serie se aplica a funciones periódicas. Por el contrario, una serie de Fourier generalizada utiliza cualquier conjunto de funciones base ortogonales y puede aplicarse a cualquier función integrable al cuadrado . ^{[1] [2]}

Definición

Consideremos un conjunto de funciones complejas integrables al cuadrado definidas en el intervalo cerrado que son ortogonales entre pares bajo el producto interno ponderado : ${\displaystyle \Phi =\{\phi _{n}:[a,b]\to \mathbb {C} \}_{n=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{w}=\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}w(x)dx,}$

donde es una función de peso y es el conjugado complejo de . Entonces, la serie de Fourier generalizada de una función es: donde los coeficientes están dados por: ${\displaystyle w(x)}$ ${\displaystyle {\overline {g}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\phi _{n}(x),}$$ $${\displaystyle c_{n}={\langle f,\phi _{n}\rangle _{w} \over \|\phi _{n}\|_{w}^{2}}.}$$

Problemas de Sturm-Liouville

Dado el espacio de funciones integrables cuadradas definidas en un intervalo dado, se pueden encontrar bases ortogonales considerando una clase de problemas de valor de contorno en el intervalo llamados problemas regulares de Sturm-Liouville . Estos se definen de la siguiente manera, donde y son reales y continuas en y en , y son condiciones de contorno autoadjuntas , y es una función continua positiva en . ${\displaystyle L^{2}(a,b)}$ ${\displaystyle [a,b]}$ $${\displaystyle (rf')'+pf+\lambda wf=0}$$ $${\displaystyle B_{1}(f)=B_{2}(f)=0}$$ ${\displaystyle r,r'}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Dado un problema regular de Sturm-Liouville como el definido anteriormente, el conjunto de funciones propias correspondientes a las distintas soluciones de valores propios del problema forman una base ortogonal para con respecto al producto interno ponderado . ^[3] También tenemos que para una función que satisface las condiciones de contorno de este problema de Sturm-Liouville, la serie converge uniformemente a . ^[4] ${\displaystyle \{\phi _{n}\}_{1}^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{2}(a,b)}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{w}}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(a,b)}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\langle f,\phi _{n}\rangle \phi _{n}}$ ${\displaystyle f}$

Ejemplos

Serie de Fourier-Legendre

Una función definida en toda la recta numérica se denomina periódica con período si existe un número tal que, para cualquier número real , se cumple la igualdad . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T>0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x+T)=f(x)}$

Si una función es periódica con período , entonces también es periódica con períodos , , y así sucesivamente. Por lo general, el período de una función se entiende como el número más pequeño de dichos períodos . Sin embargo, para algunas funciones, existen valores arbitrariamente pequeños de . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 2T}$ ${\displaystyle 3T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

La sucesión de funciones se conoce como sistema trigonométrico. Cualquier combinación lineal de funciones de un sistema trigonométrico, incluida una combinación infinita (es decir, una serie infinita convergente ), es una función periódica con un período de 2π. ${\displaystyle 1,\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),...,\cos(nx),\sin(nx),...}$

En cualquier segmento de longitud 2π (como los segmentos [−π,π] y [0,2π]) el sistema trigonométrico es un sistema ortogonal . Esto significa que para dos funciones cualesquiera del sistema trigonométrico, la integral de su producto sobre un segmento de longitud 2π es igual a cero. Esta integral puede tratarse como un producto escalar en el espacio de funciones que son integrables en un segmento dado de longitud 2π.

Sea la función definida en el segmento [−π, π]. Dadas las condiciones adecuadas de suavidad y diferenciabilidad, puede representarse en este segmento como una combinación lineal de funciones del sistema trigonométrico, también denominada expansión de la función en una serie trigonométrica de Fourier. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

Los polinomios de Legendre son soluciones al problema de valores propios de Sturm-Liouville ${\displaystyle P_{n}(x)}$

${\displaystyle \left((1-x^{2})P_{n}'(x)\right)'+n(n+1)P_{n}(x)=0.}$

Como consecuencia de la teoría de Sturm-Liouville, estos polinomios son funciones propias ortogonales respecto del producto interno con peso unitario. Esto se puede escribir como una serie de Fourier generalizada (conocida en este caso como serie de Fourier-Legendre) que involucra a los polinomios de Legendre, de modo que

${\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}P_{n}(x),}$

${\displaystyle c_{n}={\langle f,P_{n}\rangle _{w} \over \|P_{n}\|_{w}^{2}}}$

A modo de ejemplo, la serie de Fourier-Legendre se puede calcular para más de . Entonces ${\displaystyle f(x)=\cos x}$ ${\displaystyle [-1,1]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&={\int _{-1}^{1}\cos {x}\,dx \over \int _{-1}^{1}(1)^{2}\,dx}=\sin {1}\\c_{1}&={\int _{-1}^{1}x\cos {x}\,dx \over \int _{-1}^{1}x^{2}\,dx}={0 \over 2/3}=0\\c_{2}&={\int _{-1}^{1}{3x^{2}-1 \over 2}\cos {x}\,dx \over \int _{-1}^{1}{9x^{4}-6x^{2}+1 \over 4}\,dx}={6\cos {1}-4\sin {1} \over 2/5}\end{aligned}}}$

y una serie truncada que involucre sólo estos términos sería

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{2}P_{2}(x)+c_{1}P_{1}(x)+c_{0}P_{0}(x)&={5 \over 2}(6\cos {1}-4\sin {1})\left({3x^{2}-1 \over 2}\right)+\sin 1\\&=\left({45 \over 2}\cos {1}-15\sin {1}\right)x^{2}+6\sin {1}-{15 \over 2}\cos {1}\end{aligned}}}$

que difiere de aproximadamente 0,003. En aplicaciones computacionales puede ser ventajoso utilizar dichas series de Fourier-Legendre en lugar de series de Fourier, ya que las funciones base para la expansión de la serie son todas polinomios y, por lo tanto, las integrales y, por lo tanto, los coeficientes pueden ser más fáciles de calcular. ${\displaystyle \cos x}$

Teoremas de coeficientes

Algunos teoremas sobre los coeficientes de las series incluyen: ${\displaystyle c_{n}}$

Desigualdad de Bessel

La desigualdad de Bessel es una afirmación sobre los coeficientes de un elemento en un espacio de Hilbert con respecto a una secuencia ortonormal . La desigualdad fue derivada por F. W. Bessel en 1828: ^[5] ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}\leq \int _{a}^{b}|f(x)|^{2}w(x)\,dx.}$

Teorema de Parseval

El teorema de Parseval generalmente se refiere al resultado de que la transformada de Fourier es unitaria ; en términos generales, que la suma (o integral) del cuadrado de una función es igual a la suma (o integral) del cuadrado de su transformada. ^[6]

Si Φ es una base completa, entonces:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}=\int _{a}^{b}|f(x)|^{2}w(x)\,dx.}$

Véase también

• Espacio Banach
• Funciones propias
• Transformada de Fourier fraccionaria
• Espacio funcional
• Espacio de Hilbert
• Análisis espectral de mínimos cuadrados
• Función ortogonal
• Ortogonalidad
• Espacio vectorial topológico
• Espacio vectorial

Referencias

1. Herman pág. 82
2. Folland pág. 84
3. Folland pág. 89
4. Folland pág. 90
5. "Desigualdad de Bessel - Enciclopedia de Matemáticas".
6. Parseval des Chênes, Marc-Antoine Mémoire sur les séries et sur l'intégration complète d'une équation aux différences partielles linéaire du second ordre, à coeficientes constantes "presentado ante la Académie des Sciences (París) el 5 de abril de 1799. Este artículo fue publicado en Mémoires présentés à l'Institut des Sciences, Lettres et Arts, par divers savants, et lus dans ses assemblées Sciences, mathématiques et physiques (Savants étrangers.) , vol.

• Serie de Fourier generalizada en MathWorld
• Herman, Russell (2016). Introducción al análisis de Fourier y complejo con aplicaciones al análisis espectral de señales (PDF) . págs. 73-112.
• Folland, Gerald B. (1992). Análisis de Fourier y sus aplicaciones (PDF) . Pacific Grove, California: Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software. págs. 62-97.