Descomposición de un módulo

Concepto de álgebra abstracta

En álgebra abstracta , una descomposición de un módulo es una forma de escribir un módulo como una suma directa de módulos . A menudo se utiliza un tipo de descomposición para definir o caracterizar módulos: por ejemplo, un módulo semisimple es un módulo que tiene una descomposición en módulos simples . Dado un anillo , los tipos de descomposición de los módulos sobre el anillo también se pueden utilizar para definir o caracterizar el anillo: un anillo es semisimple si y sólo si cada módulo sobre él es un módulo semisimple.

Un módulo indescomponible es un módulo que no es una suma directa de dos submódulos distintos de cero . El teorema de Azumaya establece que si un módulo tiene una descomposición en módulos con anillos de endomorfismo local , entonces todas las descomposiciones en módulos indecomponibles son equivalentes entre sí; un caso especial de esto, especialmente en la teoría de grupos , se conoce como teorema de Krull-Schmidt .

Un caso especial de descomposición de un módulo es la descomposición de un anillo: por ejemplo, un anillo es semisimple si y sólo si es una suma directa (de hecho, un producto ) de anillos matriciales sobre anillos de división (esta observación se conoce como el teorema de Artin-Wedderburn ).

Idempotentes y descomposiciones.

Dar una descomposición suma directa de un módulo en submódulos es lo mismo que dar idempotentes ortogonales en el anillo de endomorfismo del módulo que suman al mapa de identidad . ^[1] De hecho, si , entonces, para cada , el endomorfismo lineal dado por la proyección natural seguida de la inclusión natural es un idempotente . Son claramente ortogonales entre sí ( para ) y se resumen en el mapa de identidad: ${\textstyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle e_{i}:M\to M_{i}\hookrightarrow M}$ ${\displaystyle e_{i}e_{j}=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$

${\displaystyle 1_{\operatorname {M} }=\sum _{i\in I}e_{i}}$

como endomorfismos (aquí la sumatoria está bien definida ya que es una suma finita en cada elemento del módulo). Por el contrario , cada conjunto de idempotentes ortogonales tales que sólo un número finito son distintos de cero para cada uno y determinan una descomposición de suma directa tomando como imágenes de . ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle e_{i}(x)}$ ${\displaystyle x\in M}$ $\sum e_{i}=1_{M}$ ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle e_{i}}$

Este hecho ya impone algunas limitaciones a una posible descomposición de un anillo: dado un anillo , supongamos que hay una descomposición ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {}_{R}R=\bigoplus _{a\in A}I_{a}}$

como un módulo izquierdo sobre sí mismo, donde están los submódulos izquierdos; es decir, ideales de izquierda . Cada endomorfismo se puede identificar con una multiplicación correcta por un elemento de R ; por lo tanto, ¿dónde están los idempotentes de ? ^[2] La sumatoria de endomorfismos idempotentes corresponde a la descomposición de la unidad de R : , que es necesariamente una suma finita; en particular, debe ser un conjunto finito. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I_{a}}$ ${\displaystyle {}_{R}R\to {}_{R}R}$ ${\displaystyle I_{a}=Re_{a}}$ ${\displaystyle e_{a}}$ ${\displaystyle \operatorname {End} ({}_{R}R)\simeq R}$ ${\textstyle 1_{R}=\sum _{a\in A}e_{a}\in \bigoplus _{a\in A}I_{a}}$ ${\displaystyle A}$

Por ejemplo, tomemos el anillo de n por n matrices sobre un anillo de división D. Entonces es la suma directa de n copias de las columnas; cada columna es un submódulo R izquierdo simple o, en otras palabras, un ideal izquierdo mínimo . ^[3] ${\displaystyle R=\operatorname {M} _{n}(D)}$ ${\displaystyle {}_{R}R}$ ${\displaystyle D^{n}}$

Sea R un anillo. Supongamos que hay una descomposición (necesariamente finita) del mismo como un módulo izquierdo sobre sí mismo.

${\displaystyle {}_{R}R=R_{1}\oplus \cdots \oplus R_{n}}$

en ideales bilaterales de R . Como arriba, para algunos idempotentes ortogonales tales que . Puesto que es un ideal, y así para . Entonces, para cada i , ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle R_{i}=Re_{i}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle {1=\sum _{1}^{n}e_{i}}}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle e_{i}R\subset R_{i}}$ ${\displaystyle e_{i}Re_{j}\subset R_{i}\cap R_{j}=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$

${\displaystyle e_{i}r=\sum _{j}e_{j}re_{i}=\sum _{j}e_{i}re_{j}=re_{i}.}$

Es decir, están en el centro ; es decir, son idempotentes centrales . ^[4] Claramente, el argumento se puede revertir y, por lo tanto, existe una correspondencia uno a uno entre la descomposición de la suma directa en ideales y los idempotentes centrales ortogonales que suman la unidad 1. Además, cada uno de ellos es un anillo en sí mismo. derecha, la unidad dada por y, como anillo, R es el anillo producto ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle R_{1}\times \cdots \times R_{n}.}$

Por ejemplo, tomemos nuevamente . Este anillo es un anillo sencillo; en particular, no tiene una descomposición no trivial en ideales bilaterales. ${\displaystyle R=\operatorname {M} _{n}(D)}$

Tipos de descomposición

Se han estudiado varios tipos de descomposiciones de suma directa:

• Descomposición semisimple : suma directa de módulos simples.
• Descomposición indecomponible : suma directa de módulos indecomponibles.
• Una descomposición con anillos de endomorfismo locales ^[5] (cf. teorema de #Azumaya): una suma directa de módulos cuyos anillos de endomorfismo son anillos locales (un anillo es local si para cada elemento x , x o 1 − x es una unidad ).
• Descomposición serial : suma directa de módulos uniseriales (un módulo es uniserial si la red de submódulos es una cadena finita ^[6] ).

Dado que un módulo simple es indescomponible, una descomposición semisimple es una descomposición indescomponible (pero no a la inversa). Si el anillo de endomorfismo de un módulo es local, entonces, en particular, no puede tener un idempotente no trivial: el módulo es indescomponible. Por tanto, una descomposición con anillos de endomorfismo locales es una descomposición indecomponible.

Una suma directa se dice máxima si admite un complemento indescomponible. Se dice que una descomposición complementa los sumandos directos máximos si para cada sumando directo máximo L de M existe un subconjunto tal que ${\displaystyle \textstyle {M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}}$ ${\displaystyle J\subset I}$

${\displaystyle M=\left(\bigoplus _{j\in J}M_{j}\right)\bigoplus L.}$^[7]

Se dice que dos descomposiciones son equivalentes si existe una biyección tal que para cada una , . ^[7] Si un módulo admite una descomposición indescomponible que complemente sumandos directos máximos, entonces dos descomposiciones indecomponibles cualesquiera del módulo son equivalentes. ^[8] ${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}=\bigoplus _{j\in J}N_{j}}$ ${\displaystyle \varphi :I{\overset {\sim }{\to }}J}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle M_{i}\simeq N_{\varphi (i)}}$

teorema de azumaya

En su forma más simple, el teorema de Azumaya establece: ^[9] dada una descomposición tal que el anillo de endomorfismo de cada uno es local (por lo que la descomposición es indescomponible), cada descomposición indescomponible de M es equivalente a esta descomposición dada. La versión más precisa del teorema establece: ^[10] aún dada tal descomposición, si , entonces ${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}$ ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle M=N\oplus K}$

1. si es distinto de cero, N contiene una suma directa indescomponible,
2. Si es indescomponible, su anillo de endomorfismo es local ^[11] y se complementa con la descomposición dada: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$

   ${\textstyle M=M_{j}\oplus K}$y así para algunos , ${\displaystyle M_{j}\simeq N}$ ${\displaystyle j\in I}$

3. para cada uno , existen sumandos directos de y de tal que . ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle N'}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K'}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M=M_{i}\oplus N'\oplus K'}$

El anillo de endomorfismo de un módulo indescomponible de longitud finita es local (por ejemplo, según el lema de Fiting ) y, por tanto, el teorema de Azumaya se aplica a la configuración del teorema de Krull-Schmidt . De hecho, si M es un módulo de longitud finita, entonces, por inducción sobre la longitud, tiene una descomposición finita indescomponible , que es una descomposición con anillos de endomorfismo locales. Ahora supongamos que se nos da una descomposición indescomponible . Entonces debe ser equivalente al primero: so y para alguna permutación de . Más precisamente, dado que para algunos es indescomponible . Luego, puesto que es indescomponible, y así sucesivamente; es decir, los complementos de cada suma pueden considerarse sumas directas de some 's. ${\textstyle M=\bigoplus _{i=1}^{n}M_{i}}$ ${\textstyle M=\bigoplus _{i=1}^{m}N_{i}}$ ${\displaystyle m=n}$ ${\displaystyle M_{i}\simeq N_{\sigma (i)}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle N_{1}}$ ${\textstyle M=M_{i_{1}}\bigoplus (\bigoplus _{i=2}^{n}N_{i})}$ ${\displaystyle i_{1}}$ ${\displaystyle N_{2}}$ ${\textstyle M=M_{i_{1}}\bigoplus M_{i_{2}}\bigoplus (\bigoplus _{i=3}^{n}N_{i})}$ ${\textstyle \bigoplus _{i=l}^{n}N_{i}}$ ${\displaystyle M_{i}}$

Otra aplicación es la siguiente afirmación (que es un paso clave en la demostración del teorema de Kaplansky sobre módulos proyectivos ):

• Dado un elemento , existe una suma directa de y un subconjunto tal que y . ${\displaystyle x\in N}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle J\subset I}$ ${\displaystyle x\in H}$ ${\textstyle H\simeq \bigoplus _{j\in J}M_{j}}$

Para ver esto, elija un conjunto finito tal que . Luego, escribiendo , por el teorema de Azumaya, con algunas sumandos directas de y luego, por ley modular , con . Entonces, como es una suma directa de , podemos escribir y entonces , lo que implica, dado que F es finito, que para algún J por una aplicación repetida del teorema de Azumaya. ${\displaystyle F\subset I}$ ${\textstyle x\in \bigoplus _{j\in F}M_{j}}$ ${\displaystyle M=N\oplus L}$ ${\displaystyle M=(\oplus _{j\in F}M_{j})\oplus N_{1}\oplus L_{1}}$ ${\displaystyle N_{1},L_{1}}$ ${\displaystyle N,L}$ ${\displaystyle N=H\oplus N_{1}}$ ${\displaystyle H=(\oplus _{j\in F}M_{j}\oplus L_{1})\cap N}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L=L_{1}\oplus L_{1}'}$ ${\displaystyle \oplus _{j\in F}M_{j}\simeq H\oplus L_{1}'}$ ${\displaystyle H\simeq \oplus _{j\in J}M_{j}}$

En la configuración del teorema de Azumaya, si, además, cada uno se genera contablemente , entonces existe el siguiente refinamiento (debido originalmente a Crawley-Jónsson y luego a Warfield): es isomorfo a para algún subconjunto . ^[12] (En cierto sentido, esto es una extensión del teorema de Kaplansky y se demuestra mediante los dos lemas utilizados en la prueba del teorema). Según (Facchini 1998), no se sabe si el supuesto " generado contablemente" puede ser abandonado; es decir, esta versión refinada es cierta en general. ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \bigoplus _{j\in J}M_{j}}$ ${\displaystyle J\subset I}$ ${\displaystyle M_{i}}$

Descomposición de un anillo

Sobre la descomposición de un anillo, la observación más básica pero importante, conocida como teorema de Wedderburn-Artin, es la siguiente: dado un anillo R , los siguientes son equivalentes:

1. R es un anillo semisimple ; es decir, es un módulo izquierdo semisimple. ${\displaystyle {}_{R}R}$
2. ${\displaystyle R\cong \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(D_{i})}$para anillos de división , donde denota el anillo de n -por -n matrices con entradas en , y los enteros positivos , los anillos de división y los enteros positivos están determinados (los dos últimos hasta la permutación) por R ${\displaystyle D_{1},\dots ,D_{r}}$ ${\displaystyle \operatorname {M} _{n}(D_{i})}$ ${\displaystyle D_{i}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle D_{1},\dots ,D_{r}}$ ${\displaystyle m_{1},\dots ,m_{r}}$
3. Cada módulo izquierdo sobre R es semisimple.

Para mostrar 1. 2., primero tenga en cuenta que si es semisimple, entonces tenemos un isomorfismo de módulos izquierdos donde son ideales izquierdos mínimos mutuamente no isomorfos. Luego, con la visión de que los endomorfismos actúan desde la derecha, ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\textstyle {}_{R}R\cong \bigoplus _{i=1}^{r}I_{i}^{\oplus m_{i}}}$ ${\displaystyle I_{i}}$

${\displaystyle R\cong \operatorname {End} ({}_{R}R)\cong \bigoplus _{i=1}^{r}\operatorname {End} (I_{i}^{\oplus m_{i}})}$

donde cada uno puede verse como el anillo de matriz encima , que es un anillo de división según el Lema de Schur . Lo contrario se cumple porque la descomposición de 2. es equivalente a una descomposición en ideales mínimos izquierdos = submódulos izquierdos simples. La equivalencia 1. 3. se cumple porque cada módulo es un cociente de un módulo libre y un cociente de un módulo semisimple es semisimple. ${\displaystyle \operatorname {End} (I_{i}^{\oplus m_{i}})}$ ${\displaystyle D_{i}=\operatorname {End} (I_{i})}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow }$

Ver también

• Módulo inyectivo puro

Notas

1. Anderson y Fuller 1992, Corolario 6.19. y Corolario 6.20.
2. Aquí, se considera que el anillo de endomorfismo actúa desde la derecha; si actúa por la izquierda, esta identificación es para el anillo opuesto de R.
3. Procesi 2007, capítulo 6., § 1.3.
4. Anderson y Fuller 1992, Propuesta 7.6.
5. (Jacobson 2009, un párrafo antes del teorema 3.6.) llama a un módulo fuertemente indescomponible si es distinto de cero y tiene un anillo de endomorfismo local.
6. Anderson y Fuller 1992, § 32.
7. Anderson y Fuller 1992, § 12.
8. Anderson y Fuller 1992, Teorma 12.4.
9. Facchini 1998, Teorema 2.12.
10. Anderson y Fuller 1992, teorema 12.6. y Lema 26.4.
11. Facchini 1998, Lema 2.11.
12. Facchini 1998, Corolario 2.55.

Referencias

• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Anillos y categorías de módulos , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 13 (2 ed.), Nueva York: Springer-Verlag, págs. x+376, doi :10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, señor  1245487
• Frank W. Anderson, Conferencias sobre anillos no conmutativos Archivado el 13 de junio de 2021 en Wayback Machine , Universidad de Oregon, otoño de 2002.
• Facchini, Alberto (16 de junio de 1998). Teoría de módulos: anillos de endomorfismo y descomposiciones de suma directa en algunas clases de módulos. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3-7643-5908-9.
• Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica , vol. 2 (2ª ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7
• Y. Lam, trabajo de Bass en teoría de anillos y módulos proyectivos [MR 1732042]
• Proceso, Claudio (2007). Grupos de mentiras: una aproximación a través de invariantes y representaciones . Nueva York: Springer. ISBN 9780387260402.
• R. Warfield: Anillos de intercambio y descomposición de módulos, Matemáticas. Annalen 199 (1972), 31–36.