En la rama de las matemáticas llamada teoría del orden , una red modular es una red que satisface la siguiente condición autodual ,
donde x , a , b son elementos arbitrarios en la red, ≤ es el orden parcial , y ∨ y ∧ (llamadas unir y encontrarse respectivamente) son las operaciones de la red. Esta redacción enfatiza una interpretación en términos de proyección sobre la subred [ a , b ] , un hecho conocido como el teorema de isomorfismo de diamante . [1] Una condición alternativa pero equivalente expresada como una ecuación (ver más abajo) enfatiza que las redes modulares forman una variedad en el sentido del álgebra universal .
Los retículos modulares surgen de forma natural en el álgebra y en muchas otras áreas de las matemáticas. En estos casos, la modularidad es una abstracción del segundo teorema de isomorfismo . Por ejemplo, los subespacios de un espacio vectorial (y, de forma más general, los submódulos de un módulo sobre un anillo ) forman un retículo modular.
En una red no necesariamente modular, puede haber elementos b para los cuales se cumple la ley modular en relación con elementos arbitrarios x y a (para a ≤ b ). Un elemento de este tipo se denomina elemento modular recto . De manera aún más general, la ley modular puede cumplirse para cualquier a y un par fijo ( x , b ) . Un par de este tipo se denomina par modular , y existen varias generalizaciones de modularidad relacionadas con esta noción y con la semimodularidad .
Las redes modulares a veces se denominan redes de Dedekind en honor a Richard Dedekind , quien descubrió la identidad modular en varios ejemplos motivadores.
La ley modular puede verse como una ley asociativa restringida que conecta las dos operaciones reticulares de manera similar a la forma en que la ley asociativa λ(μ x ) = (λμ) x para espacios vectoriales conecta la multiplicación en el campo y la multiplicación escalar.
La restricción a ≤ b es claramente necesaria, ya que se sigue de a ∨ ( x ∧ b ) = ( a ∨ x ) ∧ b . En otras palabras, ninguna red con más de un elemento satisface la consecuente irrestricta de la ley modular.
Es fácil ver [2] que a ≤ b implica a ∨ ( x ∧ b ) ≤ ( a ∨ x ) ∧ b en cada red. Por lo tanto, la ley modular también puede enunciarse como
La ley modular se puede expresar como una ecuación que se debe cumplir incondicionalmente. Como a ≤ b implica a = a ∧ b y como a ∧ b ≤ b , se reemplaza a por a ∧ b en la ecuación que define la ley modular para obtener:
Esto demuestra que, utilizando la terminología del álgebra universal , las redes modulares forman una subvariedad de la variedad de redes. Por lo tanto, todas las imágenes homomórficas, subredes y productos directos de redes modulares son nuevamente modulares.
La red de submódulos de un módulo sobre un anillo es modular. Como caso especial, la red de subgrupos de un grupo abeliano es modular.
La red de subgrupos normales de un grupo es modular. Pero, en general, la red de todos los subgrupos de un grupo no es modular. Por ejemplo, la red de subgrupos del grupo diedro de orden 8 no es modular.
La red no modular más pequeña es la red "pentagonal" N 5 que consta de cinco elementos 0, 1, x , a , b tales que 0 < x < b < 1, 0 < a < 1 y a no es comparable a x ni a b . Para esta red,
Se cumple, contradiciendo la ley modular. Toda red no modular contiene una copia de N 5 como subred. [3]
Toda red distributiva es modular. [4] [5]
Dilworth (1954) demostró que, en cada red modular finita, el número de elementos irreducibles por unión es igual al número de elementos irreducibles por encuentro. De manera más general, para cada k , el número de elementos de la red que cubren exactamente k otros elementos es igual al número de elementos que están cubiertos por exactamente k otros elementos. [6]
Una propiedad útil para demostrar que una red no es modular es la siguiente:
Esquema de la prueba: Sea G modular y sea válida la premisa de la implicación. Luego, utilizando la absorción y la identidad modular:
Para la otra dirección, supongamos que la implicación del teorema se cumple en G. Sean a , b , c cualesquiera elementos en G, tales que c ≤ a . Sea x = ( a ∧ b ) ∨ c , y = a ∧ ( b ∨ c ). De la desigualdad modular se sigue inmediatamente que x ≤ y . Si demostramos que x ∧ b = y ∧ b , x ∨ b = y ∨ b , entonces, utilizando el supuesto x = y debe cumplirse. El resto de la demostración es una manipulación rutinaria con ínfimas, supremas y desigualdades. [ cita requerida ]
Para dos elementos cualesquiera a , b de una red modular, se pueden considerar los intervalos [ a ∧ b , b ] y [ a , a ∨ b ]. Están conectados por funciones que preservan el orden.
que están definidas por φ( x ) = x ∨ a y ψ( y ) = y ∧ b .
La composición ψφ es una función que preserva el orden desde el intervalo [ a ∧ b , b ] hasta sí misma y que también satisface la desigualdad ψ(φ( x )) = ( x ∨ a ) ∧ b ≥ x . El ejemplo muestra que esta desigualdad puede ser estricta en general. Sin embargo, en una red modular, la igualdad se cumple. Dado que el dual de una red modular es nuevamente modular, φψ también es la identidad en [ a , a ∨ b ] y, por lo tanto, las dos funciones φ y ψ son isomorfismos entre estos dos intervalos. Este resultado a veces se denomina teorema de isomorfismo de diamante para redes modulares. Una red es modular si y solo si el teorema de isomorfismo de diamante se cumple para cada par de elementos.
El teorema de isomorfismo de diamante para redes modulares es análogo al segundo teorema de isomorfismo en álgebra y es una generalización del teorema de redes .
En cualquier red, un par modular es un par ( a, b ) de elementos tales que para todo x que satisfaga a ∧ b ≤ x ≤ b , tenemos ( x ∨ a ) ∧ b = x , es decir, si se cumple la mitad del teorema de isomorfismo de diamante para el par. [7] Un elemento b de una red se denomina elemento modular derecho si ( a, b ) es un par modular para todos los elementos a , y un elemento a se denomina elemento modular izquierdo si ( a, b ) es un par modular para todos los elementos b . [8]
Una red con la propiedad de que si ( a, b ) es un par modular, entonces ( b, a ) también es un par modular se llama red M-simétrica . [9] Por lo tanto, en una red M-simétrica, cada elemento modular derecho también es modular izquierdo, y viceversa. Dado que una red es modular si y solo si todos los pares de elementos son modulares, claramente cada red modular es M-simétrica. En la red N 5 descrita anteriormente, el par ( b, a ) es modular, pero el par ( a, b ) no lo es. Por lo tanto, N 5 no es M-simétrica. La red hexagonal centrada S 7 es M-simétrica pero no modular. Dado que N 5 es una subred de S 7 , se deduce que las redes M-simétricas no forman una subvariedad de la variedad de redes.
La simetría M no es una noción autodual. Un par modular dual es un par que es modular en la red dual , y una red se llama dualmente M-simétrica o M * -simétrica si su dual es M-simétrica. Se puede demostrar que una red finita es modular si y solo si es M-simétrica y M * -simétrica. La misma equivalencia se cumple para las redes infinitas que satisfacen la condición de cadena ascendente (o la condición de cadena descendente).
Varias nociones menos importantes también están estrechamente relacionadas. Una red es cruzada simétrica si para cada par modular ( a, b ) el par ( b, a ) es dualmente modular. La simetría cruzada implica M-simetría pero no M * -simetría. Por lo tanto, la simetría cruzada no es equivalente a la simetría cruzada dual. Una red con un elemento mínimo 0 es ⊥-simétrica si para cada par modular ( a, b ) que satisface a ∧ b = 0 el par ( b, a ) también es modular.
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La definición de modularidad se debe a Richard Dedekind , quien publicó la mayoría de los artículos relevantes después de su jubilación. En un artículo publicado en 1894 [ cita requerida ] estudió las redes, a las que llamó grupos duales ( en alemán : Dualgruppen ) como parte de su "álgebra de módulos " y observó que los ideales satisfacen lo que ahora llamamos la ley modular. También observó que para las redes en general, la ley modular es equivalente a su dual.
En otro artículo de 1897, Dedekind estudió la red de divisores con mcd y mcm como operaciones, de modo que el orden de la red está dado por la divisibilidad. [10] En una digresión, introdujo y estudió las redes formalmente en un contexto general. [10] : 10–18 Observó que la red de submódulos de un módulo satisface la identidad modular. Llamó a estas redes grupos duales de tipo módulo ( Dualgruppen vom Modultypus ). También demostró que la identidad modular y su dual son equivalentes. [10] : 13
En el mismo artículo, Dedekind también investigó la siguiente forma más fuerte [10] : 14 de la identidad modular, que también es autodual: [10] : 9
A los retículos que satisfacen esta identidad los denominó grupos duales de tipo ideal ( Dualgruppen vom Idealtypus ). [10] : 13 En la literatura moderna, se los denomina más comúnmente retículos distributivos . Dio ejemplos de un retículo que no es modular y de un retículo modular que no es de tipo ideal. [10] : 14
Un artículo publicado por Dedekind en 1900 tuvo como tema central las redes: describió la red modular libre generada por tres elementos, una red con 28 elementos (ver imagen). [11]
