Extensión esencial

Concepto en matemáticas

En matemáticas , específicamente en teoría de módulos , dado un anillo R y un módulo R M con un submódulo N , se dice que el módulo M es una extensión esencial de N (o se dice que N es un submódulo esencial o un submódulo grande de M ) si para cada submódulo H de M ,

${\displaystyle H\cap N=\{0\}\,}$implica que ${\displaystyle H=\{0\}\,}$

Como caso especial, un ideal izquierdo esencial de R es un ideal izquierdo que es esencial como submódulo del módulo izquierdo _R R . El ideal izquierdo tiene intersección distinta de cero con cualquier ideal izquierdo distinto de cero de R . Análogamente, un ideal derecho esencial es exactamente un submódulo esencial del módulo derecho R R _.

Las notaciones habituales para extensiones esenciales incluyen las siguientes dos expresiones:

${\displaystyle N\subseteq _{e}M\,}$(Lam 1999) y (Anderson y Fuller 1992) ${\displaystyle N\trianglelefteq M}$

La noción dual de submódulo esencial es la de submódulo superfluo (o submódulo pequeño ). Un submódulo N es superfluo si para cualquier otro submódulo H ,

${\displaystyle N+H=M\,}$implica que . ${\displaystyle H=M\,}$

Las notaciones habituales para submódulos superfluos incluyen:

${\displaystyle N\subseteq _{s}M\,}$(Lam 1999) y (Anderson y Fuller 1992) ${\displaystyle N\ll M}$

Propiedades

A continuación se presentan algunas de las propiedades elementales de las extensiones esenciales, dadas en la notación introducida anteriormente. Sea M un módulo y K , N y H submódulos de M con K N ${\displaystyle \subseteq }$

• Claramente M es un submódulo esencial de M , y el submódulo cero de un módulo distinto de cero nunca es esencial.
• ${\displaystyle K\subseteq _{e}M}$si y solo si y ${\displaystyle K\subseteq _{e}N}$ ${\displaystyle N\subseteq _{e}M}$
• ${\displaystyle K\cap H\subseteq _{e}M}$si y solo si y ${\displaystyle K\subseteq _{e}M}$ ${\displaystyle H\subseteq _{e}M}$

Utilizando el lema de Zorn es posible demostrar otro hecho útil: para cualquier submódulo N de M , existe un submódulo C tal que

${\displaystyle N\oplus C\subseteq _{e}M}$.

Además, un módulo sin extensión esencial propia (es decir, si el módulo es esencial en otro módulo, entonces es igual a ese módulo) es un módulo inyectivo . Entonces es posible demostrar que cada módulo M tiene una extensión esencial máxima E ( M ), llamada la envoltura inyectiva de M . La envoltura inyectiva es necesariamente un módulo inyectivo, y es único salvo isomorfismo. La envoltura inyectiva también es mínima en el sentido de que cualquier otro módulo inyectivo que contenga M contiene una copia de E ( M ).

Muchas propiedades se dualizan en submódulos superfluos, pero no todas. Nuevamente, sea M un módulo y K , N y H submódulos de M con K N. ${\displaystyle \subseteq }$

• El submódulo cero siempre es superfluo, y un módulo M distinto de cero nunca es superfluo en sí mismo.
• ${\displaystyle N\subseteq _{s}M}$si y solo si y ${\displaystyle K\subseteq _{s}M}$ ${\displaystyle N/K\subseteq _{s}M/K}$
• ${\displaystyle K+H\subseteq _{s}M}$si y solo si y . ${\displaystyle K\subseteq _{s}M}$ ${\displaystyle H\subseteq _{s}M}$

Puesto que cada módulo puede ser mapeado a través de un monomorfismo cuya imagen es esencial en un módulo inyectivo (su envoltura inyectiva), uno podría preguntarse si la afirmación dual es verdadera, es decir, para cada módulo M , ¿hay un módulo proyectivo P y un epimorfismo de P sobre M cuyo núcleo es superfluo? (A tal P se le llama cobertura proyectiva ). La respuesta es " No " en general, y la clase especial de anillos cuyos módulos derechos tienen todos coberturas proyectivas es la clase de anillos perfectos derechos .

Una forma del lema de Nakayama es que J( R ) M es un submódulo superfluo de M cuando M es un módulo finitamente generado sobre R .

Generalización

Esta definición se puede generalizar a una categoría abeliana arbitraria C . Una extensión esencial es un monomorfismo u  : M → E tal que para cada subobjeto distinto de cero s  : N → E , el producto de fibra N × _E M ≠ 0.

En una categoría general, un morfismo f  : X → Y es esencial si cualquier morfismo g  : Y → Z es un monomorfismo si y sólo si g ° f es un monomorfismo (Porst 1981, Introducción). Tomando g como el morfismo identidad de Y se muestra que un morfismo esencial f debe ser un monomorfismo.

Si X tiene una envoltura inyectiva Y , entonces Y es la extensión esencial más grande de X (Porst 1981, Introducción ( v )). Pero la extensión esencial más grande puede no ser una envoltura inyectiva. De hecho, en la categoría de espacios T ₁ y funciones continuas, cada objeto tiene una única extensión esencial más grande, pero ningún espacio con más de un elemento tiene una envoltura inyectiva (Hoffmann 1981).

Véase también

• Los submódulos densos son un tipo especial de submódulo esencial.

Referencias

• Anderson, FW; Fuller, KR (1992), Anillos y categorías de módulos , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 13 (2.ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97845-3
• David Eisenbud , Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica ISBN 0-387-94269-6 
• Hoffmann, Rudolf-E. (1981), "Extensiones esenciales de los espacios T ₁ ", Canadian Mathematical Bulletin , 24 (2): 237–240, doi : 10.4153/CMB-1981-037-1
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lecciones sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas n.º 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, Sr.  1653294
• Mitchell, Barry (1965). Teoría de categorías . Matemáticas puras y aplicadas. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4.Sr .  0202787.Sección III.2
• Puerto, Hans-E. (1981), "Caracterización de envolturas inyectivas", Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques , 22 (4): 399–406