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Módulo Drinfeld

En matemáticas , un módulo de Drinfeld (o módulo elíptico ) es, en líneas generales, un tipo especial de módulo sobre un anillo de funciones en una curva sobre un cuerpo finito , que generaliza el módulo de Carlitz . En términos generales, proporcionan un cuerpo de funciones análogo a la teoría de la multiplicación compleja . Un shtuka (también llamado haz F o chtouca ) es una especie de generalización de un módulo de Drinfeld, que consiste, en líneas generales, en un fibrado vectorial sobre una curva, junto con alguna estructura adicional que identifica un "giro de Frobenius" del fibrado con una "modificación" del mismo.

Los módulos de Drinfeld fueron introducidos por Drinfeld  (1974), quien los utilizó para probar las conjeturas de Langlands para GL 2 de un cuerpo de funciones algebraicas en algunos casos especiales. Más tarde inventó los shtukas y utilizó shtukas de rango 2 para probar los casos restantes de las conjeturas de Langlands para GL 2 . Laurent Lafforgue demostró las conjeturas de Langlands para GL n de un cuerpo de funciones estudiando la pila de módulos de shtukas de rango n .

"Shtuka" es una palabra rusa штука que significa "una sola copia", que proviene del sustantivo alemán "Stück", que significa "pieza, artículo o unidad". En ruso, la palabra "shtuka" también se usa en la jerga para referirse a una cosa con propiedades conocidas, pero que no tiene nombre en la mente del hablante.

Módulos Drinfeld

El anillo de polinomios aditivos

Sea un cuerpo de característica . El anillo se define como el anillo de polinomios no conmutativos (o torcidos) sobre , con la multiplicación dada por

El elemento puede considerarse como un elemento de Frobenius : de hecho, es un módulo izquierdo sobre , con elementos de actuando como multiplicación y actuando como el endomorfismo de Frobenius de . El anillo también puede considerarse como el anillo de todos los polinomios (absolutamente) aditivos

en , donde un polinomio se llama aditivo si (como elementos de ). El anillo de polinomios aditivos se genera como un álgebra sobre el polinomio . La multiplicación en el anillo de polinomios aditivos se da por composición de polinomios, no por multiplicación de polinomios conmutativos, y no es conmutativa.

Definición de módulos de Drinfeld

Sea F un cuerpo de funciones algebraicas con un cuerpo finito de constantes y fijemos un lugar de F . Definamos A como el anillo de elementos en F que son regulares en cada lugar excepto posiblemente . En particular, A es un dominio de Dedekind y es discreto en F (con la topología inducida por ). Por ejemplo, podemos tomar A como el anillo de polinomios . Sea L un cuerpo equipado con un homomorfismo de anillo .

Un módulo A de Drinfeld sobre L es un homomorfismo de anillo cuya imagen no está contenida en L , tal que la composición de con coincide con .

La condición de que la imagen de A no esté en L es una condición de no degeneración, puesta en práctica para eliminar casos triviales, mientras que la condición que da la impresión de que un módulo de Drinfeld es simplemente una deformación de la función .

Como L {τ} puede considerarse como endomorfismos del grupo aditivo de L , un A -módulo de Drinfeld puede considerarse como una acción de A sobre el grupo aditivo de L , o en otras palabras como un A -módulo cuyo grupo aditivo subyacente es el grupo aditivo de L .

Ejemplos de módulos Drinfeld

shtukas-español:

Supongamos que X es una curva sobre el cuerpo finito F p . Una shtuka (derecha) de rango r sobre un esquema (o pila) U viene dada por los siguientes datos:

EE′ ← (Fr×1) * E ,

cuyos cokernels se apoyan en ciertos grafos de morfismos de U a X (llamados cero y polo del shtuka, y usualmente denotados por 0 e ∞), y están localmente libres de rango 1 en sus apoyos. Aquí (Fr×1) * E es el pullback de E por el endomorfismo de Frobenius de U .

Un shtuka izquierdo se define de la misma manera, excepto que la dirección de los morfismos se invierte. Si el polo y el cero del shtuka son disjuntos, entonces los shtukas izquierdos y derechos son esencialmente iguales.

Variando U , obtenemos una pila algebraica Shtuka r de shtukas de rango r , un shtuka "universal" sobre Shtuka r × X y un morfismo (∞,0) de Shtuka r a X × X que es suave y de dimensión relativa 2 r  − 2. La pila Shtuka r no es de tipo finito para r  > 1.

Los módulos de Drinfeld son, en cierto sentido, tipos especiales de shtukas (esto no resulta del todo evidente a partir de las definiciones). Más precisamente, Drinfeld mostró cómo construir un shtuka a partir de un módulo de Drinfeld. Véase Drinfeld, VG Commutative subrings of certain noncommutative rings. Funkcional. Anal. i Prilovzen. 11 (1977), no. 1, 11–14, 96. para más detalles.

Aplicaciones

Las conjeturas de Langlands para cuerpos de funciones establecen (de manera muy aproximada) que existe una biyección entre representaciones automorfas cuspidales de GL n y ciertas representaciones de un grupo de Galois. Drinfeld utilizó módulos de Drinfeld para demostrar algunos casos especiales de las conjeturas de Langlands, y más tarde demostró las conjeturas de Langlands completas para GL 2 generalizando los módulos de Drinfeld a shtukas. La parte "difícil" de demostrar estas conjeturas es construir representaciones de Galois con ciertas propiedades, y Drinfeld construyó las representaciones de Galois necesarias al encontrarlas dentro de la cohomología l -ádica de ciertos espacios de módulos de shtukas de rango 2.

Drinfeld sugirió que los espacios de módulos de shtukas de rango r podrían usarse de manera similar para demostrar las conjeturas de Langlands para GL r ; los formidables problemas técnicos involucrados en la ejecución de este programa fueron resueltos por Lafforgue después de muchos años de esfuerzo.

Véase también

Referencias

Módulos Drinfeld

shtukas-español: