Functor representable

En matemáticas , particularmente en teoría de categorías , un funtor representable es un funtor determinado de una categoría arbitraria en la categoría de conjuntos . Dichos funtores brindan representaciones de una categoría abstracta en términos de estructuras conocidas (es decir, conjuntos y funciones ), lo que permite utilizar, tanto como sea posible, el conocimiento sobre la categoría de conjuntos en otros contextos.

Desde otro punto de vista, los funtores representables para una categoría C son los funtores dados con C . Su teoría es una vasta generalización de los conjuntos superiores en posets , y el teorema de representabilidad de Yoneda generaliza el teorema de Cayley en la teoría de grupos .

Definición

Sea C una categoría localmente pequeña y sea Set la categoría de conjuntos . Para cada objeto A de C sea Hom( A ,–) el funtor hom que asigna el objeto X al conjunto Hom( A , X ).

Se dice que un funtor F  : C → Set es representable si es naturalmente isomorfo a Hom( A ,–) para algún objeto A de C . Una representación de F es un par ( A , Φ) donde

Φ : Hom( A ,–) → F

es un isomorfismo natural.

Un funtor contravariante G de C a Set es lo mismo que un funtor G  : C ^op → Set y se le llama comúnmente prehaz . Un prehaz es representable cuando es naturalmente isomorfo al funtor hom contravariante Hom(–, A ) para algún objeto A de C .

Elementos universales

Según el lema de Yoneda , las transformaciones naturales de Hom( A ,–) a F están en correspondencia biunívoca con los elementos de F ( A ). Dada una transformación natural Φ : Hom( A ,–) → F el elemento correspondiente u ∈ F ( A ) está dado por

${\displaystyle u=\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A}).\,}$

Por el contrario, dado cualquier elemento u ∈ F ( A ) podemos definir una transformación natural Φ : Hom( A ,–) → F mediante

${\displaystyle \Phi _{X}(f)=(Ff)(u)\,}$

donde f es un elemento de Hom( A , X ). Para obtener una representación de F queremos saber cuándo la transformación natural inducida por u es un isomorfismo. Esto nos lleva a la siguiente definición:

Un elemento universal de un funtor F  : C → Set es un par ( A , u ) que consiste en un objeto A de C y un elemento u ∈ F ( A ) tal que para cada par ( X , v ) que consiste en un objeto X de C y un elemento v ∈ F ( X ) existe un morfismo único f  : A → X tal que ( Ff )( u ) = v .

Un elemento universal puede verse como un morfismo universal del conjunto de un punto {•} al funtor F o como un objeto inicial en la categoría de elementos de F.

La transformación natural inducida por un elemento u ∈ F ( A ) es un isomorfismo si y solo si ( A , u ) es un elemento universal de F . Por lo tanto, concluimos que las representaciones de F están en correspondencia biunívoca con los elementos universales de F . Por esta razón, es común referirse a los elementos universales ( A , u ) como representaciones.

Ejemplos

• El funtor representado por un esquema A puede describir a veces familias de objetos geométricos . Por ejemplo, los fibrados vectoriales de rango k sobre una variedad algebraica dada o el esquema X corresponden a morfismos algebraicos donde A es el Grassmanniano de k -planos en un espacio de alta dimensión. También ciertos tipos de subesquemas están representados por esquemas de Hilbert . ${\displaystyle X\to A}$
• Sea C la categoría de los complejos CW con morfismos dados por clases de homotopía de funciones continuas. Para cada número natural n existe un funtor contravariante H ⁿ  : C → Ab que asigna a cada complejo CW su n ^º grupo de cohomología (con coeficientes enteros). Componiéndolo con el funtor olvidadizo tenemos un funtor contravariante de C a Set . El teorema de representabilidad de Brown en topología algebraica dice que este funtor está representado por un complejo CW K ( Z , n ) llamado espacio de Eilenberg–MacLane .
• Consideremos el funtor contravariante P  : Set → Set que asigna cada conjunto a su conjunto potencia y cada función a su mapa imagen inversa . Para representar este funtor necesitamos un par ( A , u ) donde A es un conjunto y u es un subconjunto de A , es decir, un elemento de P ( A ), tal que para todos los conjuntos X , el hom-conjunto Hom( X , A ) es isomorfo a P ( X ) mediante Φ _X ( f ) = ( Pf ) u = f ⁻¹ ( u ). Tome A = {0,1} y u = {1}. Dado un subconjunto S ⊆ X la función correspondiente de X a A es la función característica de S .
• Los funtores olvidadizos de Set son muy frecuentemente representables. En particular, un funtor olvidadizo se representa por ( A , u ) siempre que A sea un objeto libre sobre un conjunto singleton con generador u .
  • El funtor olvidadizo Grp → Set en la categoría de grupos está representado por ( Z , 1).
  • El funtor olvidadizo Anillo → Conjunto en la categoría de anillos está representado por ( Z [ x ], x ), el anillo polinomial en una variable con coeficientes enteros .
  • El funtor olvidadizo Vect → Set en la categoría de espacios vectoriales reales está representado por ( R , 1).
  • El funtor olvidadizo Top → Set en la categoría de espacios topológicos está representado por cualquier espacio topológico singleton con su elemento único.
• Un grupo G puede considerarse una categoría (incluso un grupoide ) con un objeto que denotamos por •. Un funtor de G a Set corresponde entonces a un G -conjunto . El único hom-funtor Hom(•,–) de G a Set corresponde al G -conjunto canónico G con la acción de multiplicación por la izquierda. Los argumentos estándar de la teoría de grupos muestran que un funtor de G a Set es representable si y solo si el G -conjunto correspondiente es simplemente transitivo (es decir, un G -torsor o heap ). Elegir una representación equivale a elegir una identidad para el heap.
• Sea R un anillo conmutativo con identidad, y sea R - Mod la categoría de R -módulos. Si M y N son módulos unitarios sobre R , existe un funtor covariante B : R - Mod → Set que asigna a cada R -módulo P el conjunto de R -aplicaciones bilineales M × N → P y a cada homomorfismo de R -módulo f  : P → Q la función B ( f ) : B ( P ) → B ( Q ) que envía cada aplicación bilineal g  : M × N → P a la aplicación bilineal f ∘ g  : M × N → Q . El funtor B está representado por el R -módulo M ⊗ _R N . ^[1]

Analogía: Funcionales representables

Consideremos una función lineal en un espacio de Hilbert complejo H , es decir, una función lineal . El teorema de representación de Riesz establece que si F es continua, entonces existe un único elemento que representa a F en el sentido de que F es igual al producto interno de la función , es decir, para . ${\displaystyle F:H\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a\in H}$ ${\displaystyle \langle a,-\rangle }$ ${\displaystyle F(v)=\langle a,v\rangle }$ ${\displaystyle v\in H}$

Por ejemplo, las funciones lineales continuas en el espacio de funciones integrables al cuadrado son todas representables en la forma para una función única . La teoría de distribuciones considera funciones continuas más generales en el espacio de funciones de prueba . Una función de distribución de este tipo no es necesariamente representable por una función, pero puede considerarse intuitivamente como una función generalizada. Por ejemplo, la función delta de Dirac es la distribución definida por para cada función de prueba , y puede pensarse como "representada" por una función de protuberancia infinitamente alta y delgada cerca de . ${\displaystyle H=L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \textstyle F(v)=\langle a,v\rangle =\int _{\mathbb {R} }a(x)v(x)\,dx}$ ${\displaystyle a(x)\in H}$ ${\displaystyle C=C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle F(v)=v(0)}$ ${\displaystyle v(x)\in C}$ ${\displaystyle x=0}$

Por lo tanto, una función puede determinarse no por sus valores, sino por su efecto sobre otras funciones a través del producto interno. Análogamente, un objeto A en una categoría puede caracterizarse no por sus características internas, sino por su funtor de puntos , es decir, su relación con otros objetos a través de morfismos. Así como los funcionales no representables se describen mediante distribuciones, los funtores no representables pueden describirse mediante estructuras más complicadas, como las pilas . ${\displaystyle a(x)}$

Propiedades

Unicidad

Las representaciones de los funtores son únicas hasta que existe un único isomorfismo. Es decir, si ( A ₁ ,Φ ₁ ) y ( A ₂ ,Φ ₂ ) representan el mismo funtor, entonces existe un único isomorfismo φ : A ₁ → A ₂ tal que

${\displaystyle \Phi _{1}^{-1}\circ \Phi _{2}=\mathrm {Hom} (\varphi ,-)}$

como isomorfismos naturales de Hom( A ₂ ,–) a Hom( A ₁ ,–). Este hecho se deduce fácilmente del lema de Yoneda .

Expresado en términos de elementos universales: si ( A ₁ , u ₁ ) y ( A ₂ , u ₂ ) representan el mismo funtor, entonces existe un isomorfismo único φ : A ₁ → A ₂ tal que

${\displaystyle (F\varphi )u_{1}=u_{2}.}$

Preservación de límites

Los funtores representables son naturalmente isomorfos a los funtores Hom y por lo tanto comparten sus propiedades. En particular, los funtores representables (covariantes) preservan todos los límites . De ello se deduce que cualquier funtor que no preserva algún límite no es representable.

Los funtores representables contravariantes toman colimites como límites.

Adjunto izquierdo

Cualquier funtor K  : C → Conjunto con un adjunto izquierdo F  : Conjunto → C está representado por ( FX , η _X (•)) donde X = {•} es un conjunto singleton y η es la unidad del adjunto.

Por el contrario, si K está representado por un par ( A , u ) y todas las pequeñas copotencias de A existen en C, entonces K tiene un adjunto izquierdo F que envía cada conjunto I a la I -ésima copotencia de A.

Por lo tanto, si C es una categoría con todas las copotencias pequeñas, un funtor K  : C → Conjunto es representable si y sólo si tiene un adjunto izquierdo.

Relación con morfismos universales y adjuntos

Las nociones categóricas de morfismos universales y funtores adjuntos pueden expresarse utilizando funtores representables.

Sea G  : D → C un funtor y sea X un objeto de C . Entonces ( A ,φ) es un morfismo universal de X a G si y solo si ( A ,φ) es una representación del funtor Hom _C ( X , G –) de D a Set . Se sigue que G tiene un adjunto izquierdo F si y solo si Hom _C ( X , G –) es representable para todo X en C . El isomorfismo natural Φ _X  : Hom _D ( FX ,–) → Hom _C ( X , G –) produce la adjunción; es decir

${\displaystyle \Phi _{X,Y}\colon \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(FX,Y)\to \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,GY)}$

es una biyección para todos los X e Y.

Las afirmaciones duales también son verdaderas. Sea F  : C → D un funtor y sea Y un objeto de D . Entonces ( A ,φ) es un morfismo universal de F a Y si y solo si ( A ,φ) es una representación del funtor Hom _D ( F –, Y ) de C a Set . De ello se deduce que F tiene un adjunto derecho G si y solo si Hom _D ( F –, Y ) es representable para todo Y en D . ^[2]

Véase también

• Clasificador de subobjetos
• Teorema de densidad

Referencias

1. Hungerford, Thomas. Álgebra . Springer-Verlag. pag. 470.ISBN​ 3-540-90518-9.
2. Nourani, Cyrus. Una teoría de modelos funcionales: aplicaciones más recientes a la topología algebraica, conjuntos descriptivos y categorías de cálculo Topos . CRC Press. pág. 28. ISBN 1482231506.

• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático en activo . Textos de posgrado en matemáticas 5 (2.ª ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.