Teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt

Describe explícitamente el álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie.

En matemáticas , más específicamente en la teoría de las álgebras de Lie , el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt (o teorema PBW ) es un resultado que proporciona una descripción explícita del álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie. Recibe su nombre en honor a Henri Poincaré , Garrett Birkhoff y Ernst Witt .

Los términos teorema de tipo PBW y teorema PBW también pueden referirse a varios análogos del teorema original, comparando un álgebra filtrada con su álgebra graduada asociada, en particular en el área de grupos cuánticos .

Enunciado del teorema

Recordemos que cualquier espacio vectorial V sobre un cuerpo tiene una base ; ésta es un conjunto S tal que cualquier elemento de V es una combinación lineal única (finita) de elementos de S . En la formulación del teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt consideramos bases cuyos elementos están totalmente ordenados por alguna relación que denotamos ≤ .

Si L es un álgebra de Lie sobre un cuerpo K , sea h la función K - lineal canónica de L en el álgebra envolvente universal U ( L ).

Teorema . ^[1] Sea L un álgebra de Lie sobre K y X una base totalmente ordenada de L . Un monomio canónico sobre X es una sucesión finita ( x ₁ , x ₂ ..., x _n ) de elementos de X que no es decreciente en el orden ≤, es decir, x ₁ ≤ x ₂ ≤ ... ≤ x _n . Extendamos h a todos los monomios canónicos de la siguiente manera: si ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) es un monomio canónico, sea

${\displaystyle h(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=h(x_{1})\cdot h(x_{2})\cdots h(x_{n}).}$

Entonces h es inyectiva en el conjunto de monomios canónicos y la imagen de este conjunto forma una base para U ( L ) como un K -espacio vectorial. ${\displaystyle \{h(x_{1},\ldots ,x_{n})|x_{1}\leq ...\leq x_{n}\}}$

Dicho de otra manera, considere Y = h ( X ). Y está totalmente ordenado por el orden inducido a partir de X . El conjunto de monomios

${\displaystyle y_{1}^{k_{1}}y_{2}^{k_{2}}\cdots y_{\ell }^{k_{\ell }}}$

donde y ₁ < y ₂ < ... < y _n son elementos de Y , y los exponentes no son negativos , junto con la unidad multiplicativa 1, forman una base para U ( L ). Nótese que el elemento unidad 1 corresponde al monomio canónico vacío. El teorema entonces afirma que estos monomios forman una base para U ( L ) como un espacio vectorial. Es fácil ver que estos monomios abarcan U ( L ); el contenido del teorema es que son linealmente independientes.

La estructura multiplicativa de U ( L ) está determinada por las constantes de estructura en la base X , es decir, los coeficientes tales que ${\displaystyle c_{u,v}^{x}}$

${\displaystyle [u,v]=\sum _{x\in X}c_{u,v}^{x}\;x.}$

Esta relación permite reducir cualquier producto de y a una combinación lineal de monomios canónicos: Las constantes de estructura determinan y _i y _j – y _j y _i , es decir, qué hacer para cambiar el orden de dos elementos de Y en un producto. Este hecho, módulo un argumento inductivo sobre el grado de los monomios (no canónicos), muestra que siempre se pueden lograr productos donde los factores están ordenados de manera no decreciente.

El teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt puede interpretarse como que el resultado final de esta reducción es único y no depende del orden en el que se intercambian los elementos adyacentes.

Corolario . Si L es un álgebra de Lie sobre un cuerpo, la función canónica L → U ( L ) es inyectiva. En particular, cualquier álgebra de Lie sobre un cuerpo es isomorfa a una subálgebra de Lie de un álgebra asociativa.

Contextos más generales

Ya en sus primeras etapas, se sabía que K podía ser reemplazado por cualquier anillo conmutativo, siempre que L fuera un módulo K libre , es decir, tuviera una base como la anterior.

Para extenderlo al caso en que L ya no es un K -módulo libre, es necesario hacer una reformulación que no utilice bases. Esto implica reemplazar el espacio de monomios en alguna base con el álgebra simétrica , S ( L ), sobre L .

En el caso de que K contenga el cuerpo de los números racionales, se puede considerar la función natural de S ( L ) a U ( L ), enviando un monomio . para , al elemento ${\displaystyle v_{1}v_{2}\cdots v_{n}}$ ${\displaystyle v_{i}\in L}$

${\displaystyle {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}v_{\sigma (1)}v_{\sigma (2)}\cdots v_{\sigma (n)}.}$

Entonces, se tiene el teorema de que este mapa es un isomorfismo de K -módulos.

De manera aún más general y natural, se puede considerar a U ( L ) como un álgebra filtrada , equipada con la filtración dada al especificar que se encuentra en el grado filtrado . La función L → U ( L ) de K -módulos se extiende canónicamente a una función T ( L ) → U ( L ) de álgebras, donde T ( L ) es el álgebra tensorial en L (por ejemplo, por la propiedad universal de las álgebras tensoriales), y esta es una función filtrada que equipa a T ( L ) con la filtración que pone a L en grado uno (en realidad, T ( L ) está graduada). Luego, pasando al graduado asociado, se obtiene un morfismo canónico T ( L ) → gr U ( L ), que mata los elementos vw - wv para v, w ∈ L , y por lo tanto desciende a un morfismo canónico S ( L ) → gr U ( L ). Entonces, el teorema PBW (graduado) puede reformularse como la afirmación de que, bajo ciertas hipótesis, este morfismo final es un isomorfismo de las álgebras conmutativas . ${\displaystyle v_{1}v_{2}\cdots v_{n}}$ ${\displaystyle \leq n}$

Esto no es cierto para todos los K y L (véase, por ejemplo, la última sección del artículo de Cohn de 1961), pero es cierto en muchos casos. Estos incluyen los antes mencionados, donde L es un K -módulo libre (por lo tanto, siempre que K es un cuerpo), o K contiene el cuerpo de números racionales. De manera más general, el teorema PBW tal como se formuló anteriormente se extiende a casos como donde (1) L es un K -módulo plano, (2) L es libre de torsión como un grupo abeliano , (3) L es una suma directa de módulos cíclicos (o todas sus localizaciones en ideales primos de K tienen esta propiedad), o (4) K es un dominio de Dedekind . Véase, por ejemplo, el artículo de 1969 de Higgins para estas afirmaciones.

Finalmente, vale la pena notar que, en algunos de estos casos, también se obtiene la afirmación más fuerte de que el morfismo canónico S ( L ) → gr U ( L ) se eleva a un isomorfismo de K -módulo S ( L ) → U ( L ), sin tomar graduado asociado. Esto es cierto en los primeros casos mencionados, donde L es un K -módulo libre, o K contiene el cuerpo de números racionales, usando la construcción delineada aquí (de hecho, el resultado es un isomorfismo de coalgebra , y no meramente un isomorfismo de K -módulo, equipando tanto a S ( L ) como a U ( L ) con sus estructuras de coalgebra naturales tales que para v ∈ L ). Esta afirmación más fuerte, sin embargo, podría no extenderse a todos los casos en el párrafo anterior. ${\displaystyle \Delta (v)=v\otimes 1+1\otimes v}$

Historia del teorema

En cuatro artículos de la década de 1880, Alfredo Capelli demostró, con una terminología diferente, lo que ahora se conoce como el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt en el caso del álgebra de Lie lineal general ; mientras que Poincaré lo enunció más tarde de forma más general en 1900. ^[2] Armand Borel dice que estos resultados de Capelli fueron "completamente olvidados durante casi un siglo" , y no sugiere que Poincaré estuviera al tanto del resultado de Capelli. ^[2] ${\displaystyle L={\mathfrak {gl}}_{n},}$

Ton-That y Tran ^[3] han investigado la historia del teorema y han descubierto que la mayoría de las fuentes anteriores al libro de Bourbaki de 1960 lo denominan teorema de Birkhoff-Witt. Siguiendo esta antigua tradición, Fofanova ^[4] en su entrada enciclopédica dice que Poincaré obtuvo la primera variante del teorema. Dice además que el teorema fue posteriormente demostrado completamente por Witt y Birkhoff. Parece que las fuentes anteriores a Bourbaki no estaban familiarizadas con el artículo de Poincaré.

Birkhoff ^[5] y Witt ^[6] no mencionan el trabajo de Poincaré en sus artículos de 1937. Cartan y Eilenberg ^[7] llaman al teorema Teorema de Poincaré-Witt y atribuyen la prueba completa a Witt. Bourbaki ^[8] fue el primero en usar los tres nombres en su libro de 1960. Knapp presenta una clara ilustración de la tradición cambiante. En su libro de 1986 ^[9] lo llama Teorema de Birkhoff-Witt , mientras que en su libro posterior de 1996 ^[10] cambia a Teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt .

No está claro si el resultado de Poincaré era completo. Ton-That y Tran ^[3] concluyen que "Poincaré había descubierto y demostrado completamente este teorema al menos treinta y siete años antes que Witt y Birkhoff" . Por otro lado, señalan que "Poincaré hace varias afirmaciones sin molestarse en demostrarlas" . Sus propias demostraciones de todos los pasos son bastante largas según su admisión. Borel afirma que Poincaré " más o menos demostró el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt " en 1900. ^[2]

Notas

1. Hall 2015 Teorema 9.9
2. Borel 2001, pág. 6
3. Ton-That y Tran 1999
4. Fofanova 2001
5. Birkhoff 1937
6. Witt 1937
7. Cartan y Eilenberg 1956
8. Bourbaki 1960
9. Knapp 1986
10. Knapp 1996

Referencias

• Birkhoff, Garrett (abril de 1937). "Representabilidad de álgebras de Lie y grupos de Lie mediante matrices". Anales de Matemáticas . 38 (2): 526–532. doi :10.2307/1968569. JSTOR  1968569.
• Borel, Armand (2001). Ensayos sobre la historia de los grupos de Lie y los grupos algebraicos . Historia de las matemáticas. Vol. 21. Sociedad matemática americana y sociedad matemática de Londres. ISBN 978-0821802885.
• Bourbaki, Nicolás (1960). "Capítulo 1: Algèbres de Lie". Groupes et algèbres de Lie. Elementos matemáticos. París: Hermann. ISBN 9782705613648.
• Capelli, Alfredo (1890). "Sur les Opérations dans la théorie des formes algébriques". Annalen Matemáticas . 37 : 1–37. doi :10.1007/BF01206702. S2CID  121470841.
• Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1956). Álgebra homológica . Princeton Mathematical Series (PMS). Vol. 19. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-04991-5.
• Cartier, Pierre (1958). "Remarques sur le théorème de Birkhoff-Witt". Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze . Serie 3. 12 (1–2): 1–4.
• Cohn, PM (1963). "Una observación sobre el teorema de Birkhoff-Witt". J. London Math. Soc . 38 : 197–203. doi :10.1112/jlms/s1-38.1.197.
• Fofanova, TS (2001) [1994], "Teorema de Birkhoff-Witt", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Hall, Brian C. (2015). Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 222 (2.ª ed.). Springer. ISBN 978-3319134666.
• Higgins, PJ (1969). "Invariantes de Baer y el teorema de Birkhoff-Witt". Journal of Algebra . 11 (4): 469–482. doi : 10.1016/0021-8693(69)90086-6 .
• Hochschild, G. (1965). La teoría de los grupos de Lie . Holden-Day.
• Knapp, AW (2001) [1986]. Teoría de la representación de grupos semisimples. Una visión general basada en ejemplos. Princeton Mathematical Series. Vol. 36. Princeton University Press. ISBN 0-691-09089-0.JSTOR j.ctt1bpm9sn  .
• Knapp, AW (2013) [1996]. Grupos de Lie más allá de una introducción. Springer. ISBN 978-1-4757-2453-0.
• Poincaré, Henri (1900). "Sur les groupes continúa". Transacciones de la Sociedad Filosófica de Cambridge. vol. 18. Prensa Universitaria. págs. 220–5. OCLC  1026731418.
• Ton-That, T.; Tran, T.-D. (1999). "La prueba de Poincaré del llamado teorema de Birkhoff-Witt" (PDF) . Rev. Histoire Math . 5 : 249–284. arXiv : math/9908139 . Bibcode :1999math......8139T. CiteSeerX  10.1.1.489.7065 . Zbl  0958.01012.
• Witt, Ernst (1937). "Treue Darstellung Liescher Ringe". J. Reina Angew. Matemáticas . 1937 (177): 152-160. doi :10.1515/crll.1937.177.152. S2CID  118046494.