Descomposición de un módulo

Concepto de álgebra abstracta

En álgebra abstracta , una descomposición de un módulo es una forma de escribir un módulo como una suma directa de módulos . Un tipo de descomposición se utiliza a menudo para definir o caracterizar módulos: por ejemplo, un módulo semisimple es un módulo que tiene una descomposición en módulos simples . Dado un anillo , los tipos de descomposición de módulos sobre el anillo también se pueden utilizar para definir o caracterizar el anillo: un anillo es semisimple si y solo si cada módulo sobre él es un módulo semisimple.

Un módulo indecomponible es un módulo que no es una suma directa de dos submódulos distintos de cero . El teorema de Azumaya establece que si un módulo tiene una descomposición en módulos con anillos de endomorfismo local , entonces todas las descomposiciones en módulos indecomponibles son equivalentes entre sí; un caso especial de esto, especialmente en la teoría de grupos , se conoce como el teorema de Krull-Schmidt .

Un caso especial de una descomposición de un módulo es una descomposición de un anillo: por ejemplo, un anillo es semisimple si y sólo si es una suma directa (de hecho, un producto ) de anillos de matrices sobre anillos de división (esta observación se conoce como el teorema de Artin-Wedderburn ).

Idempotentes y descomposiciones

Dar una descomposición de suma directa de un módulo en submódulos es lo mismo que dar idempotentes ortogonales en el anillo de endomorfismos del módulo que suman la función identidad . ^[1] De hecho, si , entonces, para cada , el endomorfismo lineal dado por la proyección natural seguida de la inclusión natural es un idempotente . Son claramente ortogonales entre sí ( para ) y suman la función identidad: ${\textstyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle e_{i}:M\to M_{i}\hookrightarrow M}$ ${\displaystyle e_{i}e_{j}=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$

${\displaystyle 1_{\operatorname {M} }=\sum _{i\in I}e_{i}}$

como endomorfismos (aquí la suma está bien definida ya que es una suma finita en cada elemento del módulo). A la inversa , cada conjunto de idempotentes ortogonales tales que solo un número finito son distintos de cero para cada uno y determinan una descomposición de suma directa tomando como las imágenes de . ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle e_{i}(x)}$ ${\displaystyle x\in M}$ $\sum e_{i}=1_{M}$ ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle e_{i}}$

Este hecho ya impone algunas restricciones a una posible descomposición de un anillo: dado un anillo , supongamos que hay una descomposición ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {}_{R}R=\bigoplus _{a\in A}I_{a}}$

de como un módulo izquierdo sobre sí mismo, donde son submódulos izquierdos; es decir, ideales izquierdos . Cada endomorfismo puede identificarse con una multiplicación derecha por un elemento de R ; por tanto, donde son idempotentes de . ^[2] La suma de endomorfismos idempotentes corresponde a la descomposición de la unidad de R : , que es necesariamente una suma finita; en particular, debe ser un conjunto finito. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I_{a}}$ ${\displaystyle {}_{R}R\to {}_{R}R}$ ${\displaystyle I_{a}=Re_{a}}$ ${\displaystyle e_{a}}$ ${\displaystyle \operatorname {End} ({}_{R}R)\simeq R}$ ${\textstyle 1_{R}=\sum _{a\in A}e_{a}\in \bigoplus _{a\in A}I_{a}}$ ${\displaystyle A}$

Por ejemplo, tomemos , el anillo de matrices n por n sobre un anillo de división D . Entonces es la suma directa de n copias de , las columnas; cada columna es un simple R -submódulo izquierdo o, en otras palabras, un ideal izquierdo mínimo . ^[3] ${\displaystyle R=\operatorname {M} _{n}(D)}$ ${\displaystyle {}_{R}R}$ ${\displaystyle D^{n}}$

Sea R un anillo. Supóngase que existe una descomposición (necesariamente finita) del mismo como módulo izquierdo sobre sí mismo.

${\displaystyle {}_{R}R=R_{1}\oplus \cdots \oplus R_{n}}$

en ideales bilaterales de R . Como se indicó anteriormente, para algunos idempotentes ortogonales tales que . Dado que es un ideal, y así para . Entonces, para cada i , ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle R_{i}=Re_{i}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle {1=\sum _{1}^{n}e_{i}}}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle e_{i}R\subset R_{i}}$ ${\displaystyle e_{i}Re_{j}\subset R_{i}\cap R_{j}=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$

${\displaystyle e_{i}r=\sum _{j}e_{j}re_{i}=\sum _{j}e_{i}re_{j}=re_{i}.}$

Es decir, están en el centro ; es decir, son idempotentes centrales . ^[4] Claramente, el argumento se puede invertir y, por lo tanto, hay una correspondencia biunívoca entre la descomposición de suma directa en ideales y los idempotentes centrales ortogonales que suman la unidad 1. Además, cada uno en sí mismo es un anillo por derecho propio, la unidad dada por , y, como anillo, R es el anillo producto. ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle R_{1}\times \cdots \times R_{n}.}$

Por ejemplo, tomemos nuevamente . Este anillo es un anillo simple; en particular, no tiene descomposición no trivial en ideales bilaterales. ${\displaystyle R=\operatorname {M} _{n}(D)}$

Tipos de descomposición

Se han estudiado varios tipos de descomposiciones de suma directa:

• Descomposición semisimple : suma directa de módulos simples.
• Descomposición indecomponible : suma directa de módulos indecomponibles.
• Una descomposición con anillos de endomorfismo local ^[5] (cf. #Teorema de Azumaya): una suma directa de módulos cuyos anillos de endomorfismo son anillos locales (un anillo es local si para cada elemento x , x o 1 − x es una unidad ).
• Descomposición serial : suma directa de módulos uniseriales (un módulo es uniserial si la red de submódulos es una cadena finita ^[6] ).

Como un módulo simple es indescomponible, una descomposición semisimple es una descomposición indescomponible (pero no a la inversa). Si el anillo de endomorfismo de un módulo es local, entonces, en particular, no puede tener un idempotente no trivial: el módulo es indescomponible. Por lo tanto, una descomposición con anillos de endomorfismo locales es una descomposición indescomponible.

Se dice que un sumando directo es maximal si admite un complemento indescomponible. Se dice que una descomposición complementa sumandos directos maximalistas si para cada sumando directo maximalista L de M , existe un subconjunto tal que ${\displaystyle \textstyle {M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}}$ ${\displaystyle J\subset I}$

${\displaystyle M=\left(\bigoplus _{j\in J}M_{j}\right)\bigoplus L.}$^[7]

Se dice que dos descomposiciones son equivalentes si existe una biyección tal que para cada , . ^[7] Si un módulo admite una descomposición indecomponible que complementa sumandos directos máximos, entonces dos descomposiciones indecomponibles cualesquiera del módulo son equivalentes. ^[8] ${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}=\bigoplus _{j\in J}N_{j}}$ ${\displaystyle \varphi :I{\overset {\sim }{\to }}J}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle M_{i}\simeq N_{\varphi (i)}}$

Teorema de Azumaya

En su forma más simple, el teorema de Azumaya establece: ^[9] dada una descomposición tal que el anillo de endomorfismo de cada uno sea local (por lo que la descomposición es indecomponible), cada descomposición indecomponible de M es equivalente a esta descomposición dada. La versión más precisa del teorema establece: ^[10] aún dada tal descomposición, si , entonces ${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}$ ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle M=N\oplus K}$

1. si no es cero, N contiene un sumando directo indescomponible,
2. Si es indescomponible, su anillo de endomorfismo es local ^[11] y se complementa con la descomposición dada: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$

   ${\textstyle M=M_{j}\oplus K}$Y así para algunos , ${\displaystyle M_{j}\simeq N}$ ${\displaystyle j\in I}$

3. para cada , existen sumandos directos de y de tales que . ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle N'}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K'}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M=M_{i}\oplus N'\oplus K'}$

El anillo de endomorfismo de un módulo indecomponible de longitud finita es local (por ejemplo, por el lema de Fitting ) y, por lo tanto, el teorema de Azumaya se aplica a la configuración del teorema de Krull-Schmidt . De hecho, si M es un módulo de longitud finita, entonces, por inducción sobre longitud, tiene una descomposición indecomponible finita , que es una descomposición con anillos de endomorfismo locales. Ahora, supongamos que se nos da una descomposición indecomponible . Entonces debe ser equivalente a la primera: por lo que y para alguna permutación de . Más precisamente, ya que es indecomponible, para algún . Luego, ya que es indecomponible, y así sucesivamente; es decir, los complementos de cada suma pueden tomarse como sumas directas de algunos . ${\textstyle M=\bigoplus _{i=1}^{n}M_{i}}$ ${\textstyle M=\bigoplus _{i=1}^{m}N_{i}}$ ${\displaystyle m=n}$ ${\displaystyle M_{i}\simeq N_{\sigma (i)}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle N_{1}}$ ${\textstyle M=M_{i_{1}}\bigoplus (\bigoplus _{i=2}^{n}N_{i})}$ ${\displaystyle i_{1}}$ ${\displaystyle N_{2}}$ ${\textstyle M=M_{i_{1}}\bigoplus M_{i_{2}}\bigoplus (\bigoplus _{i=3}^{n}N_{i})}$ ${\textstyle \bigoplus _{i=l}^{n}N_{i}}$ ${\displaystyle M_{i}}$

Otra aplicación es la siguiente afirmación (que es un paso clave en la prueba del teorema de Kaplansky sobre módulos proyectivos ):

• Dado un elemento , existe un sumando directo de y un subconjunto tal que y . ${\displaystyle x\in N}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle J\subset I}$ ${\displaystyle x\in H}$ ${\textstyle H\simeq \bigoplus _{j\in J}M_{j}}$

Para ver esto, elija un conjunto finito tal que . Luego, escribiendo , por el teorema de Azumaya, con algunos sumandos directos de y luego, por la ley modular , con . Entonces, como es un sumando directo de , podemos escribir y luego , lo que implica, ya que F es finito, que para algún J por una aplicación repetida del teorema de Azumaya. ${\displaystyle F\subset I}$ ${\textstyle x\in \bigoplus _{j\in F}M_{j}}$ ${\displaystyle M=N\oplus L}$ ${\displaystyle M=(\oplus _{j\in F}M_{j})\oplus N_{1}\oplus L_{1}}$ ${\displaystyle N_{1},L_{1}}$ ${\displaystyle N,L}$ ${\displaystyle N=H\oplus N_{1}}$ ${\displaystyle H=(\oplus _{j\in F}M_{j}\oplus L_{1})\cap N}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L=L_{1}\oplus L_{1}'}$ ${\displaystyle \oplus _{j\in F}M_{j}\simeq H\oplus L_{1}'}$ ${\displaystyle H\simeq \oplus _{j\in J}M_{j}}$

En la configuración del teorema de Azumaya, si, además, cada uno es generado contablemente , entonces existe el siguiente refinamiento (debido originalmente a Crawley-Jónsson y luego a Warfield): es isomorfo a para algún subconjunto . ^[12] (En cierto sentido, esta es una extensión del teorema de Kaplansky y se demuestra mediante los dos lemas utilizados en la prueba del teorema). Según (Facchini 1998), no se sabe si se puede descartar el supuesto "generado contablemente"; es decir, esta versión refinada es verdadera en general. ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \bigoplus _{j\in J}M_{j}}$ ${\displaystyle J\subset I}$ ${\displaystyle M_{i}}$

Descomposición de un anillo

Sobre la descomposición de un anillo, la observación más básica pero aún importante, conocida como teorema de Wedderburn-Artin, es la siguiente: dado un anillo R , los siguientes son equivalentes:

1. R es un anillo semisimple ; es decir, es un módulo izquierdo semisimple. ${\displaystyle {}_{R}R}$
2. ${\displaystyle R\cong \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(D_{i})}$para los anillos de división , donde denota el anillo de matrices n por n con entradas en , y los números enteros positivos , los anillos de división y los números enteros positivos se determinan (los dos últimos hasta la permutación) por R ${\displaystyle D_{1},\dots ,D_{r}}$ ${\displaystyle \operatorname {M} _{n}(D_{i})}$ ${\displaystyle D_{i}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle D_{1},\dots ,D_{r}}$ ${\displaystyle m_{1},\dots ,m_{r}}$
3. Cada módulo izquierdo sobre R es semisimple.

Para demostrar 1. 2., primero observe que si es semisimple entonces tenemos un isomorfismo de módulos izquierdos donde son ideales izquierdos mínimos mutuamente no isomorfos. Entonces, con la visión de que los endomorfismos actúan desde la derecha, ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\textstyle {}_{R}R\cong \bigoplus _{i=1}^{r}I_{i}^{\oplus m_{i}}}$ ${\displaystyle I_{i}}$

${\displaystyle R\cong \operatorname {End} ({}_{R}R)\cong \bigoplus _{i=1}^{r}\operatorname {End} (I_{i}^{\oplus m_{i}})}$

donde cada uno puede verse como el anillo de matrices sobre , que es un anillo de división según el lema de Schur . La inversa se cumple porque la descomposición de 2. es equivalente a una descomposición en ideales izquierdos mínimos = submódulos izquierdos simples. La equivalencia 1. 3. se cumple porque cada módulo es un cociente de un módulo libre , y un cociente de un módulo semisimple es semisimple. ${\displaystyle \operatorname {End} (I_{i}^{\oplus m_{i}})}$ ${\displaystyle D_{i}=\operatorname {End} (I_{i})}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow }$

Véase también

• Módulo puramente inyectivo

Notas

1. Anderson y Fuller 1992, Corolario 6.19. y Corolario 6.20.
2. Aquí, se piensa que el anillo de endomorfismo actúa desde la derecha; si actúa desde la izquierda, esta identificación es para el anillo opuesto de R.
3. Procesi 2007, capítulo 6., § 1.3.
4. Anderson y Fuller 1992, Proposición 7.6.
5. (Jacobson 2009, un párrafo antes del Teorema 3.6.) llama a un módulo fuertemente indescomponible si es distinto de cero y tiene un anillo de endomorfismo local.
6. Anderson y Fuller 1992, § 32.
7. Anderson y Fuller 1992, § 12.
8. Anderson y Fuller 1992, Teoría 12.4.
9. Facchini 1998, Teorema 2.12.
10. Anderson y Fuller 1992, Teorema 12.6. y Lema 26.4.
11. Facchini 1998, Lema 2.11.
12. Facchini 1998, Corolario 2.55.

Referencias

• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Anillos y categorías de módulos , Graduate Texts in Mathematics , vol. 13 (2.ª ed.), Nueva York: Springer-Verlag, págs. x+376, doi :10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, Sr.  1245487
• Frank W. Anderson, Lectures on Non-Commutative Rings Archivado el 13 de junio de 2021 en Wayback Machine , Universidad de Oregon, otoño de 2002.
• Facchini, Alberto (16 de junio de 1998). Teoría de módulos: anillos de endomorfismo y descomposiciones de suma directa en algunas clases de módulos. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-7643-5908-9.
• Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica , vol. 2 (2.ª ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7
• Y. Lam, el trabajo de Bass sobre teoría de anillos y módulos proyectivos [MR 1732042]
• Procesi, Claudio (2007). Grupos de Lie: una aproximación a través de invariantes y representaciones . Nueva York: Springer. ISBN 9780387260402.
• R. Warfield: Anillos de intercambio y descomposiciones de módulos, Math. Annalen 199(1972), 31–36.