Esfera exótica

Variedad suave que es homeomorfa pero no difeomorfa a una esfera

En un área de las matemáticas llamada topología diferencial , una esfera exótica es una variedad diferenciable M que es homeomorfa pero no difeomorfa con respecto a la n -esfera euclidiana estándar . Es decir, M es una esfera desde el punto de vista de todas sus propiedades topológicas, pero que tiene una estructura suave que no es la habitual (de ahí el nombre de "exótica").

Las primeras esferas exóticas fueron construidas por John Milnor  (1956) en dimensión como - fibrados sobre . Demostró que hay al menos 7 estructuras diferenciables en la 7-esfera. En cualquier dimensión Milnor (1959) demostró que las clases de difeomorfismo de esferas exóticas orientadas forman los elementos no triviales de un monoide abeliano bajo suma conexa, que es un grupo abeliano finito si la dimensión no es 4. La clasificación de esferas exóticas por Michel Kervaire y Milnor (1963) mostró que las 7-esferas exóticas orientadas son los elementos no triviales de un grupo cíclico de orden 28 bajo la operación de suma conexa . ${\displaystyle n=7}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{4}}$

En términos más generales, en cualquier dimensión n ≠ 4 , existe un grupo abeliano finito cuyos elementos son las clases de equivalencia de estructuras suaves en S ⁿ , donde dos estructuras se consideran equivalentes si existe un difeomorfismo que preserva la orientación y que lleva una estructura a la otra. La operación de grupo se define mediante [x] + [y] = [x + y], donde x e y son representantes arbitrarios de sus clases de equivalencia, y x + y denota la estructura suave en el S ⁿ suave que es la suma conexa de x e y. Es necesario demostrar que dicha definición no depende de las elecciones realizadas; de hecho, esto se puede demostrar.

Introducción

La unidad n -esfera, , es el conjunto de todas las ( n +1)-tuplas de números reales, tales que la suma . Por ejemplo, es un círculo, mientras que es la superficie de una bola ordinaria de radio uno en 3 dimensiones. Los topólogos consideran que un espacio X es una n -esfera si hay un homeomorfismo entre ellos, es decir, cada punto en X puede asignarse a exactamente un punto en la unidad n -esfera por una biyección continua con inversa continua. Por ejemplo, un punto x en una n -esfera de radio r puede coincidir homeomórficamente con un punto en la unidad n -esfera multiplicando su distancia desde el origen por . De manera similar, un n -cubo de cualquier radio es homeomorfo a una n -esfera. ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})}$ ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n+1}^{2}=1}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle 1/r}$

En topología diferencial , dos variedades suaves se consideran suavemente equivalentes si existe un difeomorfismo de una a la otra, que es un homeomorfismo entre ellas, con la condición adicional de que sea suave —es decir, debe tener derivadas de todos los órdenes en todos sus puntos— y su homeomorfismo inverso también debe ser suave. Para calcular las derivadas, es necesario tener sistemas de coordenadas locales definidos de manera consistente en X. Los matemáticos (incluido el propio Milnor) se sorprendieron en 1956 cuando Milnor demostró que se podían establecer sistemas de coordenadas locales consistentes en la 7-esfera de dos maneras diferentes que eran equivalentes en el sentido continuo, pero no en el sentido diferenciable. Milnor y otros se propusieron descubrir cuántas de esas esferas exóticas podrían existir en cada dimensión y comprender cómo se relacionan entre sí. No son posibles estructuras exóticas en las 1-, 2-, 3-, 5-, 6-, 12-, 56- o 61-esferas. ^[1] Algunas esferas de dimensiones superiores tienen sólo dos estructuras diferenciables posibles, mientras que otras tienen miles. Si existen 4-esferas exóticas y, en caso afirmativo, cuántas, es un problema sin resolver .

Clasificación

El monoide de estructuras lisas en n -esferas es la colección de n -variedades lisas orientadas que son homeomorfas a la n -esfera, llevadas hasta el difeomorfismo que preserva la orientación. La operación monoide es la suma conexa . Siempre que , este monoide sea un grupo y sea isomorfo al grupo de clases de h -cobordismo de homotopía orientada n -esferas , que es finito y abeliano. En dimensión 4 casi nada se sabe acerca del monoide de esferas lisas, más allá de los hechos de que es finito o infinito numerable, y abeliano, aunque se sospecha que es infinito; vea la sección sobre giros de Gluck. Todas las n -esferas de homotopía son homeomorfas a la n -esfera por la conjetura de Poincaré generalizada , demostrada por Stephen Smale en dimensiones mayores que 4, Michael Freedman en dimensión 4 y Grigori Perelman en dimensión 3. En dimensión 3, Edwin E. Moise demostró que cada variedad topológica tiene una estructura suave esencialmente única (véase el teorema de Moise ), por lo que el monoide de estructuras suaves en la 3-esfera es trivial. ${\displaystyle n\neq 4}$ ${\displaystyle \Theta _{n}}$

Variedades paralelizables

El grupo tiene un subgrupo cíclico ${\displaystyle \Theta _{n}}$

${\displaystyle bP_{n+1}}$

representadas por n -esferas que delimitan variedades paralelizables . Las estructuras de y el cociente ${\displaystyle bP_{n+1}}$

${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}}$

Se describen por separado en el artículo ( Kervaire & Milnor  1963), que influyó en el desarrollo de la teoría de la cirugía . De hecho, estos cálculos se pueden formular en un lenguaje moderno en términos de la secuencia exacta de la cirugía, como se indica aquí .

El grupo es un grupo cíclico, y es trivial o de orden 2 excepto en el caso , en cuyo caso puede ser grande, con su orden relacionado con los números de Bernoulli . Es trivial si n es par. Si n es 1 módulo 4 tiene orden 1 o 2; en particular tiene orden 1 si n es 1, 5, 13, 29 o 61, y William Browder  (1969) demostró que tiene orden 2 si módulo 4 no es de la forma . Se deduce del problema del invariante de Kervaire, ahora casi completamente resuelto , que tiene orden 2 para todo n mayor que 126; el caso aún está abierto. El orden de para es ${\displaystyle bP_{n+1}}$ ${\displaystyle n=4k+3}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle 2^{k}-3}$ ${\displaystyle n=126}$ ${\displaystyle bP_{4k}}$ ${\displaystyle k\geq 2}$

${\displaystyle 2^{2k-2}(2^{2k-1}-1)B,}$

donde B es el numerador de , y es un número de Bernoulli . (La fórmula en la literatura topológica difiere ligeramente porque los topólogos usan una convención diferente para nombrar los números de Bernoulli; este artículo usa la convención de los teóricos de números). ${\displaystyle 4B_{2k}/k}$ ${\displaystyle B_{2k}}$

Mapa entre cocientes

El grupo cociente tiene una descripción en términos de grupos de homotopía estables de esferas módulo la imagen del J-homomorfismo ; es igual al cociente o índice 2. Más precisamente, hay una función inyectiva. ${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}}$

${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}\to \pi _{n}^{S}/J,}$

donde es el n- ésimo grupo de homotopía estable de esferas, y J es la imagen del J -homomorfismo. Al igual que con , la imagen de J es un grupo cíclico, y es trivial o de orden 2 excepto en el caso , en cuyo caso puede ser grande, con su orden relacionado con los números de Bernoulli . El grupo cociente es la parte "dura" de los grupos de homotopía estables de esferas, y en consecuencia es la parte difícil de las esferas exóticas, pero se reduce casi por completo al cálculo de grupos de homotopía de esferas. La función es un isomorfismo (la imagen es el grupo completo), o una función inyectiva con índice 2. Este último es el caso si y solo si existe una variedad enmarcada n -dimensional con invariante de Kervaire 1, que se conoce como el problema del invariante de Kervaire . Por lo tanto, un factor de 2 en la clasificación de esferas exóticas depende del problema del invariante de Kervaire. ${\displaystyle \pi _{n}^{S}}$ ${\displaystyle bP_{n+1}}$ ${\displaystyle n=4k+3}$ ${\displaystyle \pi _{n}^{S}/J}$ ${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}}$

El problema del invariante de Kervaire está casi completamente resuelto, quedando solo el caso abierto, aunque Zhouli Xu (en colaboración con Weinan Lin y Guozhen Wang), anunció durante un seminario en la Universidad de Princeton, el 30 de mayo de 2024, que el caso final de dimensión 126 ha sido resuelto y que existen variedades de invariante de Kervaire 1 en dimensión 126. Trabajos previos de Browder (1969), demostraron que tales variedades solo existían en dimensión , y Hill, Hopkins y Ravenel (2016), que demostraron que no existían tales variedades para dimensión y superiores. Se han construido variedades con invariante de Kervaire 1 en dimensión 2, 6, 14, 30. Si bien se sabe que hay variedades de invariante de Kervaire 1 en dimensión 62, aún no se ha construido ninguna variedad de ese tipo. Lo mismo ocurre con la dimensión 126. ${\displaystyle n=126}$ ${\displaystyle n=2^{j}-2}$ ${\displaystyle 254=2^{8}-2}$

Orden de Θnorte

El orden del grupo se da en esta tabla (secuencia A001676 en la OEIS ) de (Kervaire y Milnor 1963) (excepto que la entrada para es errónea por un factor de 2 en su artículo; vea la corrección en el volumen III p. 97 de las obras completas de Milnor). ${\displaystyle \Theta _{n}}$ ${\displaystyle n=19}$

Nótese que para dim , entonces son , , , y . Se pueden calcular más entradas en esta tabla a partir de la información anterior junto con la tabla de grupos de homotopía estables de esferas . ${\displaystyle n=4k-1}$ ${\displaystyle \theta _{n}}$ ${\displaystyle 28=2^{2}(2^{3}-1)}$ ${\displaystyle 992=2^{5}(2^{5}-1)}$ ${\displaystyle 16256=2^{7}(2^{7}-1)}$ ${\displaystyle 523264=2^{10}(2^{9}-1)}$

Mediante cálculos de grupos de homotopía estables de esferas, Wang y Xu (2017) demuestran que la esfera S ⁶¹ tiene una estructura suave única y que es la última esfera de dimensión impar con esta propiedad; las únicas son S ¹ , S ³ , S ⁵ y S ⁶¹ .

Ejemplos explícitos de esferas exóticas

Cuando me encontré con un ejemplo de este tipo a mediados de los años 50, me quedé muy perplejo y no sabía qué hacer con él. Al principio, pensé que había encontrado un contraejemplo de la conjetura generalizada de Poincaré en dimensión siete. Pero un estudio cuidadoso mostró que la variedad realmente era homeomorfa a . Por lo tanto, existe una estructura diferenciable en no difeomorfa a la estándar. ${\displaystyle S^{7}}$ ${\displaystyle S^{7}}$

John Milnor (2009, pág. 12)

La construcción de Milnor

Uno de los primeros ejemplos de una esfera exótica encontrados por Milnor (1956, sección 3) fue el siguiente. Sea la bola unidad en , y sea su frontera —una 3-esfera que identificamos con el grupo de cuaterniones unidad . Ahora tome dos copias de , cada una con frontera , y péguelas juntas identificando en la primera frontera con en la segunda frontera. La variedad resultante tiene una estructura suave natural y es homeomorfa a , pero no es difeomorfa a . Milnor demostró que no es la frontera de ninguna 8-variedad suave con cuarto número de Betti que se desvanece, y no tiene difeomorfismo de inversión de orientación a sí misma; cualquiera de estas propiedades implica que no es una 7-esfera estándar. Milnor demostró que esta variedad tiene una función de Morse con solo dos puntos críticos , ambos no degenerados, lo que implica que es topológicamente una esfera. ${\displaystyle B^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle B^{4}\times S^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}\times S^{3}}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (a,a^{2}ba^{-1})}$ ${\displaystyle S^{7}}$ ${\displaystyle S^{7}}$

Esferas de Brieskorn

Como lo demuestra Egbert Brieskorn  (1966, 1966b) (ver también (Hirzebruch y Mayer 1968)) la intersección de la variedad compleja de puntos en la satisfacción ${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{3}+e^{6k-1}=0\ }$

con una pequeña esfera alrededor del origen para da las 28 posibles estructuras lisas en la esfera 7 orientada. Variedades similares se denominan esferas de Brieskorn . ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,28}$

Esferas retorcidas

Dado un difeomorfismo (que preserva la orientación) , al unir los límites de dos copias del disco estándar mediante f se obtiene una variedad llamada esfera torcida (con torsión f ). Es homotópicamente equivalente a la n -esfera estándar porque la función de unión es homotópica a la identidad (al ser un difeomorfismo que preserva la orientación, por lo tanto de grado 1), pero en general no difeomórfica a la esfera estándar. (Milnor 1959b) Al establecer que sea el grupo de n -esferas torcidas (bajo suma conexa), se obtiene la secuencia exacta ${\displaystyle f\colon S^{n-1}\to S^{n-1}}$ ${\displaystyle D^{n}}$ ${\displaystyle \Gamma _{n}}$

${\displaystyle \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(D^{n})\to \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(S^{n-1})\to \Gamma _{n}\to 0.}$

Para , cada n -esfera exótica es difeomorfa a una esfera torcida, un resultado probado por Stephen Smale que puede verse como una consecuencia del teorema del h -cobordismo . (En contraste, en la configuración lineal por partes la función más a la izquierda es sobre mediante extensión radial : cada esfera torcida lineal por partes es estándar.) El grupo de esferas torcidas siempre es isomorfa al grupo . Las notaciones son diferentes porque al principio no se sabía que eran las mismas para o 4; por ejemplo, el caso es equivalente a la conjetura de Poincaré . ${\displaystyle n>5}$ ${\displaystyle \Gamma _{n}}$ ${\displaystyle \Theta _{n}}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle n=3}$

En 1970, Jean Cerf demostró el teorema de pseudoisotopía , que implica que es el grupo trivial siempre que , y por lo tanto siempre que . ${\displaystyle \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(D^{n})}$ ${\displaystyle n\geq 6}$ ${\displaystyle \Gamma _{n}\simeq \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(S^{n-1})}$ ${\displaystyle n\geq 6}$

Aplicaciones

Si M es una variedad lineal por partes , entonces el problema de encontrar las estructuras suaves compatibles en M depende del conocimiento de los grupos Γ _k = Θ _k . Más precisamente, las obstrucciones a la existencia de cualquier estructura suave residen en los grupos H _k+1 ( M , Γ _k ) para varios valores de k , mientras que si existe tal estructura suave, entonces todas esas estructuras suaves pueden clasificarse utilizando los grupos H _k ( M , Γ _k ) . En particular, los grupos Γ _k se anulan si k < 7 , por lo que todas las variedades PL de dimensión como máximo 7 tienen una estructura suave, que es esencialmente única si la variedad tiene dimensión como máximo 6.

Los siguientes grupos abelianos finitos son esencialmente los mismos:

• El grupo Θ _n de h-cobordismo agrupa clases de n- esferas de homotopía orientada.
• El grupo de clases de h-cobordismo de n -esferas orientadas.
• El grupo Γ _n de n -esferas orientadas y retorcidas.
• El grupo de homotopía π _n (PL/DIFF)
• Si n ≠ 3 , el grupo de homotopía π _n (TOP/DIFF) (si n = 3 este grupo tiene orden 2; ver invariante de Kirby–Siebenmann ).
• El grupo de estructuras suaves de una PL n -esfera orientada.
• Si n ≠ 4 , el grupo de estructuras suaves de una n -esfera topológica orientada.
• Si n ≠ 5 , el grupo de componentes del grupo de todos los difeomorfismos que preservan la orientación de S ^{n −1} .

Esferas exóticas de 4 dimensiones y giros de Gluck

En 4 dimensiones no se sabe si existen estructuras suaves exóticas en la 4-esfera. La afirmación de que no existen se conoce como la "conjetura de Poincaré suave", y Michael Freedman , Robert Gompf y Scott Morrison et al. (2010) la discuten y dicen que se cree que es falsa.

Algunos candidatos propuestos para 4-esferas exóticas son las esferas de Cappell-Shaneson ( Sylvain Cappell y Julius Shaneson  (1976)) y las derivadas por giros de Gluck (Gluck 1962). Las esferas de giro de Gluck se construyen cortando un vecindario tubular de una 2-esfera S en S ⁴ y pegándolo nuevamente usando un difeomorfismo de su límite S ² × S ¹ . El resultado siempre es homeomorfo a S ⁴ . Muchos casos a lo largo de los años fueron descartados como posibles contraejemplos a la conjetura de Poincaré suave de 4 dimensiones. Por ejemplo, Cameron Gordon  (1976), José Montesinos (1983), Steven P. Plotnick (1984), Gompf (1991), Habiro, Marumoto y Yamada (2000), Selman Akbulut  (2010), Gompf (2010), Kim y Yamada (2017).

Véase también

• La esfera de Milnor
• Atlas (topología)
• Construcción de embrague
• R ⁴ exótico
• Teoría de Cerf
• Espacio de siete dimensiones

Referencias

1. Behrens, M.; Hill, M.; Hopkins, MJ; Mahowald, M. (2020). "Detección de esferas exóticas en dimensiones bajas utilizando coker J". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . 101 (3): 1173–1218. arXiv : 1708.06854 . doi :10.1112/jlms.12301. ISSN  1469-7750. S2CID  119170255.

• Akbulut, Selman (2010), "Las esferas de homotopía de Cappell–Shaneson son estándar", Annals of Mathematics , 171 (3): 2171–2175, arXiv : 0907.0136 , doi :10.4007/annals.2010.171.2171, S2CID  754611
• Brieskorn, Egbert V. (1966), "Ejemplos de espacios complejos normales singulares que son variedades topológicas", Actas de la Academia Nacional de Ciencias , 55 (6): 1395–1397, Bibcode :1966PNAS...55.1395B, doi : 10.1073/pnas.55.6.1395 , MR  0198497, PMC  224331 , PMID  16578636
• Brieskorn, Egbert (1966b), "Beispiele zur Differentialtopologie von Singularitäten", Invent. Matemáticas. , 2 (1): 1–14, Bibcode :1966InMat...2....1B, doi :10.1007/BF01403388, MR  0206972, S2CID  123268657
• Browder, William (1969), "El invariante de Kervaire de variedades enmarcadas y su generalización", Annals of Mathematics , 90 (1): 157–186, doi :10.2307/1970686, JSTOR  1970686, MR  0251736
• Cappell, Sylvain E. ; Shaneson, Julius L. (1976), "Algunas nuevas variedades de cuatro", Annals of Mathematics , 104 (1): 61–72, doi :10.2307/1971056, JSTOR  1971056
• Freedman, Michael ; Gompf, Robert; Morrison, Scott; Walker, Kevin (2010), "El hombre y la máquina piensan en la conjetura de Poincaré de cuatro dimensiones lisa", Topología cuántica , 1 (2): 171–208, arXiv : 0906.5177 , doi :10.4171/qt/5, S2CID  18029746
• Gluck, Herman (1962), "La incrustación de dos esferas en la de cuatro esferas", Transactions of the American Mathematical Society , 104 (2): 308–333, doi : 10.2307/1993581 , JSTOR  1993581, MR  0146807
• Hughes, Mark; Kim, Seungwon; Miller, Maggie (2018), Los giros de Gluck de S ⁴ son difeomórficos a S ⁴ , arXiv : 1804.09169v1
• Gompf, Robert E (1991), "Matando la 4-esfera de Akbulut-Kirby, con relevancia para los problemas de Andres-Curtis y Schoenflies", Topology , 30 : 123–136, doi : 10.1016/0040-9383(91)90036-4
• Gompf, Robert E (2010), "Hay más esferas de Cappell-Shaneson estándar", Topología algebraica y geométrica , 10 (3): 1665–1681, arXiv : 0908.1914 , doi :10.2140/agt.2010.10.1665, S2CID  16936498
• Gordon, Cameron McA. (1976), "Nudos en las 4 esferas", Commentarii Mathematici Helvetici , 51 : 585–596, doi :10.1007/BF02568175, S2CID  119479183
• Habiro, Kazuo; Marumoto, Yoshihiko; Yamada, Yuichi (2000), "Cirugía de Gluck y enlaces enmarcados en variedades de 4", Series on Knots and Everything , 24 , World Scientific: 80–93, ISBN 978-9810243401
• Hill, Michael A.; Hopkins, Michael J. ; Ravenel, Douglas C. (2016) [Publicado por primera vez como arXiv 2009]. "Sobre la no existencia de elementos del invariante uno de Kervaire". Anales de Matemáticas . 184 (1): 1–262. arXiv : 0908.3724 . doi :10.4007/annals.2016.184.1.1. S2CID  13007483.
• Hirzebruch, Friedrich; Mayer, Karl Heinz (1968), O(n)-Mannigfaltigkeiten, exotische Sphären und Singularitäten , Lecture Notes in Mathematics, vol. 57, Berlín-Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0074355, ISBN 978-3-540-04227-3, Sr.  0229251Este libro describe el trabajo de Brieskorn que relaciona esferas exóticas con singularidades de variedades complejas.
• Kervaire, Michel A. ; Milnor, John W. (1963). "Grupos de esferas de homotopía: I" (PDF) . Anales de Matemáticas . 77 (3): 504–537. doi :10.2307/1970128. JSTOR  1970128. MR  0148075.– Este artículo describe la estructura del grupo de estructuras suaves en una n -esfera para n > 4. El artículo prometido "Grupos de esferas de homotopía: II" nunca apareció, pero las notas de clase de Levine contienen el material que se podría haber esperado que contuviera.
• Kim, Min Hoon; Yamada, Shohei (2017), Clases ideales y homotopía de Cappell-Shaneson de 4 esferas , arXiv : 1707.03860v1
• Levine, Jerome P. (1985), "Conferencias sobre grupos de esferas de homotopía", Topología algebraica y geométrica , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1126, Berlín-Nueva York: Springer-Verlag, págs. 62–95, doi :10.1007/BFb0074439, ISBN 978-3-540-15235-4, Sr.  8757031
• Milnor, John W. (1956), "Sobre variedades homeomorfas a la 7-esfera", Annals of Mathematics , 64 (2): 399–405, doi :10.2307/1969983, JSTOR  1969983, MR  0082103, S2CID  18780087
• Milnor, John W. (1959), "Sommes de variétés différentiables etstructures différentiables des sphères", Bulletin de la Société Mathématique de France , 87 : 439–444, doi : 10.24033/bsmf.1538 , SEÑOR  0117744
• Milnor, John W. (1959b), "Estructuras diferenciables en esferas", American Journal of Mathematics , 81 (4): 962–972, doi :10.2307/2372998, JSTOR  2372998, MR  0110107
• Milnor, John (2000), "Clasificación de variedades -dimensionales -conexas y el descubrimiento de esferas exóticas", en Cappell, Sylvain ; Ranicki, Andrew ; Rosenberg, Jonathan (eds.), Encuestas sobre teoría de la cirugía: Volumen 1 , Annals of Mathematics Studies 145, Princeton University Press, págs. 25-30, ISBN ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle 2n}$ 9780691049380, Sr.  1747528.
• Milnor, John Willard (2009), "Hace cincuenta años: topología de variedades en los años 50 y 60" (PDF) , en Mrowka, Tomasz S. ; Ozsváth, Peter S. (eds.), Topología de baja dimensión. Notas de clase de la 15.ª Escuela de verano de posgrado del Park City Mathematics Institute (PCMI) celebrada en Park City, UT, en el verano de 2006. , IAS/Park City Math. Ser., vol. 15, Providence, RI: American Mathematical Society, págs. 9-20, ISBN 978-0-8218-4766-4, Sr.  2503491
• Milnor, John W. (2011), "Topología diferencial cuarenta y seis años después" (PDF) , Avisos de la American Mathematical Society , 58 (6): 804–809
• Montesinos, José M. (1983), "Sobre los gemelos en la cuatriesfera I" (PDF) , The Quarterly Journal of Mathematics , 34 (6): 171–199, doi :10.1093/qmath/34.2.171
• Plotnick, Steven P (1984), Gordon, Cameron McA. (ed.), Nudos fibrosos en – torsión, hilado, laminación, cirugía y ramificación ${\displaystyle S^{4}}$ , American Mathematical Society, Contemporary Mathematics Volumen 35, págs. 437–459, ISBN 978-0-8218-5033-6.
• Wang, Guozhen; Xu, Zhouli (2017), "La trivialidad del tallo 61 en los grupos de homotopía estable de esferas", Annals of Mathematics , 186 (2): 501–580, arXiv : 1601.02184 , doi :10.4007/annals.2017.186.2.3, MR  3702672, S2CID  119147703.
• Rudyak, Yuli B. (2001) [1994], "Esfera de Milnor", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

Enlaces externos

• Esferas exóticas en el Atlas Manifold
• Página de inicio de Exotic Sphere en la página de inicio de Andrew Ranicki. Material de referencia variado relacionado con las esferas exóticas.
• Una animación de 7 esferas exóticas. Vídeo de una presentación de Niles Johnson en la segunda conferencia de Abel en honor a John Milnor .
• La construcción de Gluck en el Atlas Manifold