Complejo perfecto

En álgebra, un complejo perfecto de módulos sobre un anillo conmutativo A es un objeto en la categoría derivada de A -módulos que es cuasi-isomorfo a un complejo acotado de A -módulos proyectivos finitos. Un módulo perfecto es un módulo que es perfecto cuando se lo considera como un complejo concentrado en el grado cero. Por ejemplo, si A es noetheriano , un módulo sobre A es perfecto si y solo si es finitamente generado y de dimensión proyectiva finita .

Otras caracterizaciones

Los complejos perfectos son precisamente los objetos compactos en la categoría derivada ilimitada de los módulos A. ^[1] También son precisamente los objetos dualizables en esta categoría. ^[2] ${\displaystyle D(A)}$

Un objeto compacto en la categoría ∞ de los espectros de módulo (digamos correctos) sobre un espectro de anillo a menudo se denomina perfecto; ^[3] véase también espectro de módulo .

Haz pseudocoherente

Cuando el haz de estructura no es coherente, trabajar con haces coherentes presenta inconvenientes (es decir, el núcleo de una presentación finita puede no ser coherente). Por este motivo, SGA 6 Expo I introduce el concepto de haz pseudocoherente . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Por definición, dado un espacio anillado , un -módulo se llama pseudocoherente si para cada entero , localmente, hay una presentación libre de tipo finito de longitud n ; es decir, ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

${\displaystyle L_{n}\to L_{n-1}\to \cdots \to L_{0}\to F\to 0}$.

Un complejo F de -módulos se llama pseudocoherente si, para cada entero n , existe localmente un cuasi-isomorfismo donde L tiene grado acotado superiormente y consta de módulos libres finitos de grado . Si el complejo consta únicamente del término de grado cero, entonces es pseudocoherente si y sólo si lo es como módulo. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle L\to F}$ ${\displaystyle \geq n}$

En términos generales, un complejo pseudocoherente puede considerarse como un límite de complejos perfectos.

Véase también

• Teorema de Hilbert-Burch
• complejo elíptico (noción relacionada; discutida en SGA 6 Exposé II, Apéndice II.)

Referencias

1. Véase, por ejemplo, Ben-Zvi, Francis y Nadler (2010)
2. Lema 2.6. de Kerz, Strunk y Tamme (2018)
3. Lurie (2014)

• Ben-Zvi, David; Francis, John; Nadler, David (2010), "Transformadas integrales y centros de Drinfeld en geometría algebraica derivada", Journal of the American Mathematical Society , 23 (4): 909–966, arXiv : 0805.0157 , doi :10.1090/S0894-0347-10-00669-7, MR  2669705, S2CID  2202294

Bibliografía

• Berthelot, Pierre ; Alejandro Grothendieck ; Luc Illusie , eds. (1971). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des junctions et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (Apuntes de clases de matemáticas 225 ) . Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés). vol. 225. Berlín; Nueva York: Springer-Verlag . xii+700. doi :10.1007/BFb0066283. ISBN 978-3-540-05647-8.Sr. 0354655  .
• Kerz, Moritz; Strunk, Florian; Tamme, Georg (2018). "Teoría K algebraica y descenso para explosiones". Inventiones Mathematicae . 211 (2): 523–577. arXiv : 1611.08466 . Código Bibliográfico :2018InMat.211..523K. doi :10.1007/s00222-017-0752-2.
• Lurie, Jacob (2014). "Teoría K algebraica y topología de variedades (Matemáticas 281), Lección 19: Teoría K de espectros de anillos" (PDF) .

Enlaces externos

• "Identidades determinantes para complejos perfectos". MathOverflow .
• "Una definición alternativa de complejo pseudocoherente". MathOverflow .
• "15.74 Complejos perfectos". El proyecto Stacks .
• "módulo perfecto". ncatlab.org .