Vector unitario

Vector de longitud uno

En matemáticas , un vector unitario en un espacio vectorial normado es un vector (a menudo un vector espacial ) de longitud 1. Un vector unitario a menudo se denota con una letra minúscula con un circunflejo o "sombrero", como en (pronunciado "v- sombrero"). ${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}}$

El término vector de dirección , comúnmente denominado d , se utiliza para describir un vector unitario que se utiliza para representar la dirección espacial y la dirección relativa . Las direcciones espaciales 2D son numéricamente equivalentes a puntos en el círculo unitario y las direcciones espaciales en 3D son equivalentes a un punto en la esfera unitaria .

Ejemplos de dos vectores de dirección 2D

Ejemplos de dos vectores de dirección 3D

El vector normalizado û de un vector u distinto de cero es el vector unitario en la dirección de u , es decir,

${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} ={\frac {\mathbf {u} }{\|\mathbf {u} \|}}}$

donde ‖ u ‖ es la norma (o longitud) de u . ^{[1] [2]} El término vector normalizado se utiliza a veces como sinónimo de vector unitario .

Los vectores unitarios a menudo se eligen para formar la base de un espacio vectorial, y cada vector en el espacio puede escribirse como una combinación lineal de vectores unitarios.

Coordenadas ortogonales

Coordenadas cartesianas

Los vectores unitarios se pueden utilizar para representar los ejes de un sistema de coordenadas cartesiano . Por ejemplo, los vectores unitarios estándar en la dirección de los ejes x , y y z de un sistema de coordenadas cartesiano tridimensional son

${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {y}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {z}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

Forman un conjunto de vectores unitarios mutuamente ortogonales , normalmente denominado base estándar en álgebra lineal .

A menudo se denotan utilizando notación vectorial común (p. ej., x o ) en lugar de notación vectorial unitaria estándar (p. ej., x̂ ). En la mayoría de los contextos, se puede suponer que x , y y z , (o y ) son versores de un sistema de coordenadas cartesiano tridimensional. Las notaciones ( î , ĵ , k̂ ), ( x̂ ₁ , x̂ ₂ , x̂ ₃ ), ( ê _x , ê _y , ê _z ), o ( ê ₁ , ê ₂ , ê ₃ ), con o sin sombrero , son también se usa, ^[1] particularmente en contextos donde i , j , k podría generar confusión con otra cantidad (por ejemplo, con símbolos de índice como i , j , k , que se usan para identificar un elemento de un conjunto o matriz o secuencia de variables). ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}},}$ ${\displaystyle {\vec {y}},}$ ${\displaystyle {\vec {z}}}$

Cuando un vector unitario en el espacio se expresa en notación cartesiana como una combinación lineal de x , y , z , sus tres componentes escalares pueden denominarse cosenos directores . El valor de cada componente es igual al coseno del ángulo que forma el vector unitario con el respectivo vector base. Este es uno de los métodos utilizados para describir la orientación (posición angular) de una línea recta, segmento de línea recta, eje orientado o segmento de eje orientado ( vector ).

Coordenadas cilíndricas

Los tres vectores unitarios ortogonales apropiados para la simetría cilíndrica son:

• ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}$(también designado o ), que representa la dirección a lo largo de la cual se mide la distancia del punto al eje de simetría; ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {s}}}}$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$, que representa la dirección del movimiento que se observaría si el punto girara en sentido antihorario alrededor del eje de simetría ;
• ${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$, que representa la dirección del eje de simetría;

Están relacionados con la base cartesiana , , por: ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {y}}}$ ${\displaystyle {\hat {z}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}}=\cos(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\sin(\varphi )\mathbf {\hat {y}} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\cos(\varphi )\mathbf {\hat {y}} }$

${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} =\mathbf {\hat {z}} .}$

Los vectores y son funciones de y no tienen dirección constante. Al diferenciar o integrar en coordenadas cilíndricas también se deben utilizar estos vectores unitarios. Las derivadas con respecto a son: ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$ ${\displaystyle \varphi ,}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}{\partial \varphi }}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-{\boldsymbol {\hat {\rho }}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {z}} }{\partial \varphi }}=\mathbf {0} .}$

Coordenadas esféricas

Los vectores unitarios apropiados para la simetría esférica son: , la dirección en la que aumenta la distancia radial desde el origen; , la dirección en la que aumenta el ángulo en el plano x - y en sentido antihorario desde el eje x positivo; y , la dirección en la que aumenta el ángulo desde el eje z positivo. Para minimizar la redundancia de representaciones, normalmente se considera que el ángulo polar está entre cero y 180 grados. Es especialmente importante tener en cuenta el contexto de cualquier triplete ordenado escrito en coordenadas esféricas , ya que los roles de y a menudo se invierten. Aquí se utiliza la convención estadounidense de "física" ^{[3] .} Esto deja el ángulo azimutal definido igual que en las coordenadas cilíndricas. Las relaciones cartesianas son: ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} +\cos \theta \mathbf {\hat {z}} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}} }$

Los vectores unitarios esféricos dependen de ambos y , por lo tanto, hay 5 posibles derivadas distintas de cero. Para una descripción más completa, véase Matriz jacobiana y determinante . Las derivadas distintas de cero son: ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \varphi }}=-\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \theta }}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}} ={\boldsymbol {\hat {\theta }}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \theta }}=-\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\cos \theta \mathbf {\hat {z}} =-\mathbf {\hat {r}} }$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-\sin \theta \mathbf {\hat {r}} -\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}$

Vectores unitarios generales

Los temas comunes de los vectores unitarios ocurren en toda la física y la geometría : ^[4]

Coordenadas curvilíneas

En general, un sistema de coordenadas se puede especificar de forma única utilizando un número de vectores unitarios linealmente independientes ^[1] (siendo el número real igual a los grados de libertad del espacio). Para espacios tridimensionales ordinarios, estos vectores pueden denominarse . Casi siempre es conveniente definir el sistema como ortonormal y diestro : ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3}}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {e}} _{j}=\delta _{ij}}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot (\mathbf {\hat {e}} _{j}\times \mathbf {\hat {e}} _{k})=\varepsilon _{ijk}}$

donde está el delta de Kronecker (que es 1 para i = j y 0 en caso contrario) y es el símbolo de Levi-Civita (que es 1 para permutaciones ordenadas como ijk y −1 para permutaciones ordenadas como kji ). ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$

versor derecho

Un vector unitario fue llamado versor derecho por WR Hamilton , mientras desarrollaba sus cuaterniones . De hecho, fue el creador del término vector , ya que cada cuaternión tiene una parte escalar s y una parte vectorial v . Si v es un vector unitario en , entonces el cuadrado de v en cuaterniones es –1. Así, según la fórmula de Euler , es un versor en las 3 esferas . Cuando θ es un ángulo recto , el versor es un versor recto: su parte escalar es cero y su parte vectorial v es un vector unitario en . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} \subset \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle q=s+v}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \exp(\theta v)=\cos \theta +v\sin \theta }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Ver también

• sistema de coordenadas Cartesianas
• Sistema coordinado
• Coordenadas curvilíneas
• cuatro velocidades
• Matriz jacobiana y determinante
• Vector normal
• Sistema de coordenadas polares
• Base estándar
• Intervalo unitario
• Unidad cuadrado , cubo , círculo , esfera e hipérbola
• Notación vectorial
• Vector de unos
• Matriz unitaria

Notas

1. Weisstein, Eric W. "Vector unitario". mathworld.wolfram.com . Consultado el 19 de agosto de 2020 .
2. "Vectores unitarios | Wiki brillante de matemáticas y ciencias". brillante.org . Consultado el 19 de agosto de 2020 .
3. Tevian Dray y Corinne A. Manogue, Coordenadas esféricas, College Math Journal 34, 168-169 (2003).
4. F. Ayres; E. Mendelson (2009). Cálculo (Serie de contornos de Schaum) (5ª ed.). Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-150861-2.
5. Señor Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Análisis vectorial (Serie de contornos de Schaum) (2ª ed.). Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.

Referencias

• GB Arfken y HJ Weber (2000). Métodos matemáticos para físicos (5ª ed.). Prensa académica. ISBN 0-12-059825-6.
• Spiegel, Murray R. (1998). Esquemas de Schaum: manual matemático de fórmulas y tablas (2ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-038203-4.
• Griffiths, David J. (1998). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.