El teorema de incrustación de Mitchell , también conocido como teorema de Freyd-Mitchell o teorema de incrustación completo , es un resultado sobre las categorías abelianas ; esencialmente establece que estas categorías, aunque definidas de manera bastante abstracta, son de hecho categorías concretas de módulos . Esto permite utilizar pruebas de búsqueda de diagramas elemento por elemento en estas categorías. El teorema recibe su nombre de Barry Mitchell y Peter Freyd .
El enunciado preciso es el siguiente: si A es una pequeña categoría abeliana, entonces existe un anillo R (con 1, no necesariamente conmutativo) y un funtor completo , fiel y exacto F : A → R -Mod (donde este último denota la categoría de todos los R -módulos izquierdos ).
El funtor F produce una equivalencia entre A y una subcategoría completa de R -Mod de tal manera que los núcleos y conúcleos calculados en A corresponden a los núcleos y conúcleos ordinarios calculados en R -Mod. Tal equivalencia es necesariamente aditiva . El teorema, por tanto, dice esencialmente que los objetos de A pueden considerarse como R -módulos, y los morfismos como R -aplicaciones lineales, determinándose los núcleos, conúcleos, secuencias exactas y sumas de morfismos como en el caso de los módulos. Sin embargo, los objetos proyectivos e inyectivos en A no corresponden necesariamente a R -módulos proyectivos e inyectivos.
Sea la categoría de funtores exactos por la izquierda de la categoría abeliana a la categoría de grupos abelianos . Primero construimos una incrustación contravariante por para todo , donde es el hom-funtor covariante, . El lema de Yoneda establece que es completamente fiel y también obtenemos la exactitud por la izquierda de muy fácilmente porque ya es exacto por la izquierda. La prueba de la exactitud correcta de es más difícil y se puede leer en Swan, Lecture Notes in Mathematics 76 .
Después de eso, demostramos que es una categoría abeliana utilizando la teoría de localización (también de Swan). Esta es la parte difícil de la demostración.
Es fácil comprobar que la categoría abeliana es una categoría AB5 con generador , es decir, es una categoría de Grothendieck y por tanto tiene un cogenerador inyectivo .
El anillo de endomorfismo es el anillo que necesitamos para la categoría de R -módulos.
Obtenemos otra incrustación contravariante, exacta y completamente fiel . La composición es la incrustación covariante deseada, exacta y completamente fiel.
Nótese que la prueba del teorema de incrustación de Gabriel-Quillen para categorías exactas es casi idéntica.