Matriz nilpotente

Concepto matemático en álgebra

En álgebra lineal , una matriz nilpotente es una matriz cuadrada N tal que

${\displaystyle N^{k}=0\,}$

para algún entero positivo . El más pequeño de ellos se llama índice de , ^[1] a veces el grado de . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

De manera más general, una transformación nilpotente es una transformación lineal de un espacio vectorial tal que para algún entero positivo (y, por lo tanto, para todos los ). ^{[2] [3] [4]} Ambos conceptos son casos especiales de un concepto más general de nilpotencia que se aplica a elementos de anillos . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L^{k}=0}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle L^{j}=0}$ ${\displaystyle j\geq k}$

Ejemplos

Ejemplo 1

La matriz

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

es nilpotente con índice 2, ya que . ${\displaystyle A^{2}=0}$

Ejemplo 2

De manera más general, cualquier matriz triangular de dimensión 1 con ceros a lo largo de la diagonal principal es nilpotente, con índice ^{[ cita requerida ]} . Por ejemplo, la matriz ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \leq n}$

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

es nilpotente, con

${\displaystyle B^{2}={\begin{bmatrix}0&0&2&7\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ B^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ B^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

El índice de es por tanto 4. ${\displaystyle B}$

Ejemplo 3

Aunque los ejemplos anteriores tienen una gran cantidad de entradas cero, una matriz nilpotente típica no las tiene. Por ejemplo,

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}5&-3&2\\15&-9&6\\10&-6&4\end{bmatrix}}\qquad C^{2}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

aunque la matriz no tiene entradas cero.

Ejemplo 4

Además, cualquier matriz de la forma

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{1}&\cdots &a_{1}\\a_{2}&a_{2}&\cdots &a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}&-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}&\ldots &-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}\end{bmatrix}}}$

como

${\displaystyle {\begin{bmatrix}5&5&5\\6&6&6\\-11&-11&-11\end{bmatrix}}}$

o

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1&1\\2&2&2&2\\4&4&4&4\\-7&-7&-7&-7\end{bmatrix}}}$

cuadrado a cero.

Ejemplo 5

Quizás algunos de los ejemplos más llamativos de matrices nilpotentes son las matrices cuadradas de la forma: ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&2&2&\cdots &1-n\\n+2&1&1&\cdots &-n\\1&n+2&1&\cdots &-n\\1&1&n+2&\cdots &-n\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \end{bmatrix}}}$

Los primeros de los cuales son:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&-1\\4&-2\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&-2\\5&1&-3\\1&5&-3\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&2&-3\\6&1&1&-4\\1&6&1&-4\\1&1&6&-4\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&2&2&-4\\7&1&1&1&-5\\1&7&1&1&-5\\1&1&7&1&-5\\1&1&1&7&-5\end{bmatrix}}\qquad \ldots }$

Estas matrices son nilpotentes pero no hay entradas cero en ninguna potencia de ellas menor que el índice. ^[5]

Ejemplo 6

Consideremos el espacio lineal de polinomios de grado acotado. El operador de derivada es una función lineal. Sabemos que al aplicar la derivada a un polinomio se disminuye su grado en uno, por lo que al aplicarla iterativamente, obtendremos finalmente cero. Por lo tanto, en un espacio de este tipo, la derivada es representable mediante una matriz nilpotente.

Caracterización

Para una matriz cuadrada con entradas reales (o complejas ), las siguientes son equivalentes: ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle N}$

• ${\displaystyle N}$es nilpotente.
• El polinomio característico para es . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \det \left(xI-N\right)=x^{n}}$
• El polinomio mínimo para es para algún entero positivo . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x^{k}}$ ${\displaystyle k\leq n}$
• El único valor propio complejo para es 0. ${\displaystyle N}$

El último teorema es válido para matrices sobre cualquier cuerpo de característica 0 o suficientemente grande (cf. Identidades de Newton ) .

Este teorema tiene varias consecuencias, entre ellas:

• El índice de una matriz nilpotente siempre es menor o igual a . Por ejemplo, toda matriz nilpotente eleva al cuadrado cero. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2\times 2}$
• El determinante y la traza de una matriz nilpotente son siempre cero. En consecuencia, una matriz nilpotente no puede ser invertible .
• La única matriz diagonalizable nilpotente es la matriz cero.

Véase también: Descomposición de Jordan-Chevalley#Criterio de nilpotencia .

Clasificación

Considere la matriz de desplazamiento (superior) : ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle S={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\0&0&0&\ldots &0\end{bmatrix}}.}$

Esta matriz tiene 1 a lo largo de la superdiagonal y 0 en el resto del plano. Como transformación lineal, la matriz de desplazamiento "desplaza" los componentes de un vector una posición hacia la izquierda, y aparece un cero en la última posición:

${\displaystyle S(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(x_{2},\ldots ,x_{n},0).}$^[6]

Esta matriz es nilpotente con grado , y es la matriz nilpotente canónica . ${\displaystyle n}$

Específicamente, si es cualquier matriz nilpotente, entonces es similar a una matriz diagonal en bloques de la forma ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}S_{1}&0&\ldots &0\\0&S_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &S_{r}\end{bmatrix}}}$

donde cada uno de los bloques es una matriz de desplazamiento (posiblemente de diferentes tamaños). Esta forma es un caso especial de la forma canónica de Jordan para matrices. ^[7] ${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots ,S_{r}}$

Por ejemplo, cualquier matriz nilpotente 2 × 2 distinta de cero es similar a la matriz

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.}$

Es decir, si es cualquier matriz nilpotente de 2 × 2 distinta de cero, entonces existe una base b ₁ ,  b ₂ tal que N b ₁  = 0 y N b ₂  =  b ₁ . ${\displaystyle N}$

Este teorema de clasificación es válido para matrices de cualquier cuerpo (no es necesario que el cuerpo sea algebraicamente cerrado).

Bandera de subespacios

Una transformación nilpotente determina naturalmente una bandera de subespacios ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \{0\}\subset \ker L\subset \ker L^{2}\subset \ldots \subset \ker L^{q-1}\subset \ker L^{q}=\mathbb {R} ^{n}}$

y una firma

${\displaystyle 0=n_{0}<n_{1}<n_{2}<\ldots <n_{q-1}<n_{q}=n,\qquad n_{i}=\dim \ker L^{i}.}$

La firma caracteriza hasta una transformación lineal invertible . Además, satisface las desigualdades ${\displaystyle L}$

${\displaystyle n_{j+1}-n_{j}\leq n_{j}-n_{j-1},\qquad {\mbox{for all }}j=1,\ldots ,q-1.}$

Por el contrario, cualquier secuencia de números naturales que satisfaga estas desigualdades es la firma de una transformación nilpotente.

Propiedades adicionales

• Si es nilpotente de índice , entonces y son invertibles , donde es la matriz identidad . Las inversas están dadas por ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle I+N}$ ${\displaystyle I-N}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle n\times n}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}(I+N)^{-1}&=\displaystyle \sum _{m=0}^{k}\left(-N\right)^{m}=I-N+N^{2}-N^{3}+N^{4}-N^{5}+N^{6}-N^{7}+\cdots +(-N)^{k}\\(I-N)^{-1}&=\displaystyle \sum _{m=0}^{k}N^{m}=I+N+N^{2}+N^{3}+N^{4}+N^{5}+N^{6}+N^{7}+\cdots +N^{k}\\\end{aligned}}}$

• Si es nilpotente, entonces ${\displaystyle N}$
  ${\displaystyle \det(I+N)=1.}$

  Por el contrario, si es una matriz y ${\displaystyle A}$

  ${\displaystyle \det(I+tA)=1\!\,}$

  para todos los valores de , entonces es nilpotente. De hecho, dado que es un polinomio de grado , basta con que esto se cumpla para distintos valores de . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p(t)=\det(I+tA)-1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle t}$
• Toda matriz singular puede escribirse como un producto de matrices nilpotentes. ^[8]
• Una matriz nilpotente es un caso especial de una matriz convergente .

Generalizaciones

Un operador lineal es localmente nilpotente si para cada vector , existe un tal que ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle T^{k}(v)=0.\!\,}$

Para los operadores en un espacio vectorial de dimensión finita, la nilpotencia local es equivalente a la nilpotencia.

Notas

1. Herstein (1975, pág. 294)
2. Beauregard y Fraleigh (1973, pág.312)
3. Herstein (1975, pág. 268)
4. Nering (1970, pág. 274)
5. Mercer, Idris D. (31 de octubre de 2005). "Encontrar matrices nilpotentes "no obvias"" (PDF) . idmercer.com . autoeditado; credenciales personales: doctorado en Matemáticas, Universidad Simon Fraser . Consultado el 5 de abril de 2023 .
6. Beauregard y Fraleigh (1973, pág.312)
7. Beauregard y Fraleigh (1973, págs. 312, 313)
8. R. Sullivan, Productos de matrices nilpotentes, Álgebra lineal y multilineal , vol. 56, n.º 3

Referencias

• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), Un primer curso de álgebra lineal: con introducción opcional a grupos, anillos y campos , Boston: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
• Herstein, IN (1975), Temas de álgebra (2.ª ed.), John Wiley & Sons
• Nering, Evar D. (1970), Álgebra lineal y teoría de matrices (2.ª ed.), Nueva York: Wiley , LCCN  76091646

Enlaces externos

• Matriz nilpotente y transformación nilpotente en PlanetMath .