En matemáticas , un álgebra cuadrática es un álgebra filtrada generada por elementos de grado uno, con relaciones definitorias de grado 2. Yuri Manin señaló que tales álgebras desempeñan un papel importante en la teoría de grupos cuánticos . La clase más importante de álgebras cuadráticas graduadas son las álgebras de Koszul .
Un álgebra cuadrática graduada A está determinada por un espacio vectorial de generadores V = A 1 y un subespacio de relaciones cuadráticas homogéneas S ⊂ V ⊗ V . [1] Por lo tanto
y hereda su gradación del álgebra tensorial T ( V ).
Si, en cambio, se permite que el subespacio de relaciones también contenga elementos no homogéneos de grado 2, es decir, S ⊂ k ⊕ V ⊕ ( V ⊗ V ), esta construcción da como resultado un álgebra cuadrática filtrada .
Un álgebra cuadrática graduada A como la anterior admite un dual cuadrático : el álgebra cuadrática generada por V * y con relaciones cuadráticas que forman el complemento ortogonal de S en V * ⊗ V * .
