método de frobenius

Método para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias.

Algunas soluciones de una ecuación diferencial que tiene un punto singular regular con raíces indicales y . ${\displaystyle r={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle -1}$

En matemáticas , el método de Frobenius , llamado así en honor a Ferdinand Georg Frobenius , es una forma de encontrar una solución en serie infinita para una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden de la forma

$${\displaystyle z^{2}u''+p(z)zu'+q(z)u=0}$$

${\textstyle u'\equiv {\frac {du}{dz}}}$ ${\textstyle u''\equiv {\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}}$

en las proximidades del punto singular regular . ${\displaystyle z=0}$

Se puede dividir por para obtener una ecuación diferencial de la forma ${\displaystyle z^{2}}$

$${\displaystyle u''+{\frac {p(z)}{z}}u'+{\frac {q(z)}{z^{2}}}u=0}$$

métodos regulares de series de potenciasp ( z )/ zq ( z )/ z ²analíticoz = 0pzqz

Historia: las contribuciones reales de Frobenius

La contribución de Frobenius ^[1] no se centró tanto en todas las formas posibles de las soluciones en serie involucradas (ver más abajo). Todas estas formas habían sido establecidas anteriormente, ^[2] por Fuchs. ^{[3] [4]} Fuchs también estableció el polinomio inicial (ver más abajo) y su función. ^[2]

Una primera contribución de Frobenius a la teoría fue mostrar que, con respecto a una primera solución linealmente independiente, que luego tiene la forma de una serie de potencias analíticas multiplicada por una potencia arbitraria r de la variable independiente (ver más abajo), los coeficientes de las series de potencias generalizadas obedecen a una relación de recurrencia , de modo que siempre se pueden calcular de forma sencilla.

Una segunda contribución de Frobenius fue mostrar que, en los casos en los que las raíces de la ecuación inicial difieren en un número entero, la forma general de la segunda solución lineal independiente (ver más abajo) se puede obtener mediante un procedimiento basado en la diferenciación ^{. 5]} con respecto al parámetro r , mencionado anteriormente.

Gran parte de la publicación de Frobenius de 1873 ^[1] se dedicó a demostrar la convergencia de todas las series involucradas en las soluciones, así como a establecer los radios de convergencia de estas series.

Explicación del método de Frobenius: primera solución linealmente independiente

El método de Frobenius consiste en buscar una solución en serie de potencias de la forma

$${\displaystyle u(z)=z^{r}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k},\qquad (A_{0}\neq 0)}$$

Diferenciando:

$${\displaystyle u'(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}}$$

$${\displaystyle u''(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}}$$

Sustituyendo la diferenciación anterior en nuestra EDO original:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+zp(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\={}&\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}+p(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\={}&\sum _{k=0}^{\infty }[(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}+p(z)(k+r)A_{k}z^{k+r}+q(z)A_{k}z^{k+r}]\\={}&\sum _{k=0}^{\infty }\left[(k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z)\right]A_{k}z^{k+r}\\={}&\left[r(r-1)+p(z)r+q(z)\right]A_{0}z^{r}+\sum _{k=1}^{\infty }\left[(k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z)\right]A_{k}z^{k+r}=0\end{aligned}}}$$

La expresion

$${\displaystyle r\left(r-1\right)+p\left(0\right)r+q\left(0\right)=I(r)}$$

polinomio indicialrpolinomio indicialzrrrkz

Usando esto, la expresión general del coeficiente de z ^{k + r} es

$${\displaystyle I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(k-j)}(0)+q^{(k-j)}(0) \over (k-j)!}A_{j},}$$

Estos coeficientes deben ser cero, ya que deberían ser soluciones de la ecuación diferencial, por lo que

$${\displaystyle {\begin{aligned}I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(k-j)}(0)+q^{(k-j)}(0) \over (k-j)!}A_{j}&=0\\[4pt]\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(k-j)}(0)+q^{(k-j)}(0) \over (k-j)!}A_{j}&=-I(k+r)A_{k}\\[4pt]{1 \over -I(k+r)}\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(k-j)}(0)+q^{(k-j)}(0) \over (k-j)!}A_{j}&=A_{k}\end{aligned}}}$$

La solución en serie con A _k arriba,

$${\displaystyle U_{r}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}}$$

$${\displaystyle z^{2}U_{r}(z)''+p(z)zU_{r}(z)'+q(z)U_{r}(z)=I(r)z^{r}}$$

Si elegimos una de las raíces del polinomio inicial para r en U _r ( z ) , obtenemos una solución a la ecuación diferencial. Si la diferencia entre las raíces no es un número entero, obtenemos otra solución linealmente independiente en la otra raíz.

Ejemplo

Resolvamos

$${\displaystyle z^{2}f''-zf'+(1-z)f=0}$$

Divida por z ² para obtener

$${\displaystyle f''-{1 \over z}f'+{1-z \over z^{2}}f=f''-{1 \over z}f'+\left({1 \over z^{2}}-{1 \over z}\right)f=0}$$

z

Utilice la solución en serie.

$${\displaystyle {\begin{aligned}f&=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\f'&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}\\f''&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}\end{aligned}}}$$

Ahora, sustituyendo

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }&(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-{\frac {1}{z}}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+\left({\frac {1}{z^{2}}}-{\frac {1}{z}}\right)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-{\frac {1}{z}}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+{\frac {1}{z^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}-{\frac {1}{z}}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-1}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k-1=0}^{\infty }A_{k-1}z^{k-1+r-1}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=\left\{\sum _{k=0}^{\infty }\left((k+r)(k+r-1)-(k+r)+1\right)A_{k}z^{k+r-2}\right\}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=\left\{\left(r(r-1)-r+1\right)A_{0}z^{r-2}+\sum _{k=1}^{\infty }\left((k+r)(k+r-1)-(k+r)+1\right)A_{k}z^{k+r-2}\right\}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=(r-1)^{2}A_{0}z^{r-2}+\left\{\sum _{k=1}^{\infty }(k+r-1)^{2}A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\right\}\\&=(r-1)^{2}A_{0}z^{r-2}+\sum _{k=1}^{\infty }\left((k+r-1)^{2}A_{k}-A_{k-1}\right)z^{k+r-2}\end{aligned}}}$$

De ( r − 1) ² = 0 obtenemos una raíz doble de 1. Usando esta raíz, establecemos el coeficiente de z ^{k + r − 2} en cero (para que sea una solución), lo que nos da:

$${\displaystyle (k+1-1)^{2}A_{k}-A_{k-1}=k^{2}A_{k}-A_{k-1}=0}$$

$${\displaystyle A_{k}={\frac {A_{k-1}}{k^{2}}}}$$

Dadas algunas condiciones iniciales, podemos resolver la recurrencia por completo u obtener una solución en forma de serie de potencias.

Dado que la relación de coeficientes es una función racional , la serie de potencias se puede escribir como una serie hipergeométrica generalizada . ${\displaystyle A_{k}/A_{k-1}}$

"Los casos excepcionales": raíces separadas por un número entero

El ejemplo anterior involucró un polinomio inicial con una raíz repetida, que da solo una solución a la ecuación diferencial dada. En general, el método de Frobenius da dos soluciones independientes siempre que las raíces de la ecuación inicial no estén separadas por un número entero (incluido el cero).

Si la raíz se repite o las raíces difieren en un número entero, entonces la segunda solución se puede encontrar usando:

$${\displaystyle y_{2}=Cy_{1}\ln x+\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}x^{k+r_{2}}}$$

CCC ${\displaystyle y_{1}(x)}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle B_{k}}$ ${\displaystyle B_{0}}$ ${\displaystyle B_{k}}$ ${\displaystyle B_{r_{1}-r_{2}}}$ ${\displaystyle B_{k}.}$

Ejemplo : considere la siguiente ecuación diferencial ( ecuación de Kummer con a = 1 y b = 2 ):

$${\displaystyle zu''+(2-z)u'-u=0}$$

1/ z ${\displaystyle 1/z}$ ${\displaystyle e^{z}/z,}$ ${\displaystyle (e^{z}-1)/z}$ ${\displaystyle z^{-1}}$ ${\displaystyle z^{0},}$

Relaciones de recurrencia en tándem para coeficientes de serie en casos excepcionales

En los casos en los que las raíces del polinomio inicial difieren en un número entero (incluido el cero), los coeficientes de todas las series involucradas en segundas soluciones linealmente independientes se pueden calcular directamente a partir de relaciones de recurrencia en tándem . ^[5] Estas relaciones en tándem se pueden construir desarrollando aún más la invención original de Frobenius de diferenciar con respecto al parámetro r , y utilizando este enfoque para calcular realmente los coeficientes de la serie en todos los casos. ^[5]

Ver también

• teorema de fuchs
• Punto singular regular
• serie laurent

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Método Frobenius". MundoMatemático .
• Teschl, Gerald (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos. Providencia : Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-8328-0.(Versión borrador disponible en línea en https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/). El capítulo 4 contiene el método completo, incluidas las pruebas.

Referencias

1. Frobenius, Ferdinand Georg (1968) [Originalmente en Journal für die reine und angewandte Mathematik 76, 214-235 (1873)]. "Uber die Integration der linearen Differentialgleichungen durch Reihen". Gesammelte Abhandlungen (en alemán). Berlín: Springer-Verlag. págs. 84-105.
2. Gray, Jeremy (1986). Ecuaciones diferenciales lineales y teoría de grupos de Riemann a Poincaré . Boston: Birkhauser. ISBN 0-8176-3318-9.
3. Fuchs, Lázaro Immanuel (1865). "Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veranderlichen Coficienten". Gesammelte Mathematische Werke von L. Fuchs (en alemán). Biblioteca de la Universidad de Michigan.
4. Fuchs, Lázaro Immanuel (1866). "Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veranderlichen Coficienten". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 66 : 159-204.
5. van der Toorn, Ramsés (27 de diciembre de 2022). "Relaciones de recurrencia en tándem para coeficientes de soluciones logarítmicas en serie de Frobenius sobre puntos singulares regulares". Axiomas . 12 (1): 32. doi : 10.3390/axiomas12010032 . ISSN  2075-1680.