Lema de ajuste

En matemáticas , el lema de Fitting (que recibe su nombre del matemático Hans Fitting ) es un enunciado básico del álgebra abstracta . Supóngase que M es un módulo sobre algún anillo . Si M es indecomponible y tiene una longitud finita , entonces todo endomorfismo de M es un automorfismo o un nilpotente . ^[1]

Como consecuencia inmediata, vemos que el anillo de endomorfismo de cada módulo indescomponible de longitud finita es local .

En la teoría de la representación de grupos se suele utilizar una versión del lema de Fitting . De hecho, se trata de un caso especial de la versión anterior, ya que cada representación K -lineal de un grupo G puede considerarse como un módulo sobre el álgebra de grupos KG .

Prueba

Para demostrar el lema de Fitting, tomamos un endomorfismo f de M y consideramos las siguientes dos cadenas de submódulos :

• La primera es la cadena descendente , ${\displaystyle \mathrm {im} (f)\supseteq \mathrm {im} (f^{2})\supseteq \mathrm {im} (f^{3})\supseteq \ldots }$
• La segunda es la cadena ascendente. ${\displaystyle \mathrm {ker} (f)\subseteq \mathrm {ker} (f^{2})\subseteq \mathrm {ker} (f^{3})\subseteq \ldots }$

Debido a que tiene una longitud finita, ambas cadenas deben eventualmente estabilizarse, por lo que hay algunas con para todos y algunas con para todos ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {im} (f^{n})=\mathrm {im} (f^{n'})}$ ${\displaystyle n'\geq n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathrm {ker} (f^{m})=\mathrm {ker} (f^{m'})}$ ${\displaystyle m'\geq m.}$

Ahora bien , observemos que por construcción y ${\displaystyle k=\max\{n,m\}}$ ${\displaystyle \mathrm {im} (f^{2k})=\mathrm {im} (f^{k})}$ ${\displaystyle \mathrm {ker} (f^{2k})=\mathrm {ker} (f^{k}).}$

Afirmamos que . En efecto, cada satisface para algunos pero también , de modo que , por lo tanto y así ${\displaystyle \mathrm {ker} (f^{k})\cap \mathrm {im} (f^{k})=0}$ ${\displaystyle x\in \mathrm {ker} (f^{k})\cap \mathrm {im} (f^{k})}$ ${\displaystyle x=f^{k}(y)}$ ${\displaystyle y\in M}$ ${\displaystyle f^{k}(x)=0}$ ${\displaystyle 0=f^{k}(x)=f^{k}(f^{k}(y))=f^{2k}(y)}$ ${\displaystyle y\in \mathrm {ker} (f^{2k})=\mathrm {ker} (f^{k})}$ ${\displaystyle x=f^{k}(y)=0.}$

Además, : para cada , existe alguno tal que (ya que ), y por lo tanto , de modo que y por lo tanto ${\displaystyle \mathrm {ker} (f^{k})+\mathrm {im} (f^{k})=M}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle y\in M}$ ${\displaystyle f^{k}(x)=f^{2k}(y)}$ ${\displaystyle f^{k}(x)\in \mathrm {im} (f^{k})=\mathrm {im} (f^{2k})}$ ${\displaystyle f^{k}(x-f^{k}(y))=f^{k}(x)-f^{2k}(y)=0}$ ${\displaystyle x-f^{k}(y)\in \mathrm {ker} (f^{k})}$ ${\displaystyle x\in \mathrm {ker} (f^{k})+f^{k}(y)\subseteq \mathrm {ker} (f^{k})+\mathrm {im} (f^{k}).}$

En consecuencia, es la suma directa de y . (Esta afirmación también se conoce como el teorema de descomposición de ajuste ). Como es indescomponible, uno de esos dos sumandos debe ser igual a y el otro debe ser el submódulo cero . Dependiendo de cuál de los dos sumandos sea cero, encontramos que es biyectivo o nilpotente. ^[2] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {im} (f^{k})}$ ${\displaystyle \mathrm {ker} (f^{k})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$

Notas

1. Jacobson 2009, Un lema antes del Teorema 3.7.
2. Jacobson (2009), págs. 113-114.

Referencias

• Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica , vol. 2 (2.ª ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7