Anillo polinomial torcido

En matemáticas , un polinomio torcido es un polinomio sobre un cuerpo de características en la variable que representa la función de Frobenius . A diferencia de los polinomios normales, la multiplicación de estos polinomios no es conmutativa , sino que satisface la regla de conmutación. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$

${\displaystyle \tau x=x^{p}\tau }$

Para todos en el campo base. ${\displaystyle x}$

En un cuerpo infinito, el anillo polinómico torcido es isomorfo al anillo de polinomios aditivos , pero la multiplicación en este último se da por composición en lugar de por la multiplicación habitual. Sin embargo, a menudo es más fácil de calcular en el anillo polinómico torcido; esto se puede aplicar especialmente en la teoría de módulos de Drinfeld .

Definición

Sea un cuerpo de característica . El anillo polinomial torcido se define como el conjunto de polinomios en la variable y coeficientes en . Está dotado de una estructura de anillo con la adición habitual, pero con una multiplicación no conmutativa que se puede resumir con la relación para . La aplicación repetida de esta relación produce una fórmula para la multiplicación de dos polinomios torcidos cualesquiera. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k\{\tau \}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \tau x=x^{p}\tau }$ ${\displaystyle x\in k}$

Como ejemplo realizamos tal multiplicación

${\displaystyle (a+b\tau )(c+d\tau )=a(c+d\tau )+b\tau (c+d\tau )=ac+ad\tau +bc^{p}\tau +bd^{p}\tau ^{2}}$

Propiedades

El morfismo

${\displaystyle k\{\tau \}\to k[x],\quad a_{0}+a_{1}\tau +\cdots +a_{n}\tau ^{n}\mapsto a_{0}x+a_{1}x^{p}+\cdots +a_{n}x^{p^{n}}}$

define un homomorfismo de anillo que envía un polinomio torcido a un polinomio aditivo. Aquí, la multiplicación en el lado derecho se da por composición de polinomios. Por ejemplo

${\displaystyle (ax+bx^{p})\circ (cx+dx^{p})=a(cx+dx^{p})+b(cx+dx^{p})^{p}=acx+adx^{p}+bc^{p}x^{p}+bd^{p}x^{p^{2}},}$

utilizando el hecho de que en característica tenemos el sueño del estudiante de primer año . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$

El homomorfismo es claramente inyectivo, pero es sobreyectivo si y sólo si es infinito. El fallo de la sobreyectividad cuando es finito se debe a la existencia de polinomios no nulos que inducen la función cero en (por ejemplo, en el cuerpo finito con elementos). ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x^{q}-x}$ ${\displaystyle q}$

Aunque este anillo no es conmutativo, aún posee algoritmos de división (izquierda y derecha) .

Referencias

• Goss, D. (1996), Estructuras básicas de la aritmética de campos de funciones , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en Matemáticas y áreas afines (3)], vol. 35, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-61087-8, MR  1423131, Zbl  0874.11004
• Rosen, Michael (2002), Teoría de números en campos de funciones , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 210, Springer-Verlag , ISBN 0-387-95335-3, ISSN  0072-5285, Zbl  1043.11079