En la rama de las matemáticas conocida como teoría del orden , una red semimodular , es una red que satisface la siguiente condición:
La notación a <: b significa que b cubre a , es decir, a < b y no hay ningún elemento c tal que a < c < b .
Una red semimodular atomística acotada se denomina red matroide porque dichas redes son equivalentes a matroides (simples) . Una red semimodular atomística acotada de longitud finita se denomina red geométrica y corresponde a un matroide de rango finito. [1]
Las redes semimodulares también se conocen como redes semimodulares superiores; la noción dual es la de red semimodular inferior . Una red finita es modular si y solo si es semimodular tanto superior como inferior.
Una red finita, o más generalmente una red que satisface la condición de cadena ascendente o la condición de cadena descendente, es semimodular si y solo si es M-simétrica . Algunos autores se refieren a las redes M-simétricas como redes semimodulares. [2]
Una red semimodular es un tipo de red algebraica .
A veces se dice que una red es débilmente semimodular si satisface la siguiente condición de Garrett Birkhoff :
Toda red semimodular es débilmente semimodular. Lo contrario es cierto para las redes de longitud finita y, de manera más general, para las redes atómicas relativamente continuas superiores (los encuentros se distribuyen en las uniones de las cadenas) .
Las dos condiciones siguientes son equivalentes entre sí para todas las redes. Fueron descubiertas por Saunders Mac Lane , quien buscaba una condición que fuera equivalente a la semimodularidad para redes finitas, pero que no involucrara la relación de recubrimiento.
Toda red que satisface la condición de Mac Lane es semimodular. Lo contrario es cierto para redes de longitud finita y, de manera más general, para redes relativamente atómicas . Además, toda red continua superior que satisface la condición de Mac Lane es M-simétrica.