Teoría de la representación de SU(2)

Primer caso de un grupo de Lie que es a la vez compacto y no abeliano

En el estudio de la teoría de la representación de los grupos de Lie , el estudio de las representaciones de SU(2) es fundamental para el estudio de las representaciones de los grupos de Lie semisimples . Es el primer caso de un grupo de Lie que es a la vez un grupo compacto y un grupo no abeliano . La primera condición implica que la teoría de la representación es discreta: las representaciones son sumas directas de una colección de representaciones irreducibles básicas (regidas por el teorema de Peter-Weyl ). La segunda significa que habrá representaciones irreducibles en dimensiones mayores que 1.

SU(2) es el grupo de recubrimiento universal de SO(3) y, por lo tanto, su teoría de representación incluye la de este último, en virtud de un homomorfismo sobreyectivo con respecto a él. Esto subraya la importancia de SU(2) para la descripción del espín no relativista en física teórica ; véase más abajo otro contexto físico e histórico.

Como se muestra a continuación, las representaciones irreducibles de dimensión finita de SU(2) están indexadas por un entero no negativo y tienen dimensión . En la literatura de física, las representaciones están etiquetadas por la cantidad , donde es entonces un entero o un semientero, y la dimensión es . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle l=m/2}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle 2l+1}$

Representaciones del álgebra de Lie

Las representaciones del grupo se encuentran considerando representaciones de , el álgebra de Lie de SU(2) . Dado que el grupo SU(2) es simplemente conexo, cada representación de su álgebra de Lie se puede integrar a una representación de grupo; ^[1] daremos una construcción explícita de las representaciones a nivel de grupo a continuación. ^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

Álgebras de Lie reales y complejas

El álgebra de Lie real tiene una base dada por ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

${\displaystyle u_{1}={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}},\qquad u_{2}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&~~0\end{bmatrix}},\qquad u_{3}={\begin{bmatrix}i&~~0\\0&-i\end{bmatrix}}~,}$

(Estas matrices base están relacionadas con las matrices de Pauli por y ) ${\displaystyle u_{1}=+i\ \sigma _{1}\;,\,u_{2}=-i\ \sigma _{2}\;,}$ ${\displaystyle u_{3}=+i\ \sigma _{3}~.}$

Las matrices son una representación de los cuaterniones :

${\displaystyle u_{1}\,u_{1}=-I\,,~~\quad u_{2}\,u_{2}=-I\,,~~\quad u_{3}\,u_{3}=-I\,,}$

${\displaystyle u_{1}\,u_{2}=+u_{3}\,,\quad u_{2}\,u_{3}=+u_{1}\,,\quad u_{3}\,u_{1}=+u_{2}\,,}$

${\displaystyle u_{2}\,u_{1}=-u_{3}\,,\quad u_{3}\,u_{2}=-u_{1}\,,\quad u_{1}\,u_{3}=-u_{2}~.}$

donde I es la matriz identidad convencional 2×2: ${\displaystyle ~~I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}~.}$

En consecuencia, los corchetes conmutadores de las matrices satisfacen

${\displaystyle [u_{1},u_{2}]=2u_{3}\,,\quad [u_{2},u_{3}]=2u_{1}\,,\quad [u_{3},u_{1}]=2u_{2}~.}$

Es conveniente entonces pasar al álgebra de Lie complejizada.

${\displaystyle \mathrm {su} (2)+i\,\mathrm {su} (2)=\mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )~.}$

(Las matrices autoadjuntas sesgadas con traza cero más las matrices autoadjuntas con traza cero dan todas las matrices con traza cero). Mientras trabajemos con representaciones sobre este pasaje del álgebra de Lie real al complejizado es inofensivo. ^[3] La razón para pasar a la complejización es que nos permite construir una buena base de un tipo que no existe en el álgebra de Lie real . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

El álgebra de Lie complejizada está abarcada por tres elementos , , y , dados por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle H={\frac {1}{i}}u_{3},\qquad X={\frac {1}{2i}}\left(u_{1}-iu_{2}\right),\qquad Y={\frac {1}{2i}}(u_{1}+iu_{2})~;}$

o, explícitamente,

${\displaystyle H={\begin{bmatrix}1&~~0\\0&-1\end{bmatrix}},\qquad X={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},\qquad Y={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}~.}$

La parte no trivial/no idéntica de la tabla de multiplicar del grupo es

${\displaystyle HX~=~~~~X,\qquad HY~=-Y,\qquad XY~=~{\tfrac {1}{2}}\left(I+H\right),}$

${\displaystyle XH~=-X,\qquad YH~=~~~~Y,\qquad YX~=~{\tfrac {1}{2}}\left(I-H\right),}$

${\displaystyle HH~=~~~I~,\qquad XX~=~~~~O,\qquad YY~=~~O,}$

donde O es la matriz 2×2 de todos ceros. Por lo tanto, sus relaciones de conmutación son

${\displaystyle [H,X]=2X,\qquad [H,Y]=-2Y,\qquad [X,Y]=H.}$

Hasta un factor de 2, los elementos , y pueden identificarse con los operadores de momento angular , , y , respectivamente. El factor de 2 es una discrepancia entre las convenciones de las matemáticas y la física; intentaremos mencionar ambas convenciones en los resultados que siguen. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle J_{+}}$ ${\displaystyle J_{-}}$

Pesos y estructura de la representación

En este contexto, los valores propios de se denominan pesos de la representación. El siguiente resultado elemental ^[4] es un paso clave en el análisis. Supongamos que es un vector propio para con valor propio ; es decir, que Entonces ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle Hv=\alpha v.}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}H(Xv)&=(XH+[H,X])v&&=(\alpha +2)Xv,\\[3pt]H(Yv)&=(YH+[H,Y])v&&=(\alpha -2)Yv.\end{alignedat}}}$

En otras palabras, es el vector cero o un vector propio para con valor propio y es cero o un vector propio para con valor propio Por lo tanto, el operador actúa como un operador de elevación , aumentando el peso en 2, mientras que actúa como un operador de reducción . ${\displaystyle Xv}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \alpha +2}$ ${\displaystyle Yv}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \alpha -2.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Supongamos ahora que es una representación irreducible y finito-dimensional del álgebra de Lie compleja . Entonces puede tener solo un número finito de valores propios. En particular, debe haber algún valor propio final con la propiedad de que no es un valor propio. Sea un vector propio para con ese valor propio ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \lambda +2}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \lambda :}$

${\displaystyle Hv_{0}=\lambda v_{0},}$

Entonces debemos tener

${\displaystyle Xv_{0}=0,}$

o bien la identidad anterior nos diría que es un vector propio con valor propio ${\displaystyle Xv_{0}}$ ${\displaystyle \lambda +2.}$

Ahora defina una "cadena" de vectores mediante ${\displaystyle v_{0},v_{1},\ldots }$

${\displaystyle v_{k}=Y^{k}v_{0}}$.

Un argumento simple por inducción ^[5] muestra entonces que

${\displaystyle Xv_{k}=k(\lambda -(k-1))v_{k-1}}$

para todos Ahora bien, si no es el vector cero, es un vector propio para con valor propio Dado que, de nuevo, tiene sólo un número finito de vectores propios, concluimos que debe ser cero para algunos (y luego para todos ). ${\displaystyle k=1,2,\ldots .}$ ${\displaystyle v_{k}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \lambda -2k.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle v_{\ell }}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle v_{k}=0}$ ${\displaystyle k>\ell }$

Sea el último vector distinto de cero en la cadena; es decir, pero Entonces, por supuesto , y por la identidad anterior con tenemos ${\displaystyle v_{m}}$ ${\displaystyle v_{m}\neq 0}$ ${\displaystyle v_{m+1}=0.}$ ${\displaystyle Xv_{m+1}=0}$ ${\displaystyle k=m+1,}$

${\displaystyle 0=Xv_{m+1}=(m+1)(\lambda -m)v_{m}.}$

Dado que es al menos uno y concluimos que debe ser igual al entero no negativo ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle v_{m}\neq 0,}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle m.}$

Obtenemos así una cadena de vectores, tal que actúa como ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle v_{0},v_{1},\ldots ,v_{m},}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Yv_{m}=0,\quad Yv_{k}=v_{k+1}\quad (k<m)}$

y actúa como ${\displaystyle X}$

${\displaystyle Xv_{0}=0,\quad Xv_{k}=k(m-(k-1))v_{k-1}\quad (k\geq 1)}$

y actúa como ${\displaystyle H}$

${\displaystyle Hv_{k}=(m-2k)v_{k}.}$

(Lo hemos reemplazado por su valor actualmente conocido en las fórmulas anteriores). ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle m}$

Como los vectores son vectores propios para con valores propios distintos, deben ser linealmente independientes. Además, el lapso de es claramente invariante bajo la acción del álgebra de Lie complejizada. Como se supone irreducible, este lapso debe ser todo de Obtenemos así una descripción completa de cómo debe ser una representación irreducible; es decir, una base para el espacio y una descripción completa de cómo actúan los generadores del álgebra de Lie. A la inversa, para cualquier podemos construir una representación simplemente usando las fórmulas anteriores y comprobando que se cumplen las relaciones de conmutación. Se puede demostrar entonces que esta representación es irreducible. ^[6] ${\displaystyle v_{k}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{m}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle m\geq 0}$

Conclusión : Para cada entero no negativo existe una única representación irreducible con el mayor peso . Cada representación irreducible es equivalente a una de ellas. La representación con el mayor peso tiene una dimensión con pesos que tienen cada uno una multiplicidad de uno. ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle m.}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle m,m-2,\ldots ,-(m-2),-m,}$

El elemento Casimir

Ahora introducimos el elemento de Casimir (cuadrático) , dado por ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C=-\left(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}\right)}$.

Podemos considerarlo como un elemento del álgebra envolvente universal o como un operador en cada representación irreducible. Considerando como un operador en la representación con el mayor peso , podemos calcular fácilmente que conmuta con cada Por lo tanto, por el lema de Schur , actúa como un múltiplo escalar de la identidad para cada Podemos escribir en términos de la base de la siguiente manera: ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle u_{i}.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle c_{m}}$ ${\displaystyle m.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \{H,X,Y\}}$

${\displaystyle C=(X+Y)^{2}-(-X+Y)^{2}+H^{2},}$

que puede reducirse a

${\displaystyle C=4YX+H^{2}+2H.}$

El valor propio de en la representación con mayor peso se puede calcular aplicando al vector de mayor peso, que se aniquila por por lo tanto, obtenemos ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X;}$

${\displaystyle c_{m}=m^{2}+2m=m(m+2).}$

En la literatura de física, el Casimir se normaliza como Etiquetar cosas en términos del valor propio de se calcula entonces como ${\textstyle C'={\frac {1}{4}}C.}$ ${\textstyle \ell ={\frac {1}{2}}m,}$ ${\displaystyle d_{\ell }}$ ${\displaystyle C'}$

${\displaystyle d_{\ell }={\frac {1}{4}}(2\ell )(2\ell +2)=\ell (\ell +1).}$

Las representaciones grupales

Acción sobre polinomios

Como SU(2) es simplemente conexo, un resultado general muestra que cada representación de su álgebra de Lie (complejizada) da lugar a una representación de SU(2) misma. Sin embargo, es deseable dar una realización explícita de las representaciones a nivel de grupo. Las representaciones de grupo se pueden realizar en espacios de polinomios en dos variables complejas. ^[7] Es decir, para cada entero no negativo , denotamos el espacio de polinomios homogéneos de grado en dos variables complejas. Entonces la dimensión de es . Existe una acción natural de SU(2) en cada , dada por ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V_{m}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V_{m}}$ ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle V_{m}}$

${\displaystyle [U\cdot p](z)=p\left(U^{-1}z\right),\quad z\in \mathbb {C} ^{2},U\in \mathrm {SU} (2)}$.

La representación asociada del álgebra de Lie es simplemente la descrita en la sección anterior. (Véase aquí una fórmula explícita para la acción del álgebra de Lie sobre el espacio de polinomios).

Los personajes

El carácter de una representación es la función que le da ${\displaystyle \Pi :G\rightarrow \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle \mathrm {X} :G\rightarrow \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathrm {X} (g)=\operatorname {trace} (\Pi (g))}$.

Los caracteres juegan un papel importante en la teoría de la representación de grupos compactos . Se observa fácilmente que el carácter es una función de clase, es decir, invariante bajo conjugación.

En el caso de SU(2), el hecho de que el carácter sea una función de clase significa que está determinado por su valor en el toro máximo que consiste en las matrices diagonales en SU(2), ya que los elementos son diagonalizables ortogonalmente con el teorema espectral. ^[8] Dado que la representación irreducible con el mayor peso tiene pesos , es fácil ver que el carácter asociado satisface ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m,m-2,\ldots ,-(m-2),-m}$

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)=e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots +e^{-i(m-2)\theta }+e^{-im\theta }.}$

Esta expresión es una serie geométrica finita que se puede simplificar a

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin(\theta )}}.}$

Esta última expresión es simplemente el enunciado de la fórmula del carácter de Weyl para el caso SU(2). ^[9]

En realidad, siguiendo el análisis original de Weyl de la teoría de representación de grupos compactos, se pueden clasificar las representaciones completamente desde la perspectiva del grupo, sin utilizar en absoluto las representaciones del álgebra de Lie. En este enfoque, la fórmula de caracteres de Weyl desempeña un papel esencial en la clasificación, junto con el teorema de Peter-Weyl . El caso SU(2) de esta historia se describe aquí .

Relación con las representaciones de SO(3)

Obsérvese que todos los pesos de la representación son pares (si es par) o todos los pesos son impares (si es impar). En términos físicos, esta distinción es importante: las representaciones con pesos pares corresponden a representaciones ordinarias del grupo de rotación SO(3) . ^[10] Por el contrario, las representaciones con pesos impares corresponden a representaciones de doble valor (espinoriales) de SO(3), también conocidas como representaciones proyectivas . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

En las convenciones de la física, ser par corresponde a ser un entero mientras que ser impar corresponde a ser un semientero. Estos dos casos se describen como espín entero y espín semientero , respectivamente. Las representaciones con valores impares y positivos de son representaciones fieles de SU(2), mientras que las representaciones de SU(2) con valores pares no negativos no son fieles. ^[11] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

Otro enfoque

Véase a continuación el ejemplo del teorema de Borel-Weil-Bott .

Representaciones irreducibles más importantes y sus aplicaciones

Las representaciones de SU(2) describen un espín no relativista , debido a que es un recubrimiento doble del grupo de rotación del 3-espacio euclidiano . El espín relativista se describe mediante la teoría de representación de SL ₂ ( C ) , un supergrupo de SU(2), que de manera similar cubre SO ⁺ (1;3) , la versión relativista del grupo de rotación. La simetría SU(2) también admite los conceptos de espín isobárico e isospín débil , conocidos colectivamente como isospín .

La representación con (es decir, en la convención de la física) es la representación 2 , la representación fundamental de SU(2). Cuando un elemento de SU(2) se escribe como una matriz compleja 2 × 2 , es simplemente una multiplicación de 2-vectores columna . Se conoce en física como el espín-1/2 e, históricamente, como la multiplicación de cuaterniones (más precisamente, la multiplicación por un cuaternión unidad ). Esta representación también puede verse como una representación proyectiva de doble valor del grupo de rotación SO(3). ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle l=1/2}$

La representación con (es decir, ) es la representación 3 , la representación adjunta . Describe rotaciones 3-d , la representación estándar de SO(3), por lo que los números reales son suficientes para ella. Los físicos la utilizan para la descripción de partículas masivas de espín 1, como los mesones vectoriales , pero su importancia para la teoría del espín es mucho mayor porque ancla los estados de espín a la geometría del 3-espacio físico . Esta representación surgió simultáneamente con la 2 cuando William Rowan Hamilton introdujo versores , su término para los elementos de SU(2). Nótese que Hamilton no utilizó la terminología estándar de la teoría de grupos ya que su trabajo precedió a los desarrollos del grupo de Lie. ${\displaystyle m=2}$ ${\displaystyle l=1}$

La representación (ie ) se utiliza en física de partículas para ciertos bariones , como el Δ . ${\displaystyle m=3}$ ${\displaystyle l=3/2}$

Véase también

• Operador de rotación (espacio vectorial)
• Operador de rotación (mecánica cuántica)
• Teoría de la representación de SO(3)
• Conexión entre SO(3) y SU(2)
• teoría de la representación de SL ₂ ( R )
• Interacción electrodébil
• Grupo de rotación SO(3) § Una nota sobre las álgebras de Lie

Referencias

1. Hall 2015 Teorema 5.6
2. (Hall 2015), Sección 4.6
3. Hall 2015, Sección 3.6
4. Hall 2015 Lema 4.33
5. Hall 2015, Ecuación (4.15)
6. Hall 2015, prueba de la Proposición 4.11
7. Sala 2015 Sección 4.2
8. Travis Willse (https://math.stackexchange.com/users/155629/travis-willse), Clases de conjugación en $SU_2$, URL (versión: 2021-01-10): https://math.stackexchange.com/q/967927
9. Hall 2015 Ejemplo 12.23
10. Sala 2015 Sección 4.7
11. Ma, Zhong-Qi (28 de noviembre de 2007). Teoría de grupos para físicos. World Scientific Publishing Company. pág. 120. ISBN 9789813101487.

• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Gerard 't Hooft (2007), Grupos de Lie en Física, Capítulo 5 "Operadores de escalera"
• Iachello, Francesco (2006), Álgebras de Lie y aplicaciones , Apuntes de clases de física, vol. 708, Springer, ISBN 3540362363