R4 exótico

Una variedad cuatridimensional suave, homeomorfa pero no difeomorfa con respecto al espacio euclidiano

En matemáticas , una variedad exótica es una variedad diferenciable que es homeomorfa (es decir, que conserva la forma) pero no difeomorfa (es decir, no suave) al espacio euclidiano. Los primeros ejemplos fueron encontrados en 1982 por Michael Freedman y otros, utilizando el contraste entre los teoremas de Freedman sobre 4-variedades topológicas y los teoremas de Simon Donaldson sobre 4-variedades suaves. ^{[1] [2]} Existe un continuo de estructuras diferenciables no difeomorfas como lo demostró por primera vez Clifford Taubes . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$

 Antes de esta construcción, ya se sabía que existían estructuras lisas no difeomorfas sobre esferas ( esferas exóticas ), aunque la cuestión de la existencia de tales estructuras para el caso particular de la 4-esfera seguía abierta (y sigue abierta a partir de 2024). Para cualquier entero positivo n distinto de 4, no hay estructuras lisas exóticas ; en otras palabras, si n ≠ 4, entonces cualquier variedad lisa homeomorfa a es difeomorfa a ^[4] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n};}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Pequeña R exótica4s

Un exótico se llama pequeño si se puede integrar sin problemas como un subconjunto abierto del estándar. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

Se puede construir un pequeño exótico comenzando con un h - cobordismo suave de 5 dimensiones no trivial (que existe según la prueba de Donaldson de que el teorema del h -cobordismo falla en esta dimensión) y usando el teorema de Freedman de que el teorema del h -cobordismo topológico se cumple en esta dimensión. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Gran R exótica4s

Un exótico se llama grande si no se puede incorporar sin problemas como un subconjunto abierto del estándar. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

Se pueden construir ejemplos de grandes variedades exóticas utilizando el hecho de que las 4-variedades compactas a menudo se pueden dividir como una suma topológica (según el trabajo de Freedman), pero no se pueden dividir como una suma suave (según el trabajo de Donaldson). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Michael Hartley Freedman y Laurence R. Taylor (1986) demostraron que existe un exótico máximo en el cual todos los demás pueden integrarse sin problemas como subconjuntos abiertos. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Estructuras exóticas relacionadas

Las asas de Casson son homeomorfas a según el teorema de Freedman (donde es el disco unitario cerrado) pero se deduce del teorema de Donaldson que no todas son difeomorfas a En otras palabras, algunas asas de Casson son exóticas. ${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}.}$ ${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}.}$

No se sabe (a fecha de 2022) si existen o no 4-esferas exóticas; una 4-esfera exótica de este tipo sería un contraejemplo de la conjetura de Poincaré generalizada suave en dimensión 4. Algunos candidatos plausibles vienen dados por los giros de Gluck .

Véase también

• Corcho Akbulut : herramienta utilizada para construir objetos exóticos a partir de clases en ^[5] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle H^{3}(S^{3},\mathbb {R} )}$
• Atlas (topología)

Notas

1. Kirby (1989), pág. 95
2. Freedman y Quinn (1990), pág. 122
3. Taubes (1987), Teorema 1.1
4. Stallings (1962), en particular el Corolario 5.2
5. Asselmeyer-Maluga, Torsten; Król, Jerzy (28 de agosto de 2014). "Gerbes abelianos, geometrías generalizadas y foliaciones de pequeñas R^4 exóticas". arXiv : 0904.1276 [hep-th].

Referencias

• Freedman, Michael H. ; Quinn, Frank (1990). Topología de 4-variedades . Princeton Mathematical Series. Vol. 39. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-08577-3.
• Freedman, Michael H. ; Taylor, Laurence R. (1986). "Un suavizado universal de cuatro espacios". Journal of Differential Geometry . 24 (1): 69–78. doi : 10.4310/jdg/1214440258 . ISSN  0022-040X. MR  0857376.
• Kirby, Robion C. (1989). La topología de 4-variedades . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1374. Berlín: Springer-Verlag. ISBN. 3-540-51148-2.
• Scorpan, Alexandru (2005). El mundo salvaje de las 4-variedades . Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3749-8.
• Stallings, John (1962). "La estructura lineal por partes del espacio euclidiano". Proc. Cambridge Philos. Soc . 58 (3): 481–488. Bibcode :1962PCPS...58..481S. doi :10.1017/s0305004100036756. S2CID  120418488. Señor 0149457
• Gompf, Robert E. ; Stipsicz, András I. (1999). 4-variedades y cálculo de Kirby . Estudios de posgrado en matemáticas . Vol. 20. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0994-6.
• Taubes, Clifford Henry (1987). "Teoría de gauge en 4-variedades asintóticamente periódicas". Journal of Differential Geometry . 25 (3): 363–430. doi : 10.4310/jdg/1214440981 . MR  0882829. PE  1214440981.