En matemáticas , la estafa de Eilenberg-Mazur , llamada así por Samuel Eilenberg y Barry Mazur , es un método de demostración que involucra propiedades paradójicas de sumas infinitas. En topología geométrica fue introducida por Mazur (1959, 1961) y a menudo se la llama estafa de Mazur . En álgebra fue introducida por Samuel Eilenberg y se la conoce como estafa de Eilenberg o telescopio de Eilenberg (ver suma telescópica ).
La estafa de Eilenberg-Mazur es similar a la siguiente y conocida "prueba" en broma de que 1 = 0:
Esta "prueba" no es válida como afirmación acerca de los números reales porque la serie de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + ... no converge , pero el argumento análogo se puede usar en algunos contextos donde hay algún tipo de "adición" definida en algunos objetos para los cuales las sumas infinitas sí tienen sentido, para mostrar que si A + B = 0 entonces A = B = 0.
En topología geométrica la adición utilizada en la estafa es usualmente la suma conexa de nudos o variedades .
Ejemplo (Rolfsen 1990, capítulo 4B): Una aplicación típica de la estafa de Mazur en topología geométrica es la prueba de que la suma de dos nudos no triviales A y B no es trivial. Para los nudos es posible tomar sumas infinitas haciendo los nudos cada vez más pequeños, por lo que si A + B es trivial entonces
Por lo tanto, A es trivial (y B, por un argumento similar). La suma infinita de nudos suele ser un nudo salvaje , no un nudo domesticado . Véase (Poénaru 2007) para más ejemplos geométricos.
Ejemplo : Las variedades n orientadas tienen una operación de adición dada por suma conexa, siendo 0 la n -esfera. Si A + B es la n -esfera, entonces A + B + A + B + ... es el espacio euclidiano, por lo que la estafa de Mazur muestra que la suma conexa de A y el espacio euclidiano es el espacio euclidiano, lo que demuestra que A es la compactificación de 1 punto del espacio euclidiano y, por lo tanto, A es homeomorfa a la n -esfera. (Esto no demuestra en el caso de variedades suaves que A sea difeomorfa a la n -esfera, y en algunas dimensiones, como 7, hay ejemplos de esferas exóticas A con inversas que no son difeomorfas a la n -esfera estándar).
En álgebra la adición utilizada en la estafa es usualmente la suma directa de módulos sobre un anillo .
Ejemplo: Una aplicación típica de la estafa de Eilenberg en álgebra es la prueba de que si A es un módulo proyectivo sobre un anillo R entonces hay un módulo libre F con A ⊕ F ≅ F . [1] Para ver esto, elija un módulo B tal que A ⊕ B sea libre, lo que se puede hacer ya que A es proyectivo, y ponga
de modo que
Ejemplo : (Eisenbud 1995, p.121) Los módulos libres finitamente generados sobre anillos conmutativos R tienen un número natural bien definido como su dimensión que es aditivo bajo sumas directas, y son isomorfos si y sólo si tienen la misma dimensión.
Esto es falso para algunos anillos no conmutativos, y se puede construir un contraejemplo usando la estafa de Eilenberg de la siguiente manera. Sea X un grupo abeliano tal que X ≅ X ⊕ X (por ejemplo, la suma directa de un número infinito de copias de cualquier grupo abeliano distinto de cero), y sea R el anillo de endomorfismos de X . Entonces el R -módulo izquierdo R es isomorfo al R -módulo izquierdo R ⊕ R .
Ejemplo : (Lam 2003, Ejercicio 8.16) Si A y B son grupos cualesquiera, entonces se puede utilizar la estafa de Eilenberg para construir un anillo R tal que los anillos de grupo R [ A ] y R [ B ] sean anillos isomorfos: tome R como el anillo de grupo del producto directo restringido de infinitas copias de A ⨯ B .
La demostración del teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder podría considerarse un antecedente de la estafa de Eilenberg-Mazur. De hecho, las ideas son bastante similares. Si hay inyecciones de conjuntos de X a Y y de Y a X , esto significa que formalmente tenemos X = Y + A e Y = X + B para algunos conjuntos A y B , donde + significa unión disjunta y = significa que hay una biyección entre dos conjuntos. Desarrollando el primero con el segundo,
En esta biyección, sea Z el conjunto de elementos del lado izquierdo que corresponden a un elemento de X en el lado derecho. Esta biyección se expande entonces a la biyección
Sustituyendo el lado derecho de X en Y = B + X se obtiene la biyección
Al cambiar cada par adyacente B + A se obtiene
Al componer la biyección para X con la inversa de la biyección para Y se obtiene
Este argumento dependía de las biyecciones A + B = B + A y A + ( B + C ) = ( A + B ) + C así como de la buena definición de la unión disjunta infinita.
