Teorema de incrustación de Mitchell

Las categorías abelianas, aunque definidas de forma abstracta, son en realidad categorías concretas de módulos.

El teorema de incrustación de Mitchell , también conocido como teorema de Freyd-Mitchell o teorema de incrustación completo , es un resultado sobre las categorías abelianas ; esencialmente establece que estas categorías, aunque definidas de manera bastante abstracta, son de hecho categorías concretas de módulos . Esto permite utilizar pruebas de búsqueda de diagramas elemento por elemento en estas categorías. El teorema recibe su nombre de Barry Mitchell y Peter Freyd .

Detalles

El enunciado preciso es el siguiente: si A es una pequeña categoría abeliana, entonces existe un anillo R (con 1, no necesariamente conmutativo) y un funtor completo , fiel y exacto F : A → R -Mod (donde este último denota la categoría de todos los R -módulos izquierdos ).

El funtor F produce una equivalencia entre A y una subcategoría completa de R -Mod de tal manera que los núcleos y conúcleos calculados en A corresponden a los núcleos y conúcleos ordinarios calculados en R -Mod. Tal equivalencia es necesariamente aditiva . El teorema, por tanto, dice esencialmente que los objetos de A pueden considerarse como R -módulos, y los morfismos como R -aplicaciones lineales, determinándose los núcleos, conúcleos, secuencias exactas y sumas de morfismos como en el caso de los módulos. Sin embargo, los objetos proyectivos e inyectivos en A no corresponden necesariamente a R -módulos proyectivos e inyectivos.

Bosquejo de la prueba

Sea la categoría de funtores exactos por la izquierda de la categoría abeliana a la categoría de grupos abelianos . Primero construimos una incrustación contravariante por para todo , donde es el hom-funtor covariante, . El lema de Yoneda establece que es completamente fiel y también obtenemos la exactitud por la izquierda de muy fácilmente porque ya es exacto por la izquierda. La prueba de la exactitud correcta de es más difícil y se puede leer en Swan, Lecture Notes in Mathematics 76 . ${\displaystyle {\mathcal {L}}\subset \operatorname {Fun} ({\mathcal {A}},Ab)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle Ab}$ ${\displaystyle H:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle H(A)=h^{A}}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle h^{A}}$ ${\displaystyle h^{A}(X)=\operatorname {Hom} _{\mathcal {A}}(A,X)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h^{A}}$ ${\displaystyle H}$

Después de eso, demostramos que es una categoría abeliana utilizando la teoría de localización (también de Swan). Esta es la parte difícil de la demostración. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Es fácil comprobar que la categoría abeliana es una categoría AB5 con generador , es decir, es una categoría de Grothendieck y por tanto tiene un cogenerador inyectivo . ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \bigoplus _{A\in {\mathcal {A}}}h^{A}}$ ${\displaystyle I}$

El anillo de endomorfismo es el anillo que necesitamos para la categoría de R -módulos. ${\displaystyle R:=\operatorname {Hom} _{\mathcal {L}}(I,I)}$

Obtenemos otra incrustación contravariante, exacta y completamente fiel . La composición es la incrustación covariante deseada, exacta y completamente fiel. ${\displaystyle G(B)=\operatorname {Hom} _{\mathcal {L}}(B,I)}$ ${\displaystyle G:{\mathcal {L}}\to R\operatorname {-Mod} .}$ ${\displaystyle GH:{\mathcal {A}}\to R\operatorname {-Mod} }$

Nótese que la prueba del teorema de incrustación de Gabriel-Quillen para categorías exactas es casi idéntica.

Referencias

• RG Swan (1968). Teoría K algebraica, Apuntes de clase de matemáticas 76. Springer. doi :10.1007/BFb0080281. ISBN. 978-3-540-04245-7.
• Peter Freyd (1964). Categorías abelianas: una introducción a la teoría de los functores . Harper y Row. reimpreso con prólogo como "Categorías abelianas". Reimpresiones en Teoría y aplicaciones de categorías . 3 : 23–164. 2003.
• Mitchell, Barry (julio de 1964). "El teorema de incrustación completa". American Journal of Mathematics . 86 (3). The Johns Hopkins University Press: 619–637. doi :10.2307/2373027. JSTOR  2373027.
• Charles A. Weibel (1993). Introducción al álgebra homológica . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. doi :10.1017/CBO9781139644136. ISBN 9781139644136.