Álgebra de Lie nilpotente

En matemáticas , un álgebra de Lie es nilpotente si su serie central inferior termina en la subálgebra cero. La serie central inferior es la secuencia de subálgebras ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\geq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\geq [{\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\geq [{\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\geq ...}$

Escribimos , y para todos . Si la serie central inferior llega finalmente a la subálgebra cero, entonces el álgebra de Lie se llama nilpotente. La serie central inferior para las álgebras de Lie es análoga a la serie central inferior en la teoría de grupos , y las álgebras de Lie nilpotentes son análogas de los grupos nilpotentes . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{n}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}_{n-1}]}$ ${\displaystyle n>0}$

Las álgebras de Lie nilpotentes son precisamente aquellas que pueden obtenerse a partir de las álgebras de Lie abelianas, mediante extensiones centrales sucesivas .

Nótese que la definición significa que, vista como un álgebra no unitaria no asociativa, un álgebra de Lie es nilpotente si es nilpotente como ideal. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Definición

Sea un álgebra de Lie . Se dice que es nilpotente si la serie central inferior termina, es decir, si para algún ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{n}=0}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$

Explícitamente, esto significa que

${\displaystyle [X_{1},[X_{2},[\cdots [X_{n},Y]\cdots ]]=\mathrm {ad} _{X_{1}}\mathrm {ad} _{X_{2}}\cdots \mathrm {ad} _{X_{n}}Y=0}$

${\displaystyle \forall X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},Y\in {\mathfrak {g}},\qquad (1)}$

de modo que ad _{X 1} ad _{X 2} ⋅⋅⋅ ad _{X n} = 0 .

Condiciones equivalentes

Una consecuencia muy especial de (1) es que

${\displaystyle [X,[X,[\cdots [X,Y]\cdots ]={\mathrm {ad} _{X}}^{n}Y\in {\mathfrak {g}}_{n}=0\quad \forall X,Y\in {\mathfrak {g}}.\qquad (2)}$

Por lo tanto (ad _X ) ⁿ = 0 para todo . Es decir, ad _X es un endomorfismo nilpotente en el sentido habitual de los endomorfismos lineales (en lugar de las álgebras de Lie). A un elemento de este tipo lo llamamos x en ad-nilpotente . ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Notablemente, si es de dimensión finita, la condición aparentemente mucho más débil (2) es en realidad equivalente a (1), como se afirma en ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Teorema de Engel : Un álgebra de Lie de dimensión finita es nilpotente si y sólo si todos los elementos de son ad-nilpotentes, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

lo cual no probaremos aquí.

Una condición equivalente algo más sencilla para la nilpotencia de  : es nilpotente si y solo si es nilpotente (como un álgebra de Lie). Para ver esto, primero observe que (1) implica que es nilpotente, ya que la expansión de un corchete anidado de ( n − 1) pliegues constará de términos de la forma en (1). A la inversa, se puede escribir ^[1] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} \,{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} \,{\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [[\cdots [X_{n},X_{n-1}],\cdots ,X_{2}],X_{1}]=\mathrm {ad} [\cdots [X_{n},X_{n-1}],\cdots ,X_{2}](X_{1}),}$

y como ad es un homomorfismo del álgebra de Lie,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {ad} [\cdots [X_{n},X_{n-1}],\cdots ,X_{2}]&=[\mathrm {ad} [\cdots [X_{n},X_{n-1}],\cdots X_{3}],\mathrm {ad} _{X_{2}}]\\&=\ldots =[\cdots [\mathrm {ad} _{X_{n}},\mathrm {ad} _{X_{n-1}}],\cdots \mathrm {ad} _{X_{2}}].\end{aligned}}}$

Si es nilpotente, la última expresión es cero para un valor n suficientemente grande y, en consecuencia, la primera. Pero esto implica (1), por lo que es nilpotente. ${\displaystyle \mathrm {ad} \,{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Además, un álgebra de Lie de dimensión finita es nilpotente si y sólo si existe una cadena descendente de ideales tales que . ^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset \cdots \supset {\mathfrak {g}}_{n}=0}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}_{i}]\subset {\mathfrak {g}}_{i+1}}$

Ejemplos

Matrices triangulares estrictamente superiores

Si es el conjunto de matrices k × k con entradas en , entonces el subálgebra que consiste en matrices triangulares estrictamente superiores es un álgebra de Lie nilpotente. ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Álgebras de Heisenberg

Un álgebra de Heisenberg es nilpotente. Por ejemplo, en dimensión 3, el conmutador de dos matrices

${\displaystyle \left[{\begin{bmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&a'&b'\\0&0&c'\\0&0&0\end{bmatrix}}\right]={\begin{bmatrix}0&0&a''\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

dónde . ${\displaystyle a''=ac'-a'c}$

Subálgebras de Cartan

Una subálgebra de Cartan de un álgebra de Lie es nilpotente y autonormalizante ^{[3] página 80.} La condición de autonormalización es equivalente a ser el normalizador de un álgebra de Lie. Esto significa que . Esto incluye matrices triangulares superiores y todas las matrices diagonales en . ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {l}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=N_{\mathfrak {l}}({\mathfrak {c}})=\{x\in {\mathfrak {l}}:[x,c]\subset {\mathfrak {c}}{\text{ for }}c\in {\mathfrak {c}}\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {d}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$

Otros ejemplos

Si un álgebra de Lie tiene un automorfismo de período primo sin puntos fijos excepto en 0 , entonces es nilpotente. ^[4] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Propiedades

Las álgebras de Lie nilpotentes son solucionables

Toda álgebra de Lie nilpotente es resoluble . Esto es útil para demostrar la solubilidad de un álgebra de Lie ya que, en la práctica, suele ser más fácil demostrar la nilpotencia (¡cuando se cumple!) que la solubilidad. Sin embargo, en general, el inverso de esta propiedad es falso. Por ejemplo, la subálgebra de ( k ≥ 2 ) que consta de matrices triangulares superiores, , es resoluble pero no nilpotente. ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}(k,\mathbb {R} )}$

Subálgebras e imágenes

Si un álgebra de Lie es nilpotente, entonces todas las subálgebras e imágenes homomórficas son nilpotentes. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Nilpotencia del cociente por el centro

Si el álgebra cociente , donde es el centro de , es nilpotente, entonces también lo es . Es decir, una extensión central de un álgebra de Lie nilpotente por un álgebra de Lie nilpotente es nilpotente. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/Z({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle Z({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Teorema de Engel

Teorema de Engel : Un álgebra de Lie de dimensión finita es nilpotente si y sólo si todos los elementos son ad-nilpotentes. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Formulario de Cero Matanzas

La forma asesina de un álgebra de Lie nilpotente es 0 .

Tienen automorfismos externos

Un álgebra de Lie nilpotente distinto de cero tiene un automorfismo externo , es decir, un automorfismo que no es la imagen de Ad.

Subálgebras derivadas de álgebras de Lie resolubles

La subálgebra derivada de un álgebra de Lie resoluble de dimensión finita sobre un campo de característica 0 es nilpotente.

Véase también

• Álgebra de Lie solucionable

Notas

1. Knapp 2002 Propuesta 1.32.
2. Serre, cap. Yo, Proposición 1.
3. Humphreys, James E. (1972). Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación . Nueva York, NY: Springer New York. ISBN 978-1-4612-6398-2.OCLC 852791600  .
4. Jacobson, N. (1989), Jacobson, Nathan (ed.), "Una nota sobre automorfismos y derivaciones de álgebras de Lie", Nathan Jacobson Collected Mathematical Papers: Volumen 2 (1947–1965) , Matemáticos contemporáneos, Birkhäuser, págs. 251–253, doi :10.1007/978-1-4612-3694-8_16, ISBN 978-1-4612-3694-8

Referencias

• Fulton, W. ; Harris, J. (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97527-6.Señor 1153249  .
• Humphreys, James E. (1972). Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 9. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5.
• Knapp, AW (2002). Grupos de Lie más allá de una introducción . Progreso en Matemáticas. Vol. 120 (2.ª ed.). Boston·Basel·Berlín: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5.
• Serre, Jean-Pierre (2000), Algèbres de Lie semi-simples complexes [ Álgebras de mentira complejas semisimples ], traducido por Jones, GA, Springer, ISBN 978-3-540-67827-4.