Teoría de Cerf

Estudio de funciones reales suaves en variedades y sus singularidades

En matemáticas , en la intersección de la teoría de la singularidad y la topología diferencial , la teoría de Cerf es el estudio de familias de funciones suaves de valor real.

${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$

en una variedad suave , sus singularidades genéricas y la topología de los subespacios que estas singularidades definen, como subespacios del espacio de funciones. La teoría recibe su nombre de Jean Cerf , quien la inició a fines de la década de 1960. ${\displaystyle M}$

Un ejemplo

Marston Morse demostró que, siempre que sea compacta, cualquier función suave puede aproximarse mediante una función de Morse . Por lo tanto, para muchos propósitos, se pueden reemplazar funciones arbitrarias en por funciones de Morse. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M}$

Como siguiente paso, uno podría preguntar, 'si tienes una familia de funciones de un parámetro que empiezan y terminan en funciones de Morse, ¿puedes suponer que toda la familia es Morse?' En general, la respuesta es no. Consideremos, por ejemplo, la familia de funciones de un parámetro dada por ${\displaystyle M=\mathbb {R} }$

${\displaystyle f_{t}(x)=(1/3)x^{3}-tx.}$

En el momento , no tiene puntos críticos, pero en el momento , es una función Morse con dos puntos críticos en . ${\displaystyle t=-1}$ ${\displaystyle t=1}$ ${\displaystyle x=\pm 1}$

Cerf demostró que una familia de funciones de un parámetro entre dos funciones de Morse puede aproximarse mediante una que sea Morse en todos los tiempos degenerados, excepto en un número finito de veces. Las degeneraciones implican una transición de nacimiento/muerte de puntos críticos, como en el ejemplo anterior cuando, en , se crean puntos críticos de índice 0 y de índice 1 a medida que aumenta. ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle t}$

Aestratificaciónde un espacio de dimensión infinita

Volviendo al caso general donde es una variedad compacta, denotemos el espacio de funciones de Morse en , y el espacio de funciones suaves de valor real en . Morse demostró que es un subconjunto abierto y denso en la topología. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {Morse} (M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {Func} (M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {Morse} (M)\subset \operatorname {Func} (M)}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$

Para efectos de intuición, he aquí una analogía. Piense en las funciones de Morse como el estrato abierto de dimensión superior en una estratificación de (no afirmamos que exista tal estratificación, pero supongamos que existe). Nótese que en espacios estratificados, el estrato abierto de co-dimensión 0 es abierto y denso. Para efectos de notación, invierta las convenciones para indexar las estratificaciones en un espacio estratificado e indexe los estratos abiertos no por su dimensión, sino por su co-dimensión. Esto es conveniente ya que es de dimensión infinita si no es un conjunto finito. Por suposición, el estrato abierto de co-dimensión 0 de es , es decir: . En un espacio estratificado , con frecuencia está desconectado. La propiedad esencial del estrato de co-dimensión 1 es que cualquier camino en el que comienza y termina en puede aproximarse por un camino que interseca transversalmente en un número finito de puntos, y no interseca para ningún . ${\displaystyle \operatorname {Func} (M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Func} (M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {Func} (M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Morse} (M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Func} (M)^{0}=\operatorname {Morse} (M)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{0}}$ ${\displaystyle X^{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{0}}$ ${\displaystyle X^{1}}$ ${\displaystyle X^{i}}$ ${\displaystyle i>1}$

Así, la teoría de Cerf es el estudio de los estratos codimensionales positivos de , es decir: para . En el caso de ${\displaystyle \operatorname {Func} (M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Func} (M)^{i}}$ ${\displaystyle i>0}$

${\displaystyle f_{t}(x)=x^{3}-tx}$,

Sólo porque la función no es Morse, y ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle f_{0}(x)=x^{3}}$

tiene un punto crítico degenerado cúbico correspondiente a la transición nacimiento/muerte.

Un único parámetro de tiempo, enunciado del teorema

El teorema de Morse afirma que si es una función Morse, entonces cerca de un punto crítico es conjugada a una función de la forma ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=f(p)+\epsilon _{1}x_{1}^{2}+\epsilon _{2}x_{2}^{2}+\dotsb +\epsilon _{n}x_{n}^{2}}$

dónde . ${\displaystyle \epsilon _{i}\in \{\pm 1\}}$

El teorema de un parámetro de Cerf afirma la propiedad esencial del estrato de co-dimensión uno.

Precisamente, si es una familia de un parámetro de funciones suaves en con , y Morse, entonces existe una familia de un parámetro suave tal que , es uniformemente cercano a en la topología de funciones . Además, es Morse en todos los casos, excepto en un número finito de veces. En un tiempo no Morse, la función tiene solo un punto crítico degenerado , y cerca de ese punto la familia es conjugada a la familia ${\displaystyle f_{t}\colon M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle f_{0},f_{1}}$ ${\displaystyle F_{t}\colon M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F_{0}=f_{0},F_{1}=f_{1}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle M\times [0,1]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F_{t}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F_{t}}$

${\displaystyle g_{t}(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=f(p)+x_{1}^{3}+\epsilon _{1}tx_{1}+\epsilon _{2}x_{2}^{2}+\dotsb +\epsilon _{n}x_{n}^{2}}$

donde . Si se trata de una familia de funciones de un parámetro donde se crean dos puntos críticos (a medida que aumenta), y para es una familia de funciones de un parámetro donde se destruyen dos puntos críticos. ${\displaystyle \epsilon _{i}\in \{\pm 1\},t\in [-1,1]}$ ${\displaystyle \epsilon _{1}=-1}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \epsilon _{1}=1}$

Orígenes

El problema PL - Schoenflies para fue resuelto por JW Alexander en 1924. Su prueba fue adaptada al caso liso por Morse y Emilio Baiada . ^[1] La propiedad esencial fue utilizada por Cerf para demostrar que todo difeomorfismo que preserva la orientación de es isotópico a la identidad, ^[2] visto como una extensión de un parámetro del teorema de Schoenflies para . El corolario en ese momento tenía amplias implicaciones en topología diferencial. La propiedad esencial fue utilizada más tarde por Cerf para demostrar el teorema de pseudo-isotopía ^[3] para variedades simplemente conexas de alta dimensión. La prueba es una extensión de un parámetro de la prueba de Stephen Smale del teorema del h-cobordismo (la reescritura de la prueba de Smale en el marco funcional fue realizada por Morse, y también por John Milnor ^[4] y por Cerf, André Gramain y Bernard Morin ^[5] siguiendo una sugerencia de René Thom ). ${\displaystyle S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \Gamma _{4}=0}$

La prueba de Cerf se basa en el trabajo de Thom y John Mather . ^[6] Un resumen moderno útil del trabajo de Thom y Mather de ese período es el libro de Marty Golubitsky y Victor Guillemin . ^[7]

Aplicaciones

Además de las aplicaciones mencionadas anteriormente, Robion Kirby utilizó la teoría de Cerf como un paso clave para justificar el cálculo de Kirby .

Generalización

Francis Sergeraert desarrolló finalmente una estratificación del complemento de un subespacio de co-dimensión infinita del espacio de mapas suaves . ^[8] ${\displaystyle \{f\colon M\to \mathbb {R} \}}$

Durante los años setenta, el problema de clasificación para pseudoisotopías de variedades no simplemente conexas fue resuelto por Allen Hatcher y John Wagoner, ^[9] descubriendo obstrucciones algebraicas ${\displaystyle K_{i}}$ en ( ) y ( ) y por Kiyoshi Igusa , descubriendo obstrucciones de naturaleza similar en ( ). ^[10] ${\displaystyle \pi _{1}M}$ ${\displaystyle i=2}$ ${\displaystyle \pi _{2}M}$ ${\displaystyle i=1}$ ${\displaystyle \pi _{1}M}$ ${\displaystyle i=3}$

Referencias

1. Morse, Marston ; Baiada, Emilio (1953), "Homotopía y homología relacionadas con el problema de las moscas de Schoen", Annals of Mathematics , 2, 58 (1): 142–165, doi :10.2307/1969825, JSTOR  1969825, MR  0056922
2. Cerf, Jean (1968), Sur les difféomorphismes de la sphère de dimension trois ( ) , Lecture Notes in Mathematics, vol. 53, Berlín-Nueva York: Springer-Verlag ${\displaystyle \Gamma _{4}=0}$
3. Cerf, Jean (1970), "La estratificación natural de los espacios de funciones différentiables réelles et le théorème de la pseudo-isotopie", Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS , 39 : 5–173, doi :10.1007/BF02684687
4. John Milnor , Lecciones sobre el teorema del h-cobordismo, Notas de Laurent C. Siebenmann y Jonathan Sondow, Princeton Math. Notes 1965
5. Le theoreme du h-cobordisme (Smale) Notas de Jean Cerf y André Gramain ( École Normale Supérieure , 1968).
6. John N. Mather , Clasificación de gérmenes estables mediante álgebras R, Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS (1969)
7. Marty Golubitsky , Victor Guillemin , Aplicaciones estables y sus singularidades. Springer-Verlag Graduate Texts in Mathematics 14 (1973)
8. Sergeraert, Francisco (1972). "Un teorema de funciones implícitas en ciertos espacios de Fréchet et quelques aplicaciones". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . (4). 5 (4): 599–660. doi :10.24033/asens.1239.
9. Allen Hatcher y John Waggoner, Pseudoisotopías de variedades compactas. Astérisque, núm. 6. Société Mathématique de France, París, 1973. 275 págs.
10. Kiyoshi Igusa, Teorema de estabilidad para pseudoisotopías suaves. K-Theory 2 (1988), núm. 1-2, vi+355.