Vector unitario

Vector de longitud uno

En matemáticas , un vector unitario en un espacio vectorial normado es un vector (a menudo un vector espacial ) de longitud 1. Un vector unitario a menudo se denota mediante una letra minúscula con un acento circunflejo , o "sombrero", como en (se pronuncia "v-hat"). ${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}}$

El vector normalizado û de un vector u distinto de cero es el vector unitario en la dirección de u , es decir,

${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} ={\frac {\mathbf {u} }{\|\mathbf {u} \|}}}$

donde ‖ u ‖ es la norma (o longitud) de u . ^{[1] [2]} El término vector normalizado a veces se utiliza como sinónimo de vector unitario .

Un vector unitario se utiliza a menudo para representar direcciones , como direcciones normales . Los vectores unitarios suelen elegirse para formar la base de un espacio vectorial, y cada vector en el espacio puede escribirse como una forma de combinación lineal de vectores unitarios.

Coordenadas ortogonales

Coordenadas cartesianas

Los vectores unitarios se pueden utilizar para representar los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas . Por ejemplo, los vectores unitarios estándar en la dirección de los ejes x , y y z de un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional son

${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {y}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {z}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

Forman un conjunto de vectores unitarios mutuamente ortogonales , normalmente denominados base estándar en álgebra lineal .

A menudo se denotan utilizando la notación vectorial común (p. ej., x o ) en lugar de la notación vectorial unitaria estándar (p. ej., x̂ ). En la mayoría de los contextos se puede suponer que x , y , y z , (o y ) son versores de un sistema de coordenadas cartesianas 3-D. Las notaciones ( î , ĵ , k̂ ) , ( x̂ 1 , x̂ 2 , x̂ 3 ) , ( ê _x , ê _y , ê _z ) , _o ( ê ₁ , ê ₂ , ê ₃ ) , _con o sin _hat , también se utilizan, ^[1] particularmente en contextos donde i , j , k podría llevar a confusión con otra cantidad (por ejemplo con símbolos de índice como i , j , k , que se utilizan para identificar un elemento de un conjunto o matriz o secuencia de variables). ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}},}$ ${\displaystyle {\vec {y}},}$ ${\displaystyle {\vec {z}}}$

Cuando un vector unitario en el espacio se expresa en notación cartesiana como una combinación lineal de x , y , z , sus tres componentes escalares pueden denominarse cosenos directores . El valor de cada componente es igual al coseno del ángulo que forma el vector unitario con el vector base respectivo. Este es uno de los métodos utilizados para describir la orientación (posición angular) de una línea recta, segmento de línea recta, eje orientado o segmento de eje orientado ( vector ).

Coordenadas cilíndricas

Los tres vectores unitarios ortogonales apropiados para la simetría cilíndrica son:

• ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}$(también designado o ), que representa la dirección a lo largo de la cual se mide la distancia del punto desde el eje de simetría; ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {s}}}}$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$, que representa la dirección del movimiento que se observaría si el punto girara en sentido antihorario alrededor del eje de simetría ;
• ${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$, que representa la dirección del eje de simetría;

Se relacionan con la base cartesiana , , por: ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {y}}}$ ${\displaystyle {\hat {z}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}}=\cos(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\sin(\varphi )\mathbf {\hat {y}} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\cos(\varphi )\mathbf {\hat {y}} }$

${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} =\mathbf {\hat {z}} .}$

Los vectores y son funciones de y no tienen dirección constante. Al derivar o integrar en coordenadas cilíndricas, también se debe operar sobre estos vectores unitarios. Las derivadas con respecto a son: ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$ ${\displaystyle \varphi ,}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}{\partial \varphi }}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-{\boldsymbol {\hat {\rho }}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {z}} }{\partial \varphi }}=\mathbf {0} .}$

Coordenadas esféricas

Los vectores unitarios apropiados para la simetría esférica son: , la dirección en la que aumenta la distancia radial desde el origen; , la dirección en la que aumenta el ángulo en el plano x - y en sentido antihorario desde el eje x positivo; y , la dirección en la que aumenta el ángulo desde el eje z positivo . Para minimizar la redundancia de las representaciones, el ángulo polar se considera generalmente entre cero y 180 grados. Es especialmente importante tener en cuenta el contexto de cualquier triplete ordenado escrito en coordenadas esféricas , ya que los roles de y a menudo se invierten. Aquí, se utiliza la convención de "física" estadounidense ^[3] . Esto deja el ángulo azimutal definido igual que en coordenadas cilíndricas. Las relaciones cartesianas son: ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} +\cos \theta \mathbf {\hat {z}} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}} }$

Los vectores unitarios esféricos dependen tanto de y como de , por lo que hay 5 posibles derivadas distintas de cero. Para una descripción más completa, consulte Matriz jacobiana y determinante . Las derivadas distintas de cero son: ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \varphi }}=-\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \theta }}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}} ={\boldsymbol {\hat {\theta }}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \theta }}=-\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\cos \theta \mathbf {\hat {z}} =-\mathbf {\hat {r}} }$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-\sin \theta \mathbf {\hat {r}} -\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}$

Vectores unitarios generales

Los temas comunes de los vectores unitarios aparecen en toda la física y la geometría : ^[4]

Coordenadas curvilíneas

En general, un sistema de coordenadas puede especificarse de forma única utilizando una cantidad de vectores unitarios linealmente independientes ^[1] (la cantidad real es igual a los grados de libertad del espacio). Para el espacio tridimensional ordinario, estos vectores pueden denotarse como . Casi siempre es conveniente definir el sistema como ortonormal y dextrógiro : ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3}}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {e}} _{j}=\delta _{ij}}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot (\mathbf {\hat {e}} _{j}\times \mathbf {\hat {e}} _{k})=\varepsilon _{ijk}}$

donde es el delta de Kronecker (que es 1 para i = j y 0 en caso contrario) y es el símbolo de Levi-Civita (que es 1 para permutaciones ordenadas como ijk y −1 para permutaciones ordenadas como kji ). ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$

Versor derecho

Un vector unitario en fue llamado versor recto por WR Hamilton , cuando desarrolló sus cuaterniones . De hecho, él fue el creador del término vector , ya que cada cuaternión tiene una parte escalar s y una parte vectorial v . Si v es un vector unitario en , entonces el cuadrado de v en cuaterniones es –1. Por lo tanto, por la fórmula de Euler , es un versor en la 3-esfera . Cuando θ es un ángulo recto , el versor es un versor recto: su parte escalar es cero y su parte vectorial v es un vector unitario en . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} \subset \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle q=s+v}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \exp(\theta v)=\cos \theta +v\sin \theta }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

De esta manera, los versores correctos extienden la noción de unidades imaginarias que se encuentran en el plano complejo , donde los versores correctos ahora abarcan la 2-esfera en lugar del par {i, –i} en el plano complejo. ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}\subset \mathbb {H} }$

Por extensión, un cuaternión recto es un múltiplo real de un versor recto.

Véase también

• Sistema de coordenadas cartesianas
• Sistema de coordenadas
• Coordenadas curvilíneas
• Cuatro velocidades
• Matriz jacobiana y determinante
• Vector normal
• Sistema de coordenadas polares
• Base estándar
• Intervalo unitario
• Unidad: cuadrado , cubo , círculo , esfera e hipérbola
• Notación vectorial
• Vector de unos
• Matriz de unidades

Notas

1. Weisstein, Eric W. "Unit Vector". Wolfram MathWorld . Consultado el 19 de agosto de 2020 .
2. "Vectores unitarios". Wiki de Brilliant Math & Science . Consultado el 19 de agosto de 2020 .
3. Tevian Dray y Corinne A. Manogue, Coordenadas esféricas, College Math Journal 34, 168-169 (2003).
4. F. Ayres; E. Mendelson (2009). Cálculo (Schaum's Outlines Series) (5.ª ed.). Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-150861-2.
5. MR Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Análisis vectorial (Schaum's Outlines Series) (2.ª ed.). Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.

Referencias

• GB Arfken y HJ Weber (2000). Métodos matemáticos para físicos (5.ª ed.). Academic Press. ISBN 0-12-059825-6.
• Spiegel, Murray R. (1998). Esquemas de Schaum: Manual matemático de fórmulas y tablas (2.ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-038203-4.
• Griffiths, David J. (1998). Introducción a la electrodinámica (3.ª ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.