Categoría abeliana

Categoría con sumas directas y determinados tipos de kernels y cokernels

En matemáticas , una categoría abeliana es una categoría en la que se pueden agregar morfismos y objetos y en la que existen núcleos y conúcleos que tienen propiedades deseables.

El ejemplo prototípico motivador de una categoría abeliana es la categoría de grupos abelianos , Ab .

Las categorías abelianas son categorías muy estables ; por ejemplo, son regulares y satisfacen el lema de la serpiente . La clase de categorías abelianas está cerrada bajo varias construcciones categóricas, por ejemplo, la categoría de complejos de cadenas de una categoría abeliana, o la categoría de funtores de una categoría pequeña a una categoría abeliana también son abelianas. Estas propiedades de estabilidad las hacen inevitables en el álgebra homológica y más allá; la teoría tiene aplicaciones importantes en geometría algebraica , cohomología y teoría de categorías puras .

Mac Lane ^[1] dice que Alexander Grothendieck ^[2] definió la categoría abeliana, pero hay una referencia ^[3] que dice que el discípulo de Eilenberg , Buchsbaum , propuso el concepto en su tesis doctoral, ^[4] y Grothendieck lo popularizó bajo el nombre de "categoría abeliana".

Definiciones

Una categoría es abeliana si es preaditiva y

• Tiene un objeto cero ,
• Tiene todos los subproductos binarios ,
• Tiene todos los granos y cokernels , y
• Todos los monomorfismos y epimorfismos son normales .

Esta definición es equivalente ^[5] a la siguiente definición "fragmentada":

• Una categoría es preaditiva si se enriquece sobre la categoría monoidal Ab de grupos abelianos . Esto significa que todos los hom-conjuntos son grupos abelianos y la composición de morfismos es bilineal .
• Una categoría preaditiva es aditiva si cada conjunto finito de objetos tiene un biproducto . Esto significa que podemos formar sumas directas finitas y productos directos . En ^[6] Def. 1.2.6, se requiere que una categoría aditiva tenga un objeto cero (biproducto vacío).
• Una categoría aditiva es preabeliana si cada morfismo tiene tanto un núcleo como un co-núcleo .
• Finalmente, una categoría preabeliana es abeliana si todo monomorfismo y todo epimorfismo es normal . Esto significa que todo monomorfismo es un núcleo de algún morfismo, y todo epimorfismo es un co-núcleo de algún morfismo.

Obsérvese que la estructura enriquecida de los conjuntos hom es una consecuencia de los tres primeros axiomas de la primera definición. Esto pone de relieve la relevancia fundacional de la categoría de grupos abelianos en la teoría y su naturaleza canónica.

El concepto de sucesión exacta surge de forma natural en este contexto, y resulta que los funtores exactos , es decir, los funtores que preservan sucesiones exactas en varios sentidos, son los funtores relevantes entre categorías abelianas. Este concepto de exactitud ha sido axiomatizado en la teoría de categorías exactas , formando un caso muy especial de categorías regulares .

Ejemplos

• Como se mencionó anteriormente, la categoría de todos los grupos abelianos es una categoría abeliana. La categoría de todos los grupos abelianos finitamente generados también es una categoría abeliana, al igual que la categoría de todos los grupos abelianos finitos.
• Si R es un anillo , entonces la categoría de todos los módulos izquierdos (o derechos) sobre R es una categoría abeliana. De hecho, se puede demostrar que cualquier categoría abeliana pequeña es equivalente a una subcategoría completa de dicha categoría de módulos ( teorema de incrustación de Mitchell ).
• Si R es un anillo noetheriano izquierdo , entonces la categoría de módulos izquierdos finitamente generados sobre R es abeliana. En particular, la categoría de módulos finitamente generados sobre un anillo conmutativo noetheriano es abeliana; de esta manera, las categorías abelianas aparecen en el álgebra conmutativa .
• Como casos especiales de los dos ejemplos anteriores: la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo fijo k es abeliana, como lo es la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita sobre k .
• Si X es un espacio topológico , entonces la categoría de todos los fibrados vectoriales (reales o complejos) en X no suele ser una categoría abeliana, ya que puede haber monomorfismos que no sean núcleos.
• Si X es un espacio topológico , entonces la categoría de todos los haces de grupos abelianos en X es una categoría abeliana. En términos más generales, la categoría de haces de grupos abelianos en un sitio de Grothendieck es una categoría abeliana. De esta manera, las categorías abelianas aparecen en la topología algebraica y la geometría algebraica .
• Si C es una categoría pequeña y A es una categoría abeliana, entonces la categoría de todos los funtores de C a A forma una categoría abeliana. Si C es pequeña y preaditiva , entonces la categoría de todos los funtores aditivos de C a A también forma una categoría abeliana. Esto último es una generalización del ejemplo del módulo R , ya que un anillo puede entenderse como una categoría preaditiva con un solo objeto.

Los axiomas de Grothendieck

En su artículo de Tōhoku , Grothendieck enumeró cuatro axiomas adicionales (y sus duales) que una categoría abeliana A podría satisfacer. Estos axiomas todavía se usan comúnmente en la actualidad. Son los siguientes:

• AB3) Para cada familia indexada ( A _i ) de objetos de A , el coproducto * A _i existe en A (es decir, A es co-completo ).
• AB4) A satisface AB3), y el coproducto de una familia de monomorfismos es un monomorfismo.
• AB5 ) A satisface AB3), y los colimites filtrados de secuencias exactas son exactos.

y sus duales

• AB3*) Para cada familia indexada ( A _i ) de objetos de A , el producto P A _i existe en A (es decir, A es completo ).
• AB4*) A satisface AB3*), y el producto de una familia de epimorfismos es un epimorfismo.
• AB5*) A satisface AB3*), y los límites filtrados de secuencias exactas son exactos.

También se dieron los axiomas AB1) y AB2). Son los que hacen que una categoría aditiva sea abeliana. En concreto:

• AB1) Todo morfismo tiene un núcleo y un co-núcleo.
• AB2) Para cada morfismo f , el morfismo canónico de coim f a im f es un isomorfismo .

Grothendieck también dio los axiomas AB6) y AB6*).

• AB6) A satisface AB3), y dada una familia de categorías y mapas filtrados , tenemos , donde lim denota el colimite filtrado. ${\displaystyle I_{j},j\in J}$ ${\displaystyle A_{j}:I_{j}\to A}$ ${\displaystyle \prod _{j\in J}\lim _{I_{j}}A_{j}=\lim _{I_{j},\forall j\in J}\prod _{j\in J}A_{j}}$
• AB6*) A satisface AB3*), y dada una familia de categorías y mapas cofiltrados , tenemos , donde lim denota el límite cofiltrado. ${\displaystyle I_{j},j\in J}$ ${\displaystyle A_{j}:I_{j}\to A}$ ${\displaystyle \sum _{j\in J}\lim _{I_{j}}A_{j}=\lim _{I_{j},\forall j\in J}\sum _{j\in J}A_{j}}$

Propiedades elementales

Dado cualquier par A , B de objetos en una categoría abeliana, existe un morfismo cero especial de A a B . Este puede definirse como el elemento cero del conjunto hom Hom( A , B ), ya que este es un grupo abeliano. Alternativamente, puede definirse como la composición única A → 0 → B , donde 0 es el objeto cero de la categoría abeliana.

En una categoría abeliana, cada morfismo f puede escribirse como la composición de un epimorfismo seguido de un monomorfismo. Este epimorfismo se denomina coimagen de f , mientras que el monomorfismo se denomina imagen de f .

Los subobjetos y los objetos cocientes se comportan bien en las categorías abelianas. Por ejemplo, el conjunto de subobjetos de cualquier objeto A es un retículo acotado .

Toda categoría abeliana A es un módulo sobre la categoría monoidal de grupos abelianos finitamente generados; es decir, podemos formar un producto tensorial de un grupo abeliano finitamente generado G y cualquier objeto A de A . La categoría abeliana también es un comodulo ; Hom( G , A ) puede interpretarse como un objeto de A . Si A es completo , entonces podemos eliminar el requisito de que G sea finitamente generado; de manera más general, podemos formar límites finitamente enriquecidos en A .

Dado un objeto en una categoría abeliana, la planicidad se refiere a la idea de que es un funtor exacto . Véase módulo plano o, para mayor generalidad, morfismo plano . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle -\otimes A}$

Conceptos relacionados

Las categorías abelianas son el contexto más general para el álgebra homológica . Todas las construcciones utilizadas en ese campo son relevantes, como las sucesiones exactas, y especialmente las sucesiones exactas cortas , y los funtores derivados . Los teoremas importantes que se aplican en todas las categorías abelianas incluyen el lema de los cinco (y el lema de los cinco cortos como caso especial), así como el lema de la serpiente (y el lema de los nueve como caso especial).

Categorías abelianas semisimples

Una categoría abeliana se denomina semisimple si existe una colección de objetos llamados objetos simples (lo que significa que los únicos subobjetos de cualquiera de ellos son el objeto cero y él mismo) tales que un objeto puede descomponerse como una suma directa (que denota el coproducto de la categoría abeliana). ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}\in {\text{Ob}}(\mathbf {A} )}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X\in {\text{Ob}}(\mathbf {A} )}$

${\displaystyle X\cong \bigoplus _{i\in I}X_{i}}$

Esta condición técnica es bastante fuerte y excluye muchos ejemplos naturales de categorías abelianas que se encuentran en la naturaleza. Por ejemplo, la mayoría de las categorías de módulos sobre un anillo no son semisimples; de hecho, este es el caso si y solo si es un anillo semisimple . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Ejemplos

Algunas categorías abelianas que se encuentran en la naturaleza son semisimples, como

• Categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo fijo . ${\displaystyle {\text{Vect}}(k)}$ ${\displaystyle k}$
• Por el teorema de Maschke, la categoría de representaciones de un grupo finito sobre un cuerpo cuya característica no divide es una categoría abeliana semisimple. ${\displaystyle {\text{Rep}}_{k}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle |G|}$
• La categoría de haces coherentes en un esquema noetheriano es semisimple si y solo si es una unión disjunta finita de puntos irreducibles. Esto es equivalente a un coproducto finito de categorías de espacios vectoriales sobre diferentes cuerpos. Demostrar que esto es cierto en la dirección hacia adelante es equivalente a demostrar que todos los grupos se desvanecen, lo que significa que la dimensión cohomológica es 0. Esto solo sucede cuando los haces rascacielos en un punto tienen un espacio tangente de Zariski igual a cero, lo que es isomorfo al uso del álgebra local para tal esquema. ^[7] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Ext}}^{1}}$ ${\displaystyle k_{x}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\text{Ext}}^{1}(k_{x},k_{x})}$

No-ejemplos

Existen algunos contraejemplos naturales de categorías abelianas que no son semisimples, como ciertas categorías de representaciones . Por ejemplo, la categoría de representaciones del grupo de Lie tiene la representación ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$

${\displaystyle a\mapsto {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}}$

que sólo tiene una subrepresentación de dimensión . De hecho, esto es cierto para cualquier grupo unipotente ^{[8] pág. 112} . ${\displaystyle 1}$

Subcategorías de categorías abelianas

Existen numerosos tipos de subcategorías (completas, aditivas) de categorías abelianas que ocurren en la naturaleza, así como también cierta terminología conflictiva.

Sea A una categoría abeliana, C una subcategoría completa y aditiva, e I el funtor de inclusión.

• C es una subcategoría exacta si es en sí misma una categoría exacta y la inclusión I es un funtor exacto . Esto ocurre si y solo si C está cerrado bajo retiradas de epimorfismos y expulsiones de monomorfismos. Las secuencias exactas en C son, por lo tanto, las secuencias exactas en A para las cuales todos los objetos se encuentran en C.
• C es una subcategoría abeliana si es en sí misma una categoría abeliana y la inclusión I es un funtor exacto . Esto ocurre si y solo si C está cerrada bajo la toma de núcleos y conúcleos. Nótese que hay ejemplos de subcategorías completas de una categoría abeliana que son en sí mismas abelianas pero donde el funtor de inclusión no es exacto, por lo que no son subcategorías abelianas (ver más abajo).
• C es una subcategoría gruesa si está cerrada bajo la toma de sumandos directos y satisface la propiedad 2 de 3 en secuencias exactas cortas; es decir, si es una secuencia exacta corta en A tal que dos de se encuentran en C , entonces también lo hace la tercera. En otras palabras, C está cerrada bajo núcleos de epimorfismos, conúcleos de monomorfismos y extensiones. Nótese que P. Gabriel utilizó el término subcategoría gruesa para describir lo que aquí llamamos una subcategoría de Serre . ${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$ ${\displaystyle M',M,M''}$
• C es una subcategoría topológica si está cerrada bajo subcocientes .
• C es una subcategoría de Serre si, para todas las sucesiones cortas exactas en A, tenemos M en C si y solo si ambas están en C. En otras palabras, C está cerrado bajo extensiones y subcocientes . Estas subcategorías son precisamente los núcleos de los funtores exactos desde A hasta otra categoría abeliana. ${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$ ${\displaystyle M',M''}$
• C es una subcategoría localizadora si es una subcategoría de Serre tal que el funtor cociente admite un adjunto derecho . ${\displaystyle Q\colon \mathbf {A} \to \mathbf {A} /\mathbf {C} }$
• Existen dos nociones en pugna sobre una subcategoría amplia. Una versión es que C contiene todos los objetos de A (salvo el isomorfismo); para una subcategoría completa esto obviamente no es interesante. (Esto también se llama subcategoría lluf ). La otra versión es que C está cerrada bajo extensiones.

He aquí un ejemplo explícito de una subcategoría aditiva completa de una categoría abeliana que es en sí misma abeliana pero el funtor de inclusión no es exacto. Sea k un cuerpo, el álgebra de matrices triangulares superiores sobre k y la categoría de módulos de dimensión finita . Entonces cada uno es una categoría abeliana y tenemos un funtor de inclusión que identifica los módulos proyectivo simple, inyectivo simple y proyectivo-inyectivo indecomponible. La imagen esencial de I es una subcategoría aditiva completa, pero I no es exacta. ${\displaystyle T_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{n}}$ ${\displaystyle T_{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{n}}$ ${\displaystyle I\colon \mathbf {A} _{2}\to \mathbf {A} _{3}}$

Historia

Las categorías abelianas fueron introducidas por Buchsbaum (1955) (bajo el nombre de "categoría exacta") y Grothendieck (1957) con el fin de unificar varias teorías de cohomología. En ese momento, había una teoría de cohomología para haces y una teoría de cohomología para grupos . Las dos se definieron de manera diferente, pero tenían propiedades similares. De hecho, gran parte de la teoría de categorías se desarrolló como un lenguaje para estudiar estas similitudes. Grothendieck unificó las dos teorías: ambas surgen como funtores derivados en categorías abelianas; la categoría abeliana de haces de grupos abelianos en un espacio topológico, y la categoría abeliana de G -módulos para un grupo G dado .

Véase también

• Portal de matemáticas

• Categoría triangulada

Referencias

1. Mac Lane, Saunders (17 de abril de 2013). Categorías para el matemático en activo . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 5 (segunda edición). Springer Science+Business Media. pág. 205. ISBN. 978-1-4757-4721-8.
2. Grothendieck (1957)
3. David Eisenbud y Jerzy Weyman. "TRIBUTO CONMEMORATIVO Recordando a David Buchsbaum" (PDF) . American Mathematical Society . Consultado el 22 de diciembre de 2023 .
4. Buchsbaum (1955)
5. Peter Freyd, Categorías abelianas
6. Manual de álgebra categórica, vol. 2, F. Borceux
7. "Geometría algebraica - Espacio tangente en un punto y primer grupo externo". Mathematics Stack Exchange . Consultado el 23 de agosto de 2020 .
8. Humphreys, James E. (2004). Grupos algebraicos lineales. Springer. ISBN 0-387-90108-6.OCLC 77625833  .

• Buchsbaum, David A. (1955), "Categorías exactas y dualidad", Transactions of the American Mathematical Society , 80 (1): 1–34, doi : 10.1090/S0002-9947-1955-0074407-6 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1993003, MR  0074407
• Freyd, Peter (1964), Categorías abelianas, Nueva York: Harper and Row
• Grothendieck, Alexander (1957), "Sur quelques point d'algèbre homologique", Tohoku Mathematical Journal , segunda serie, 9 : 119–221, doi : 10.2748/tmj/1178244839 , ISSN  0040-8735, MR  0102537
• Mitchell, Barry (1965), Teoría de categorías , Boston, MA: Academic Press
• Popescu, Nicolae (1973), Categorías abelianas con aplicaciones a anillos y módulos , Boston, MA: Academic Press