Glosario de teoría de módulos

La teoría de módulos es la rama de las matemáticas en la que se estudian los módulos . Este es un glosario de algunos términos de la materia.

Ver también: Glosario de álgebra lineal , Glosario de teoría de anillos , Glosario de teoría de representaciones .

A

algebraicamente compacto: El módulo algebraicamente compacto (también llamado módulo inyectivo puro ) es un módulo en el que todos los sistemas de ecuaciones pueden decidirse por medios finitos. Alternativamente, aquellos módulos que dejan exacta la secuencia puramente exacta después de aplicar Hom.
aniquilador: 1. El aniquilador de un módulo izquierdo es el conjunto . Es un ideal (izquierdo) de . ${\estilo de visualización R}$ ${\estilo de visualización M}$ ${\textrm {Ann}}(M):=\{r\en R~|~rm=0\,\para todo m\en M\}$ ${\estilo de visualización R}$; 2. El aniquilador de un elemento es el conjunto . ${\estilo de visualización m\en M}$ ${\textrm {Ann}}(m):=\{r\in R~|~rm=0\}$
Artiniano: Un módulo artiniano es un módulo en el que cada cadena decreciente de submódulos se vuelve estacionaria después de un número finito de pasos.
primo asociado: 1. primo asociado
automorfismo: Un automorfismo es un endomorfismo que también es un isomorfismo.
Azumaya: El teorema de Azumaya dice que dos descomposiciones en módulos con anillos de endomorfismo local son equivalentes.

B

equilibrado: módulo equilibrado
base: Una base de un módulo es un conjunto de elementos tal que cada elemento del módulo puede expresarse como una suma finita de elementos de la base de una manera única. ${\estilo de visualización M}$ ${\estilo de visualización M}$
Beauville–Laszlo: Teorema de Beauville-Laszlo
grande: "Grande" generalmente significa "no necesariamente generado de forma finita".
bimódulo: bimódulo

do

módulo canónico: módulo canónico (el término "canónico" proviene de divisor canónico )
categoría: La categoría de módulos sobre un anillo es la categoría donde los objetos son todos los módulos (por ejemplo) izquierdos sobre el anillo dado y los morfismos homomorfismos de módulos.
personaje: módulo de personaje
complejo de cadena: cadena compleja (frecuentemente simplemente compleja)
submódulo cerrado: Un módulo se denomina submódulo cerrado si no contiene ninguna extensión esencial .
Cohen–Macaulay: Módulo Cohen-Macaulay
coherente: Un módulo coherente es un módulo generado finitamente cuyos submódulos generados finitamente se presentan finitamente .
núcleo: El cokernel de un homomorfismo de módulo es el codominio cociente de la imagen.
compacto: Un módulo compacto
completamente reducible: Sinónimo de " módulo semisimple ".
terminación: finalización de un módulo
composición: Serie de composiciones de Jordan Hölder
continuo: módulo continuo
generado contablemente: Un módulo generado contablemente es un módulo que admite un conjunto generador cuya cardinalidad es como máximo contable.
cíclico: Un módulo se denomina módulo cíclico si es generado por un elemento.

D

D: Un módulo D es un módulo sobre un anillo de operadores diferenciales.
descomposición: Una descomposición de un módulo es una forma de expresar un módulo como una suma directa de submódulos.
denso: submódulo denso
determinante: El determinante de un módulo libre finito sobre un anillo conmutativo es la r -ésima potencia exterior del módulo cuando r es el rango del módulo.
diferencial: Un módulo graduado diferencial o módulo dg es un módulo graduado con un diferencial.
suma directa: Una suma directa de módulos es un módulo que es la suma directa del grupo abeliano subyacente junto con la multiplicación escalar de componentes.
módulo dual: El módulo dual de un módulo M sobre un anillo conmutativo R es el módulo . $\operatorname {Hom}_{R}(M,R)$
dualizando: módulo dualizador
Drinfeld: Un módulo Drinfeld es un módulo sobre un anillo de funciones en una curva algebraica con coeficientes de un campo finito.

mi

Eilenberg–Mazur: La estafa de Eilenberg-Mazur
elemental: divisor elemental
endomorfismo: 1. Un endomorfismo es un homomorfismo de módulo de un módulo a sí mismo.; 2. El anillo de endomorfismos es el conjunto de todos los homomorfismos de módulos con adición como adición de funciones y composición de multiplicación de funciones.
suficiente: suficientes inyecciones; suficientes proyectivas
básico: Dado un módulo M , un submódulo esencial N de M es un submódulo que todo submódulo distinto de cero de M interseca de manera no trivial.
exacto: secuencia exacta
Función ext.: Función ext.
extensión: La extensión de escalares utiliza un homomorfismo de anillo de R a S para convertir R -módulos en S -módulos.

F

fiel: Un módulo fiel es aquel en el que la acción de cada valor distinto de cero en no es trivial (es decir, para algunos en ). Equivalentemente, es el ideal cero. ${\estilo de visualización M}$ $r\en R$ ${\estilo de visualización M}$ $rx\neq 0$ ${\estilo de visualización x}$ ${\estilo de visualización M}$ ${\textrm {Ann}}(M)$
finito: El término " módulo finito " es otro nombre para un módulo generado finitamente .
longitud finita: Un módulo de longitud finita es un módulo que admite una serie de composición (finita).
presentación finita: 1. Una presentación libre finita de un módulo M es una secuencia exacta donde se generan finitamente módulos libres. $F_{1}\a F_{0}\a M$ $Estilo de visualización F_{i}$; 2. Un módulo finitamente presentado es un módulo que admite una presentación libre finita .
finitamente generado: Un módulo se genera finitamente si existen un número finito de elementos en tales que cada elemento de es una combinación lineal finita de esos elementos con coeficientes del anillo escalar . ${\estilo de visualización M}$ $x_{1},...,x_{n}$ ${\estilo de visualización M}$ ${\estilo de visualización M}$ ${\estilo de visualización R}$
adecuado: 1. ajuste ideal; 2. Lema de Fitting
cinco: Cinco lemas
departamento: Un módulo se denomina módulo plano si el funtor producto tensorial es exacto . En particular, todo módulo proyectivo es plano. ${\estilo de visualización R}$ ${\estilo de visualización F}$ $-\otimes _{R}F$
gratis: Un módulo libre es un módulo que tiene una base, o equivalentemente, uno que es isomorfo a una suma directa de copias del anillo escalar . ${\estilo de visualización R}$
Reciprocidad de Frobenius: Reciprocidad de Frobenius .

GRAMO

Galois: Un módulo de Galois es un módulo sobre el anillo de grupo de un grupo de Galois.
grupo electrógeno: Un subconjunto de un módulo se denomina conjunto generador del módulo si el submódulo generado por el conjunto (es decir, el subconjunto más pequeño que contiene el conjunto) es el módulo entero en sí.
global: dimensión global
calificado: Un módulo sobre un anillo graduado es un módulo graduado si se puede expresar como una suma directa y . ${\estilo de visualización M}$ $A=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}$ ${\estilo de visualización M}$ $\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }M_{i}$ $A_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}$

yo

Cociente de Herbrand: Un cociente de Herbrand de un homomorfismo de módulo es otro término para índice.
Hilbert: 1. Teorema de sicigia de Hilbert; 2. La serie de Hilbert-Poincaré de un módulo graduado.; 3. El teorema de Hilbert-Serre indica cuándo una serie de Hilbert-Poincaré es una función racional.
dimensión homológica: dimensión homológica
homomorfismo: Para dos módulos izquierdos , un homomorfismo de grupo se llama homomorfismo de módulos si . ${\estilo de visualización R}$ $Estilo de visualización M_{1}, M_{2}$ $\phi :M_{1}\to M_{2}$ ${\estilo de visualización R}$ $r\phi (m)=\phi (rm)\,\para todo r\en R,m\en M_{1}$
Hogar: Función homónimo

I

idempotente

Un idempotente es un endomorfismo cuyo cuadrado es él mismo.

indescomponible

Un módulo indescomponible es un módulo distinto de cero que no se puede escribir como suma directa de dos submódulos distintos de cero. Todo módulo simple es indescomponible (pero no a la inversa).

índice

El índice de un endomorfismo es la diferencia , cuando el cokernel y el núcleo de tienen longitud finita.

f:M\to M

\operatorname {longitud} (\operatorname {coker} (f))-\operatorname {longitud} (\operatorname {ker} (f))

{\estilo de visualización f}

inyectivo

1. Un -módulo se denomina módulo inyectivo si, dado un homomorfismo de -módulo , y un homomorfismo de -módulo inyectivo , existe un homomorfismo de -módulo tal que .

{\estilo de visualización R}

{\estilo de visualización Q}

{\estilo de visualización R}

g:X\to Q

{\estilo de visualización R}

f:X\to Y

{\estilo de visualización R}

h:Y\to Q

f\circ h=g

El módulo Q es inyectivo si el diagrama conmuta

Las siguientes condiciones son equivalentes:

El funtor contravariante es exacto . ${\textrm {Hom}}_{R}(-,I)$
$I$ es un módulo inyectivo.
Cada secuencia corta y exacta se divide. $0\a I\a L\a L'\a 0$

2. Una envoltura inyectiva (también llamada casco inyectivo) es una extensión esencial máxima o una incrustación mínima en un módulo inyectivo.

3. Un cogenerador inyectivo es un módulo inyectivo tal que cada módulo tiene un homomorfismo distinto de cero en él.

invariante

invariantes

invertible

Un módulo invertible sobre un anillo conmutativo es un módulo proyectivo finito de rango uno.

módulo irreducible

Otro nombre para un módulo simple .

isomorfismo

Un isomorfismo entre módulos es un homomorfismo de módulo invertible.

Yo

Jacobson: Teorema de densidad de Jacobson

K

Diferenciales Kähler: Diferenciales Kähler
Kaplanski: El teorema de Kaplansky sobre un módulo proyectivo dice que un módulo proyectivo sobre un anillo local es libre.
núcleo: El núcleo de un homomorfismo de módulo es la preimagen del elemento cero.
Complejo Koszul: Complejo Koszul
Krull–Schmidt: El teorema de Krull-Schmidt dice que (1) un módulo de longitud finita admite una descomposición indecomponible y (2) cualesquiera dos descomposiciones indecomponibles del mismo son equivalentes.

yo

longitud: La longitud de un módulo es la longitud común de cualquier serie de composición del módulo; la longitud es infinita si no hay ninguna serie de composición. En un cuerpo, la longitud se conoce más comúnmente como dimensión .
lineal: 1. Un mapa lineal es otro término para un homomorfismo de módulo .; 2. Topología lineal
localización: La localización de un módulo convierte los módulos R en módulos S , donde S es una localización de R.

METRO

Módulo Matlis

Módulo Matlis

Teorema de incrustación de Mitchell

Teorema de incrustación de Mitchell

Mittag-Leffler

Condición de Mittag-Leffler (ML)

módulo

1. Un módulo izquierdo sobre el anillo es un grupo abeliano con una operación (llamada multiplicación escalar) que satisface la siguiente condición:

{\estilo de visualización M}

{\estilo de visualización R}

{\estilo de visualización (M,+)}

R\veces M\a M

\para todos r,s\en R,\para todos m,n\en M

$r(m+n)=rm+rn$
$r(sm)=(rs)m$
$1_{R}\,m=m$

2. Un módulo recto sobre el anillo es un grupo abeliano con una operación que satisface la siguiente condición:

{\estilo de visualización M}

{\estilo de visualización R}

{\estilo de visualización (M,+)}

M\veces R\a M

\para todos r,s\en R,\para todos m,n\en M

$(m+n)r=mr+nr$
$(ms)r=r(sm)$
$m1_{R}=m$

3. Todos los módulos junto con todos los homomorfismos de módulos entre ellos forman la categoría de módulos .

espectro del módulo

Un espectro de módulo es un espectro con una acción de un espectro de anillo.

norte

nilpotente: Un endomorfismo nilpotente es un endomorfismo cuya potencia es cero.
Noetheriano: Un módulo noetheriano es un módulo en el que cada submódulo se genera de forma finita. De manera equivalente, cada cadena creciente de submódulos se vuelve estacionaria después de un número finito de pasos.
normal: formas normales para matrices

PAG

perfecto

1. complejo perfecto

2. módulo perfecto

principal

Un módulo principal indescomponible es un módulo proyectivo indescomponible cíclico.

primario

submódulo primario

descriptivo

La propiedad característica de los módulos proyectivos se llama elevación .

Un -módulo se denomina módulo proyectivo si, dado un homomorfismo de -módulo , y un homomorfismo de -módulo sobreyectivo , existe un homomorfismo de -módulo tal que .

{\estilo de visualización R}

{\estilo de visualización P}

{\estilo de visualización R}

g:P\to M

{\estilo de visualización R}

f:N\to M

{\estilo de visualización R}

h:P\to N

f\circ h=g

Las siguientes condiciones son equivalentes:

El funtor covariante es exacto . ${\textrm {Hom}}_{R}(P,-)$
${\estilo de visualización M}$ es un módulo proyectivo.
Cada secuencia corta y exacta se divide. $0\a L\a L'\a P\a 0$
${\estilo de visualización M}$ es una suma directa de módulos libres.

En particular, cada módulo libre es proyectivo.

2. La dimensión proyectiva de un módulo es la longitud mínima de (si existe) una resolución proyectiva finita del módulo; la dimensión es infinita si no hay una resolución proyectiva finita.

3. Una cubierta proyectiva es una sobreyección mínima de un módulo proyectivo.

submódulo puro

Q

Teorema de Quillen-Suslin: El teorema de Quillen-Suslin establece que un módulo proyectivo finito sobre un anillo polinomial es libre.
cociente: Dado un módulo izquierdo y un submódulo , el grupo cociente puede convertirse en un módulo izquierdo mediante . Se denomina módulo cociente o módulo factorial . ${\estilo de visualización R}$ ${\estilo de visualización M}$ ${\estilo de visualización N}$ ${\estilo de visualización M/N}$ ${\estilo de visualización R}$ $r(m+N)=rm+N$ $r\en R,\,m\en M$

R

radical: El radical de un módulo es la intersección de los submódulos máximos. Para los módulos artinianos, el submódulo más pequeño con cociente semisimple.
racional: forma canónica racional
reflexivo: Un módulo reflexivo es un módulo que es isomorfo a través del mapa natural a su segundo dual.
resolución: resolución
restricción: La restricción de escalares utiliza un homomorfismo de anillo de R a S para convertir S -módulos en R -módulos.

S

Chavón: Lema de Schanuel
Schur: El lema de Schur dice que el anillo de endomorfismo de un módulo simple es un anillo de división.
Shapiro: Lema de Shapiro
haz de módulos: haz de módulos
serpiente: lema de la serpiente
zócalo: El zócalo es el submódulo semisimple más grande.
semisimple: Un módulo semisimple es una suma directa de módulos simples.
simple: Un módulo simple es un módulo distinto de cero cuyos únicos submódulos son cero y él mismo.
Herrero: Forma normal de Smith
establemente libre: Un módulo estable y libre
teorema de estructura: El teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal dice que los módulos generados finitamente sobre PID son sumas directas finitas de módulos cíclicos primarios.
submódulo: Dado un -módulo , un subgrupo aditivo de es un submódulo si . ${\estilo de visualización R}$ ${\estilo de visualización M}$ ${\estilo de visualización N}$ ${\estilo de visualización M}$ $RN\subconjunto N$
apoyo: El soporte de un módulo sobre un anillo conmutativo es el conjunto de ideales primos en los que las localizaciones del módulo son distintas de cero.

yo

tensor: Producto tensorial de módulos
topológico: Un módulo topológico
Colina: Función Tor
Sin torsión: módulo libre de torsión
Sin torsión: módulo sin torsión

tú

uniforme: Un módulo uniforme es un módulo en el que cada dos submódulos distintos de cero tienen una intersección distinta de cero.

Yo

débil: dimensión débil

O

cero: 1. El módulo cero es un módulo que consta únicamente de elemento cero.; 2. El homomorfismo de módulo cero es un homomorfismo de módulo que asigna cada elemento a cero.

Referencias

John A. Beachy (1999). Lecciones introductorias sobre anillos y módulos (1.ª ed.). Addison-Wesley . ISBN 0-521-64407-0.
Golan, Jonathan S.; Head, Tom (1991), Módulos y estructura de anillos , Monografías y libros de texto en matemáticas puras y aplicadas, vol. 147, Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-8555-0, Sr. 1201818
Lam, Tsit-Yuen (1999), Lecciones sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas n.º 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, Sr. 1653294
Serge Lang (1993). Álgebra (3.ª ed.). Addison-Wesley . ISBN 0-201-55540-9.
Passman, Donald S. (1991), Un curso de teoría de anillos , The Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series, Pacific Grove, CA: Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, ISBN 978-0-534-13776-2, Sr. 1096302