En matemáticas , específicamente en teoría de categorías , una categoría pre-abeliana es una categoría aditiva que tiene todos los núcleos y co-núcleos .
Explicado con más detalle, esto significa que una categoría C es pre-abeliana si:
Nótese que el morfismo cero en el elemento 3 se puede identificar como el elemento identidad del conjunto hom Hom( A , B ), que es un grupo abeliano por el elemento 1; o como el morfismo único A → 0 → B , donde 0 es un objeto cero , cuya existencia se garantiza por el elemento 2.
El ejemplo original de una categoría aditiva es la categoría Ab de los grupos abelianos . Ab es preaditiva porque es una categoría monoidal cerrada , el biproducto en Ab es la suma directa finita , el núcleo es la inclusión del núcleo ordinario de la teoría de grupos y el conúcleo es la función cociente sobre el conúcleo ordinario de la teoría de grupos .
Otros ejemplos comunes:
Estos le darán una idea de qué pensar; para más ejemplos, consulte la categoría abeliana (cada categoría abeliana es pre-abeliana).
Toda categoría pre-abeliana es, por supuesto, una categoría aditiva , y muchas propiedades básicas de estas categorías se describen en ese tema. Este artículo se ocupa de las propiedades que se cumplen específicamente debido a la existencia de núcleos y conúcleos.
Aunque los núcleos y conúcleos son tipos especiales de ecualizadores y coecualizadores , una categoría pre-abeliana en realidad tiene todos los ecualizadores y coecualizadores. Simplemente construimos el ecualizador de dos morfismos f y g como el núcleo de su diferencia g − f ; de manera similar, su coecualizador es el conúcleo de su diferencia. (El término alternativo "núcleo de diferencia" para ecualizadores binarios deriva de este hecho). Dado que las categorías pre-abelianas tienen todos los productos y coproductos finitos (los biproductos) y todos los ecualizadores y coecualizadores binarios (como se acaba de describir), entonces por un teorema general de la teoría de categorías , tienen todos los límites y colímites finitos . Es decir, las categorías pre-abelianas son finitamente completas .
La existencia tanto de núcleos como de conúcleos da una noción de imagen y coimagen . Podemos definirlas como
Es decir, la imagen es el núcleo del co-núcleo, y la co-imagen es el co-núcleo del núcleo.
Obsérvese que esta noción de imagen puede no corresponderse con la noción habitual de imagen, o rango , de una función , incluso suponiendo que los morfismos en la categoría sean funciones. Por ejemplo, en la categoría de grupos abelianos topológicos, la imagen de un morfismo corresponde en realidad a la inclusión de la clausura del rango de la función. Por esta razón, la gente a menudo distinguirá los significados de los dos términos en este contexto, utilizando "imagen" para el concepto categórico abstracto y "rango" para el concepto de teoría de conjuntos elemental.
En muchas situaciones comunes, como la categoría de conjuntos , donde existen imágenes y coimágenes, sus objetos son isomorfos . Dicho de forma más precisa, tenemos una factorización de f : A → B como
donde el morfismo de la izquierda es la coimagen, el morfismo de la derecha es la imagen y el morfismo del medio (llamado paralelo de f ) es un isomorfismo.
En una categoría pre-abeliana, esto no es necesariamente cierto . La factorización mostrada arriba siempre existe, pero el paralelo podría no ser un isomorfismo. De hecho, el paralelo de f es un isomorfismo para cada morfismo f si y solo si la categoría pre-abeliana es una categoría abeliana . Un ejemplo de una categoría pre-abeliana no-abeliana es, una vez más, la categoría de grupos abelianos topológicos. Como se señaló, la imagen es la inclusión del cierre del rango; sin embargo, la coimagen es una función cociente sobre el rango mismo. Por lo tanto, el paralelo es la inclusión del rango en su cierre, lo cual no es un isomorfismo a menos que el rango ya estuviera cerrado .
Recordemos que todos los límites y colímites finitos existen en una categoría pre-abeliana. En la teoría general de categorías , un funtor se llama exacto por la izquierda si preserva todos los límites finitos y exacto por la derecha si preserva todos los colímites finitos. (Un funtor es simplemente exacto si es exacto por la izquierda y exacto por la derecha).
En una categoría pre-abeliana, los funtores exactos pueden describirse en términos particularmente simples. Primero, recordemos que un funtor aditivo es un funtor F : C → D entre categorías pre-aditivas que actúa como un homomorfismo de grupo en cada conjunto hom . Entonces resulta que un funtor entre categorías pre-abelianas es exacto a la izquierda si y solo si es aditivo y preserva todos los núcleos, y es exacto a la derecha si y solo si es aditivo y preserva todos los co-núcleos.
Nótese que un funtor exacto, debido a que preserva tanto los núcleos como los conúcleos, preserva todas las imágenes y coimágenes. Los funtores exactos son más útiles en el estudio de categorías abelianas , donde pueden aplicarse a secuencias exactas .
En cada categoría pre-abeliana existe una estructura exacta que es máxima en el sentido de que contiene todas las demás estructuras exactas. La estructura exacta consiste precisamente en aquellos pares de núcleo-conúcleo donde es un núcleo semiestable y es un conúcleo semiestable. [1] Aquí, es un núcleo semiestable si es un núcleo y para cada morfismo en el diagrama de pushout
El morfismo es nuevamente un núcleo. Es un cokernel semiestable si es un cokernel y para cada morfismo en el diagrama de pullback .
El morfismo es nuevamente un cokernel.
Una categoría pre-abeliana es cuasi-abeliana si y sólo si todos los pares núcleo-co-núcleo forman una estructura exacta. Un ejemplo en el que esto no es así es la categoría de espacios bornológicos (de Hausdorff). [2]
El resultado también es válido para categorías aditivas que no son pre-abelianas sino karoubianas . [3]
Las categorías pre-abelianas que se estudian con más frecuencia son, de hecho, categorías abelianas; por ejemplo, Ab es una categoría abeliana. Las categorías pre-abelianas que no son abelianas aparecen, por ejemplo, en el análisis funcional.
