En matemáticas , la exponencial de Carlitz es una función p característica análoga a la función exponencial habitual estudiada en análisis real y complejo . Se utiliza en la definición del módulo de Carlitz , un ejemplo de módulo de Drinfeld .
Trabajamos sobre el anillo polinómico F q [ T ] de una variable sobre un cuerpo finito F q con q elementos. Será de utilidad la compleción C ∞ de una clausura algebraica del cuerpo F q (( T −1 )) de serie formal de Laurent en T −1 . Se trata de un cuerpo completo y algebraicamente cerrado.
Primero necesitamos análogos a los factoriales , que aparecen en la definición de la función exponencial habitual. Para i > 0 definimos
y D 0 := 1. Nótese que el factorial habitual es inadecuado aquí, ya que n ! se desvanece en F q [ T ] a menos que n sea menor que la característica de F q [ T ].
Usando esto definimos la exponencial de Carlitz e C : C ∞ → C ∞ por la suma convergente
La exponencial de Carlitz satisface la ecuación funcional
donde podemos considerar como la potencia de la función o como un elemento del anillo de polinomios no conmutativos . Por la propiedad universal de los anillos de polinomios en una variable, esto se extiende a un homomorfismo de anillo ψ : F q [ T ]→ C ∞ { τ }, que define un F q [ T ]-módulo de Drinfeld sobre C ∞ { τ }. Se denomina módulo de Carlitz.
![{\displaystyle [i]:=T^{q^{i}}-T,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf9149c14138365b030f55d2b4f8e3edc39b458)
![{\displaystyle D_{i}:=\prod_{1\leq j\leq i}[j]^{q^{ij}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/967e398d254e8f7c6264b1925faf4f3d6de865f4)
