En matemáticas , específicamente en teoría de categorías , los hom-conjuntos (es decir, conjuntos de morfismos entre objetos ) dan lugar a funtores importantes para la categoría de conjuntos . Estos funtores se denominan hom-funtores y tienen numerosas aplicaciones en la teoría de categorías y otras ramas de las matemáticas.
Sea C una categoría localmente pequeña (es decir, una categoría para la cual las clases hom son en realidad conjuntos y no clases propias ).
Para todos los objetos A y B en C definimos dos funtores para la categoría de conjuntos de la siguiente manera:
El funtor Hom(–, B ) también se llama funtor de puntos del objeto B .
Obsérvese que la fijación del primer argumento de Hom da lugar naturalmente a un funtor covariante y la fijación del segundo argumento da lugar naturalmente a un funtor contravariante. Esto es un artefacto de la forma en que se deben componer los morfismos.
El par de funtores Hom( A , –) y Hom(–, B ) están relacionados de manera natural . Para cualquier par de morfismos f : B → B ′ y h : A ′ → A el siguiente diagrama conmuta :
Ambos caminos envían g : A → B a f ∘ g ∘ h : A ′ → B ′.
La conmutatividad del diagrama anterior implica que Hom(–, –) es un bifuntor de C × C a Set que es contravariante en el primer argumento y covariante en el segundo. De manera equivalente, podemos decir que Hom(–, –) es un bifuntor
donde C op es la categoría opuesta a C . La notación Hom C (–, –) se utiliza a veces para Hom(–, –) con el fin de enfatizar la categoría que forma el dominio.
Con referencia al diagrama conmutativo anterior, se observa que cada morfismo
da lugar a una transformación natural
y cada morfismo
da lugar a una transformación natural
El lema de Yoneda implica que toda transformación natural entre funtores Hom es de esta forma. En otras palabras, los funtores Hom dan lugar a una incrustación completa y fiel de la categoría C en la categoría de funtores Set C op (covariante o contravariante según el funtor Hom que se utilice).
Algunas categorías pueden tener un funtor que se comporta como un funtor Hom, pero toma valores en la propia categoría C , en lugar de Set . A este funtor se lo denomina funtor Hom interno y, a menudo, se escribe como
para enfatizar su naturaleza de producto, o como
para enfatizar su naturaleza funcional, o a veces simplemente en minúsculas:
Las categorías que poseen un funtor Hom interno se denominan categorías cerradas . Una de ellas es que
donde I es el objeto unitario de la categoría cerrada. Para el caso de una categoría monoidal cerrada , esto se extiende a la noción de currificación , es decir, que
donde es un bifuntor , el funtor producto interno que define una categoría monoidal . El isomorfismo es natural tanto en X como en Z . En otras palabras, en una categoría monoidal cerrada, el funtor interno Hom es un funtor adjunto al funtor producto interno. El objeto se llama Hom interno . Cuando es el producto cartesiano , el objeto se llama objeto exponencial y a menudo se escribe como .
Los homs internos, cuando se encadenan, forman un lenguaje, llamado lenguaje interno de la categoría. Los más famosos son el cálculo lambda de tipos simples , que es el lenguaje interno de las categorías cerradas cartesianas , y el sistema de tipos lineales , que es el lenguaje interno de las categorías monoidales simétricas cerradas .
Nótese que un funtor de la forma
es una pregavilla ; del mismo modo, Hom( A , –) es una copregavilla.
Un funtor F : C → Conjunto que es naturalmente isomorfo a Hom( A , –) para algún A en C se llama funtor representable (o coprehaz representable); de la misma manera, un funtor contravariante equivalente a Hom(–, A ) podría llamarse correpresentable.
Nótese que Hom(–, –) : C op × C → Set es un profuntor y, específicamente, es el profuntor identidad .
El funtor interno hom conserva los límites ; es decir, envía límites a límites, mientras que envía límites en , es decir colimites en , a límites. En cierto sentido, esto puede tomarse como la definición de un límite o colimite.
Al endofunctor Hom( E , –) : Set → Set se le puede dar la estructura de una mónada ; esta mónada se llama mónada del entorno (o lectora) .
Si A es una categoría abeliana y A es un objeto de A , entonces Hom A ( A , –) es un funtor covariante exacto por la izquierda de A a la categoría Ab de los grupos abelianos . Es exacto si y solo si A es proyectivo . [2]
Sea R un anillo y M un módulo R izquierdo . El funtor Hom R ( M , –): Mod - R → Ab [ aclaración necesaria ] es adjunto al funtor producto tensorial – R M : Ab → Mod - R .
![{\displaystyle \left[-\ -\right]:C^{\text{op}}\times C\to C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90b30870fc61d76d1a17e6078d45cb1659792a42)
