Teorema de Kaplansky sobre módulos proyectivos

En álgebra abstracta , el teorema de Kaplansky sobre módulos proyectivos , demostrado por primera vez por Irving Kaplansky , establece que un módulo proyectivo sobre un anillo local es libre ; ^[1] donde un anillo no necesariamente conmutativo se llama local si para cada elemento x , x o 1 − x es un elemento unitario. ^[2] El teorema también se puede formular para caracterizar un anillo local (#Caracterización de un anillo local).

Para un módulo proyectivo finito sobre un anillo local conmutativo, el teorema es una consecuencia fácil del lema de Nakayama . ^[3] Para el caso general, la prueba (tanto la original como la posterior) consta de los dos pasos siguientes:

• Observe que un módulo proyectivo sobre un anillo arbitrario es una suma directa de módulos proyectivos generados contablemente .
• Demuestre que un módulo proyectivo generado contablemente sobre un anillo local es libre (mediante una "[reminiscencia] de la prueba del lema de Nakayama" ^[4] ).

La idea de la prueba del teorema también fue utilizada posteriormente por Hyman Bass para demostrar que los grandes módulos proyectivos (en algunas condiciones moderadas) son libres. ^[5] Según (Anderson y Fuller 1992), el teorema de Kaplansky "es muy probablemente la inspiración para una parte importante de los resultados" en la teoría de anillos semiperfectos . ^[1]

Prueba

La demostración del teorema se basa en dos lemas, ambos conciernen a descomposiciones de módulos y son de interés general independiente.

Lema 1  —  ^[6] Sea la familia de módulos que son sumas directas de algunos submódulos generados de forma contable (aquí los módulos pueden ser aquellos sobre un anillo, un grupo o incluso un conjunto de endomorfismos). Si está en , entonces cada sumando directo de también está en . ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$

Demostración : Sea N un sumando directo; es decir, . Utilizando el supuesto, escribimos donde cada uno es un submódulo generado numerablemente. Para cada subconjunto , escribimos la imagen de bajo la proyección y de la misma manera. Ahora, considere el conjunto de todos los triples ( , , ) que consiste en un subconjunto y subconjuntos tales que y son las sumas directas de los módulos en . Damos a este conjunto un ordenamiento parcial tal que si y solo si , . Por el lema de Zorn , el conjunto contiene un elemento maximal . Demostraremos que ; es decir, . Supongamos lo contrario. Entonces podemos construir inductivamente una secuencia de como máximo subconjuntos numerables tales que y para cada entero , ${\displaystyle M=N\oplus L}$ ${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}$ ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle A\subset I}$ ${\displaystyle M_{A}=\bigoplus _{i\in A}M_{i},N_{A}=}$ ${\displaystyle M_{A}}$ ${\displaystyle M\to N\hookrightarrow M}$ ${\displaystyle L_{A}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle J\subset I}$ ${\displaystyle B,C\subset {\mathfrak {F}}}$ ${\displaystyle M_{J}=N_{J}\oplus L_{J}}$ ${\displaystyle N_{J},L_{J}}$ ${\displaystyle B,C}$ ${\displaystyle (J,B,C)\leq (J',B',C')}$ ${\displaystyle J\subset J'}$ ${\displaystyle B\subset B',C\subset C'}$ ${\displaystyle (J,B,C)}$ ${\displaystyle J=I}$ ${\displaystyle N=N_{J}=\bigoplus _{N'\in B}N'\in {\mathfrak {F}}}$ ${\displaystyle I_{1}\subset I_{2}\subset \cdots \subset I}$ ${\displaystyle I_{1}\not \subset J}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle M_{I_{n}}\subset N_{I_{n}}+L_{I_{n}}\subset M_{I_{n+1}}}$.

Sea y . Afirmamos: ${\displaystyle I'=\bigcup _{0}^{\infty }I_{n}}$ ${\displaystyle J'=J\cup I'}$

${\displaystyle M_{J'}=N_{J'}\oplus L_{J'}.}$

La inclusión es trivial. Por el contrario, es la imagen de y por lo tanto . Lo mismo es cierto para . Por lo tanto, la afirmación es válida. ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle N_{J'}}$ ${\displaystyle N_{J}+L_{J}+M_{I'}\subset N_{J}+M_{I'}}$ ${\displaystyle N_{J'}\subset M_{J'}}$ ${\displaystyle L_{J'}}$

Ahora bien, es un sumando directo de (ya que es un sumando de , que es un sumando de ); es decir, para algún . Entonces, por ley modular, . Fijemos . Definamos de la misma manera. Entonces, utilizando la afirmación anterior, tenemos: ${\displaystyle N_{J}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{J}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N_{J}\oplus M'=M}$ ${\displaystyle M'}$ ${\displaystyle N_{J'}=N_{J}\oplus (M'\cap N_{J'})}$ ${\displaystyle {\widetilde {N_{J}}}=M'\cap N_{J'}}$ ${\displaystyle {\widetilde {L_{J}}}}$

${\displaystyle M_{J'}=M_{J}\oplus {\widetilde {N_{J}}}\oplus {\widetilde {L_{J}}},}$

Lo que implica que

${\displaystyle {\widetilde {N_{J}}}\oplus {\widetilde {L_{J}}}\simeq M_{J'}/M_{J}\simeq M_{J'-J}}$

se genera de forma contable como . Esto contradice la maximalidad de . ${\displaystyle J'-J\subset I'}$ ${\displaystyle (J,B,C)}$ ${\displaystyle \square }$

Lema 2  —  Si son módulos generados contablemente con anillos de endomorfismo local y si es un módulo generado contablemente que es un sumando directo de , entonces es isomorfo a para algún subconjunto contable como máximo . ${\displaystyle M_{i},i\in I}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}M_{i}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \bigoplus _{i\in I'}M_{i}}$ ${\displaystyle I'\subset I}$

Demostración : ^[7] Sea la familia de módulos que son isomorfos a los módulos de la forma para algún subconjunto finito . La afirmación queda implícita en la siguiente afirmación: ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \bigoplus _{i\in F}M_{i}}$ ${\displaystyle F\subset I}$

• Dado un elemento , existe un que contiene x y es un sumando directo de  N . ${\displaystyle x\in N}$ ${\displaystyle H\in {\mathcal {G}}}$

De hecho, supongamos que la afirmación es válida. Luego, elijamos una secuencia en N que sea un conjunto generador. Luego, utilizando la afirmación, escribimos donde . Luego escribimos donde . Luego, descomponemos con . Nota . Repitiendo este argumento, al final, tenemos: ; es decir, . Por lo tanto, la prueba se reduce a probar la afirmación y la afirmación es una consecuencia directa del teorema de Azumaya (consulte el artículo vinculado para el argumento). ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots }$ ${\displaystyle N=H_{1}\oplus N_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}\in H_{1}\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle x_{2}=y+z}$ ${\displaystyle y\in H_{1},z\in N_{1}}$ ${\displaystyle N_{1}=H_{2}\oplus N_{2}}$ ${\displaystyle z\in H_{2}\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \{x_{1},x_{2}\}\subset H_{1}\oplus H_{2}}$ ${\textstyle \{x_{1},x_{2},\dots \}\subset \bigoplus _{0}^{\infty }H_{n}}$ ${\textstyle N=\bigoplus _{0}^{\infty }H_{n}}$ ${\displaystyle \square }$

Demostración del teorema : Sea un módulo proyectivo sobre un anillo local. Entonces, por definición, es un sumando directo de algún módulo libre . Esto está en la familia del Lema 1; por lo tanto, es una suma directa de submódulos generados numerablemente, cada uno un sumando directo de F y, por lo tanto, proyectivo. Por lo tanto, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que es generado numerablemente. Entonces, el Lema 2 da el teorema. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \square }$

Caracterización de un anillo local

El teorema de Kaplansky se puede enunciar de tal manera que proporcione una caracterización de un anillo local. Se dice que un sumando directo es máximo si tiene un complemento indescomponible.

Teorema  —  ^[8] Sea R un anillo. Entonces los siguientes son equivalentes.

1. R es un anillo local.
2. Todo módulo proyectivo sobre R es libre y tiene una descomposición indecomponible tal que para cada sumando directo máximo L de M , existe una descomposición para algún subconjunto . ${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}$ ${\displaystyle M={\Big (}\bigoplus _{j\in J}M_{j}{\Big )}\bigoplus L}$ ${\displaystyle J\subset I}$

La consecuencia es exactamente la misma (usual) que la del teorema de Kaplansky y la del teorema de Azumaya. La inversa se deduce del siguiente hecho general, que es interesante en sí mismo: ${\displaystyle 1.\Rightarrow 2.}$ ${\displaystyle 2.\Rightarrow 1.}$

• Un anillo R es local para cada sumando directo propio distinto de cero M de , ya sea o . ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle R^{2}=R\times R}$ ${\displaystyle R^{2}=(0\times R)\oplus M}$ ${\displaystyle R^{2}=(R\times 0)\oplus M}$

${\displaystyle (\Rightarrow )}$es por el teorema de Azumaya como en la prueba de . A la inversa, supongamos que tiene la propiedad anterior y que se da un elemento x en R. Considere la función lineal . Establezca . Entonces , es decir, se divide y la imagen es un sumando directo de . Se sigue fácilmente de eso la suposición de que x o - y es un elemento unitario. ${\displaystyle 1.\Rightarrow 2.}$ ${\displaystyle R^{2}}$ ${\displaystyle \sigma :R^{2}\to R,\,\sigma (a,b)=a-b}$ ${\displaystyle y=x-1}$ ${\displaystyle \sigma (x,y)=1}$ ${\displaystyle \eta :R\to R^{2},a\mapsto (ax,ay)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R^{2}}$ ${\displaystyle \square }$

Véase también

• Categoría Krull-Schmidt

Notas

1. Anderson y Fuller 1992, Corolario 26.7.
2. Anderson y Fuller 1992, Proposición 15.15.
3. Matsumura 1989, Teorema 2.5.
4. Lam 2000, Parte 1. § 1.
5. Bajo 1963
6. Anderson y Fuller 1992, Teorema 26.1.
7. Anderson y Fuller 1992, Prueba del teorema 26.5.
8. Anderson y Fuller 1992, Ejercicio 26.3.

Referencias

• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Anillos y categorías de módulos , Graduate Texts in Mathematics , vol. 13 (2.ª ed.), Nueva York: Springer-Verlag, págs. x+376, doi :10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, Sr.  1245487
• Bass, Hyman (28 de febrero de 1963). "Los grandes módulos proyectivos son gratuitos". Illinois Journal of Mathematics . 7 (1). Universidad de Illinois en Champagne-Urbana: 24–31. doi : 10.1215/ijm/1255637479 .
• Kaplansky, Irving (1958), "Módulos proyectivos", Ann. of Math. , 2, 68 (2): 372–377, doi :10.2307/1970252, hdl : 10338.dmlcz/101124 , JSTOR  1970252, MR  0100017
• Lam, TY (2000). "El trabajo de Bass en teoría de anillos y módulos proyectivos". arXiv : math/0002217 . Señor 1732042
• Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría del anillo conmutativo , Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6